华师版八年级上数学期末复习提要

2013—2014学年华师大八年级数学（上）

第11章 数的开方 §11.1平方根与立方根

一、平方根

1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）

即：若x2=a，则x叫做a的平方根。

2、平方根的性质：

（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；例如：5的平方根是5（2）零的平方根是零；例如：0的平方根是0 （3）负数没有平方根。例如：—1没有平方根 二、算术平方根

1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：

（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；例如：3的算术平方根是3 （2）零的算术平方根是零；例如：0的算术平方根是0，即0=0 （3）负数没有算术平方根；例如—1没意义

（4）算术平方根的非负性：a≥0。（a≥0）

其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。 三、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。 四、立方根

1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）

即：若x3=a，则x叫做a的立方根。

2、立方根的性质：

（1）一个正数的立方根为正；例如：2的立方根是32

（2）一个负数的立方根为负；例如：—2的立方根是3—2=—32

（3）零的立方根是零。即30=0

3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。

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a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。

五、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 六、注意事项： 1取值问题

若x3有意义，则x取值范围是 。（∵x-3≥0，∴x≥3）（填：x≥3） 若3x2013有意义，则x取值范围是 。（填：全体实数） 2、3a3a。如：∵3273，3273，∴327327

3、几个常见的算数平方根的值：21.414，31.732，52.236，62.449，72.6。 七、补充的部分内容 (1)aba•b（a≥0，b≥0）；(2)

abab（a≥0，b＞0）；

(3) (a)2a（a≥0）； (4) a2|a|

§11.2实数与数轴

一、无理数

1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 2、常见的无理数：

1

71，62，352等。 （1）开方开不尽的数。如：10，7，6，5，2，210，（2）“”类的数。如：，，

1，，2等。 3（3）无限不循环小数。如：2.1010010001……，-0.234242242224……，等 二、实数

1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。 2、与实数有关的概念：

（1）相反数：实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。

1（a≠0）。若实数a、b互为倒数，则ab=1。 aa(a0)（3）绝对值：实数a的绝对值为：|a|0(a0)

a(a0)（2）倒 数：非零实数a的倒数为

3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。 4、实数的分类：

（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。 （2）按照定义分为： 有理数和无理数统称为实数。

5、几个“非负数”：（1）a≥0；（2）|a|≥0；（3）a≥0。 6、实数与数轴上的点是一 一对应关系。

第12章 整式的乘除 §12.1幂的运算

一、同底数幂的乘法

公式：am·an=am+n（m、n、均为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 二、幂的乘方

公式：(am)n=amn（m、n均为正整数）。 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 三、积的乘方

公式：(ab)n=anbn（n为正整数）。

积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。 四、同底数幂的除法

公式：am÷an=am-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0） 同底数幂相除，底数不变，指数相减。

§12.2 整式的乘法

一、单项式与单项式相乘

法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。

2

如：(-5ab)·(-4 bc)·(-

222

3322234

ab)=[(-5)×(-4)×(-)]·(a·a)·(b·b)·c =-30abc 22432二、单项式与多项式相乘

法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(3x)(x2x1)(-3x)·(-x)+(-3x)·2 x一(-3x)·1=3x6x3x 三、多项式与多项式相乘 法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb

(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多

2

2

2

2

22 2

项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。

如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb

§12.3 乘法公式

一、两数和乘以这两数的差

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1、公式：(a+b)(a-b)=a-b；名称：平方差公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。

（2）注意公式的本质特征：a这项前后是一样的，但是b这项前后要互为相反数。 二、完全平方公式

222

1、公式：(a±b)=a±2a b+b；名称：完全平方公式。 2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。 （2）注意公式中“中间的乘积项的符号及系数”。

222

3、补充公式：(a+ b+ c)=a+c2+b+2a b+2bc+2ca

特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。

§12.4 整式的除法

一、单项式除以单项式

法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，

则连同它的指数一起作为商的一个因式。 232-13-12

如：-21abc÷3ab=(-21÷3)·a·b·c =-7abc 二、多项式除以单项式

法则：只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。

如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y ◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。

§12.5 因式分解

一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）

因式分解与整式乘法互为逆运算

二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。 △具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。

△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)； 如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；

2

-5 a+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)

(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。) 三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。

22

1、平方差公式： a-b=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。

222

2、完全平方公式：(a±b)=a±2a b+b；名称：完全平方公式。 四、综合

1、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否含有“负号—”，若有“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解。

2、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数。

第13章全等三角形

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画线段画角 1、五种基本尺规作图 画垂直平分线过已知点画垂线画角平分线2、等腰三角形的判定: ①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形所对的边也相等；

注意：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

3、角平分线：

①性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 ②判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上

4、垂直平分线： ①性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

②判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 5、.全等三角形：定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 表示方法： ABC ≌ DEF 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相等 6、 三角形全等的判定：

No.1 边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。 No.2 角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 No.3 角边角（ASA）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。 No.4 角角边（AAS）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三角形全等。 No.5 斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。

第14章 勾股定理 §14.1勾股定理

一、直角三角形三边的关系

1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 A c o

几何语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90， b

∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c

C B a 则有：a2+b2=c2。

2、注意事项：假设两条直角边为a、b，斜边为c

⑴已知两边，利用勾股定理可求第三边，常常使用变形公式

①已知两条直角边a、b求斜边c：则ca2b2 ②已知一条直角边a和斜边c求另一条直角边b,则bc2a2 ③已知一条直角边b和斜边c求另一条直角边a,则ac2b2

⑵勾股定理必须在Rt△使用，若遇到非Rt△，则可引垂线段“造”Rt△。 ⑶注意Rt△中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。 二、Rt△的判定

1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。 2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。

o

3、勾股定理的逆定理：若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则∠C=90。 ☆“勾股数”：指三个满足a2+b2=c2的正整数，我们称为勾股数。

☆注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为Rt△。 三、反证法的步骤：

先假 结论的反面 是正确的，然后通过 推理证明 ，推出与基本事实， 定理， 定义 ，或 已知条件相矛盾，说明 假设不成立，从而得到 原结论正确 。

4

§14.2勾股定理的应用

常见问题： 知识点 内容 备注 1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。 2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。 3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。 4、阴影面积问题。

5、作图中的作2，3，5，13等问题。

§15 数据的收集与表示

生活中的数据无处不在，当大量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这些数据，从而为我们的决策提供依据

频数： 个体出现的次数 总数：样本各个体出现的次数总和 频率=频数 总数

调查和借助统计图表是收集数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表示数据的基本手段 1.常见的统计图有:(1) 条形统计图 (2) 扇形统计图 (3) 折线统计图 扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比， 条形图能准确地表示出每个项目的具体数目， 折线图能清楚地反映事物的变化趋势 2.扇形统计图及其特点:

(1)扇形统计图是利用圆和扇形来表示 和部分的比例关系,即用圆表示 . 用扇形表示 ,扇形的大小反映 (2)扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占 3扇形中心角计算方法:

0

(1)扇形的中心角=360 .

(2)若已知扇形统计图,用量角器量出每个扇形 的读数. (3)部分占总体的百分比=

总体100%.

4.画扇形统计图的步骤

(1) ; (2) ; (3)

第十一章：数的开方

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平方根 立方根 概念: 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根 算术平方根：正数a的正的平方根。记作： 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根 概念： 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根 性质：任何实数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 (1)ab考点： （a的取值范围a） ②() ③(a的取值范围为任意实数) ④= 例：=（）=5 ⑤=a(a为任意实数) 例：=2, =—2 a•b（a≥0，b≥0）； 考点：判断下列的数哪些是无理数？ 有理数：分数和整数的统称 如：，, 0都是有理数 备注 逆用： = (a)2a（a≥0）； 实数 1. 包括有理数和无理数 2. 实数与数轴上的点一一对应 常见的无理数（无限不循环小数）有：①π②开方开不尽的数，如，等③有规律且无限不循环的小数。 知识点 幂 的 运 算 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘法 同底数幂的除法 整 式 单项式与单项的 式相乘 乘 法 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 整 式 的 除 法 单项式除以单项式 多项式除以单项式 平方差公式 内容 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 乘 法 两数和的平方公 公式 式 两数差的平方公式

幂的乘方，底数不变，指数相乘 逆用： 例： 积的乘方，把积的每一个因式分别逆用： =1 相乘，再把所得的幂相乘 = = 同底数幂相处，底数不变，指数相逆用： 减 例：若=2,则的值是? 单项式与单项式相乘，只要将它们例：· 的系数、相同的字母的幂分别相乘，=[3·2]·(·x)·(y·) 对于只在一个单项式中出现的字= 母，连同它的指数一起作为积的一个因式 单项式与多项式相乘，将单项式分例：(-2 别乘以多项式的每一项，再将所得=(-2+(-2) 的积相加 =-6+10 多项式与多项式相乘，先用一个多例：（X+2）（X—3） = 项式的每一项分别乘以另一个多项= 式的每一项，再把所得的积相加 单项式相除，把系数、同底数幂分例：24 别相除作为商的因式，对于只在被=（24）（）（） 除式中出现的字母，则连同它的指=8 数一起作为商的一个因式 多项式除以单项式，先用这个多项例: (9)(3x) 式的每一项除以这个单项式，再把=9 =3 所得的商相加 两数和与这两数差的积，等于这两例：(a+b)(a-b)= 数的平方差 逆用：=(a+b)(a-b) 两数和的平方，等于这两数的平方例： 和加上它们的积的2倍 逆用 两数差的平方，等于这两数的平方例： 和减去它们的积的2倍 逆用 6

定义：把一个多项式化为几个整式常考点： 的积的形式，叫做多项式的因式分①两种因式分解法一起运用 解 （先提公因式，然后再运用公式法） 因式分解的方法： 例： = ①提公因式法 ②“1”常常要变成“” ②运用乘法公式法 例： ③十字相乘法 =(a+b)(a-b) 第十三章：全等三角形 性质：全等三角形的对应边和对应角相等 常考点： 全等三角形的判定： ①公共边 1. （边边边）S.S.S.：如果两个三角形的三条边都对应地相等，②公共角 那么这两个三角形全等。 ③两直线平行（两直线平行，同位角相等， 2.（边、角、边）S.A.S.：如果两个三角形的其中两条边都对应内错角相等，同旁内角互补） 全 地相等，且两条边夹着的角都对应地相等，那么这两个三角形④对顶角（对顶角相等） 等 全等。 需要注意： 三 3.（角、边、角）A.S.A.：如果两个三角形的其中两个角都对应判定两直角三角形全等： 角 地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，那么这两个三五个判定都可用， 形 角形全等。 4.（角、角、边）A.A.S.：如果两个三角形的其中两个角都对应特殊：斜边直角边 地相等，且对应相等的角所对应的边对应相等，那么这两个三角形全等。 5.（斜边、直角边）H.L.：如果两个直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，那么这两个三角形全等。 等①等腰三角形的两腰相等 考点： 腰②等腰三角形的两底角相等 ①若则说明 三③等腰三角形“三线合一”（顶角的平分线，底边上②等腰三角形“三线合一” 角的中线，底边上的高重合） 等 形④等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴 1. 若 腰 的⑤等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中AD 三 A性线相等，两条腰上的高相等） 则BD=BC, 角 质 ∠BAD=∠CAD 形 判①定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形2.自己补充完整 定 是等腰三角形。 ②判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 因式分解 BDC线 段 的 垂 直 平 分 线 线段垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ∵EF ,AC=BC,点D是直线EF上任意一点 ∴DA=DB 线段垂直平分线性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 ∵DA=DB ∴点D在线段AB的垂直平分线上 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等 ∵OP平分∠AOB，且PD，PE， 7 考点： 若直线EF是线段AB的垂直平分线， 则： ① DA=DB ②是等腰三角形，因此具有等腰三角形的一切性质 BEDACFB 角 平 EPODA

∴PE=PD 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 ∵PD，PE且PE=PD ∴OP平分∠AOB 互逆命第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个题与互命题叫做互逆命题。 逆定理 每一个命题都有逆命题，但不是每个定理都有逆定理。 五个基本的作图方法： 作一条线段等于已知线段 尺规 ②作一个角等于已知角 作图 ③作已知角的平分线 ④过一点作已知线段的垂线 ⑤作已知线段的垂直平分线 性质：①是特殊的等腰三角形，因此具有等腰三角形的一等边三切性质。（等腰三角形包括等边三角形，等腰大于等边） 角形 ②等边三角形的三条边相等 ③等边三角形的三个角相等，都为60 第十四章：勾股定理 内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 分 线 考点：判断一个命题或定理的逆命题为真为假 考点：综合考察，例如用尺规作图画直角三角形，等腰三角形等等 判定：定义：三条边都相等的三角形是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 知识点 勾股定理 勾股定理的逆定理 备注 b c 如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角 a 步骤： 拓展: ①假设结论的反面是正确的 如果三角形的三边长a、b、c有反证法 ②然后得出推理或定理与已知条件相矛盾 关系，那么这个三角形不是直角③从而说明假设不成立，原结论正确 三角形，且边c所对的角不为直角 勾股定理的应用 ①常见的勾股数：3、4、5或5、12、13或6、8、10、 （把实际问题转化为②路程最短问题：展开圆柱或者正方体，长方体的面积 数学问题） ③航行问题 已知直角三角形的两条边，求第三条边 第十五章：数据的收集与处理 知识点 内容 备注 频数：每个对象出现的次数 考点拓展： 频率：每个对象出现的次数与总次数①频数之和等于总次数 的比值（或者百分比） ②频率之和为1 公式： ③频率P取值范围（0P1） 频数、频率、总次数 频率=, 总次数= ④ 频率可以表示为小数，分数，频率= 或者百分数（必须统一） 频数=总次数频率 ⑤弄清频数、频率、总次数 三者之间的关系，只其二必可算出第三个 扇形统计图 ①各部分的百分比之和等于或者 考查各部分占总体大小的百分比 等于1 数据的表示 ②各部分的百分比不等于1，不能用扇形统计图表示 条形统计图 考查各部分具体数据 各部分的具体数据为频数

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折线统计图 综合考查 考查总体的变化趋势 常运用于股市与气温的统计 ①扇形统计图与条形统计图一起考，条形统计图的具体数据为频数，扇形统计图的百分比为频率，从而可以根据公式计算出总次数 ②根据统计表，会制作条形统计图（单位值，间隔值要相等） ③根据统计表，会制作扇形统计图（计算百分比和百分数） ④扇形圆心角的度数=百分比 ⑤扇形的面积之比=各部分所占百分数之比=各部分圆心角之比

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