多元函数微分学习题及详细解答

高等数学下册-多元函数微分学习题

1.填空题：

zy(1)函数z2xsin在点1,处的二阶混合偏导数

xxy(2)设zxy，则dzxy(1,1)2(1,)= 1  1

2zy1x(3)设函数f(u,v)具有二阶连续偏导数，则= （f1yxf2ylny） zf(x,xy)，

xy(4)设函数F(x,y)xy02Fsintdt，则22x1t2x0y2 4 (5)若f(xy,)xy，则f1(1,0)的值是 2 2.选择题

（1）在下列极限结果中，正确的是（ B ）

yx2xyA.lim0(x,y)(0,0)x2y2C.limxy0(x,y)(0,0)xyx2yB.lim0(x,y)(0,0)x2y2D.limxy0(x,y)(0,0)xy2

(2) 设函数f(x,y)x4y2，则（ C ）

A.B.C.D.fx(0,0)和fy(0,0)都存在fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在fx(0,0)存在，fy(0,0)不存在fx(0,0)和fy(0,0)都不存在

（3）如果函数f(x,y)在点0,0处连续，那么下列命题正确的是（ B ） A.若极限limx0y0f(x,y)存在，则f(x,y)在点0,0处可微

xyf(x,y)存在，则f(x,y)在点0,0处可微 22xyf(x,y)存在

xyB. 若极限limx0y0C. 若f(x,y)在点0,0处可微, 则limx0y0D. 若f(x,y)在点0,0处可微,则极限limx0y0f(x,y)存在 22xy(4) 设函数zyzz(x,y)由方程F(,)0确定，其中F为可微函数，且F20,则

xxxzzy（ B ） xyA.xB.zC.xxzD.z

1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在

（5）设有三元方程xyzlnye此邻域内该方程（ D ）

A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数zB. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数

z(x,y)

yy(x,z)和zz(x,y)

x(y,z)和zz(x,y) x(y,z)和yy(x,z)

C. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数xD. 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数x3.证明：函数

f(x,y)xy在点O(0,0)处可微。 （fx,0)f(0,0)fx(0,0)lim0

x0xyzz，f(u)为可微函数，求:xy xxy证明：由定义，

4.设zxy＋f(u),，u解：

zyyyxf(u)2f(u)f(u)yf(u) xxxz1xxf(u)xf(u). yx故

xzzf(u)yyxf(u)yyxf(u)xyxxf(u)xyyf(u)xyyf(u)

xyxf(u)xyzxy.5. 设函数zcosyf(sinxsiny)，其中f为可微的函数，求当yx时

2z2zsecx2secy2的值

xyz2z解：由已知可得cosxf,2sinxfcos2xf；

xxz2z sinycosyf,2cosysinyfcos2yf .

yy2z2z故secx2secy21(tanxtany)f(cosxcosy)f.

xy2z2z当yx时，tanxtanycosxcosy0，所以secx2secy21.

xy6. 设函数zz(x,y)是由方程ze2x3z2y确定，求32x3zzz xy解：令F(x,y,z)e2yz，则有

FFz2z2e2x3zzzyx，，从而32. 2x3z2x3zFFy13ex13exyzz7. 设F具有一阶连续偏导数，w(x,y,z)为方程F(xaw,ybwcw)0（其中a,b,c

为常数）所确定的隐函数，求awww的值。 bcxyz解：令G(x,y,z)F(xaw,ybw,zcw)，则

GyGxF3F1F2Gwww,,z,aFbFcFyxGwGwaF1bF2cF3zGwaF1bF2cF3123

所以 ac3FwwwaF1bF2bc1 . xyzaF1bF2cF38. 设函数zf(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x1处

2z取得极值g(1)1，求

xyx1y1解：由g(x)可导且在x=1处取极值g(1)=1所以g(1)0

zf1[xy,yg(x)]yf2[xy,yg(x)]yg(x)x2z(xy,yg(x)g(x)f12(xy,yg(x)]f1[xy,yg(x)]y[xf11xy2z(1,1)f12(1,1)fx(1,1)f11xy

(0,(2,9.设f(x,y,z)＝xy2＋yz2＋zx2，求fxx0,1),fyz(0,1,0),fzzx0,1).

解：fx(x,y,z)y2zx

2(x,y,z)2z, fxx(0,0,1)2,fxxfy(x,y,z)2xyz2(x,y,z)2z, fyz(0,1,0)0,fyzfz(x,y,z)2yzx(x,y,z)2yfzz3z3z及. x2yxy22

(x,y,z)0, fzzx(2,0,1)0.fzzx10.设zxln(xy)，求

解：

zyxln(xy)1ln(xy), xxy2zy13z, 20,x2xyxxyzx1z1, .xyxyyxy2y223

11.试证明：利用变量替换ξxy，ηxy，可将方程

132u2u2u430 22xyxy化简成

2u0. ξη证明：设uf(,)fx1y,xy 3uuuuuxxx2u2u2u2u2u2u2u2u2x22xxx2x222u2u12u2u2(1)xy3212u42u2u1u2(1)22333uu1u1uu(1)y332u12u112u2u(1)y232332u2u2u4322xxyy12u42u2u2u2u2u12u22u2u222423222393342u0.32u故0. 212u22u2u1u2(1)22933