2019届北师大版高中数学必修四：基础知识检测(1)及答案解析

第一章基础知识检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列命题正确的是( ) A．终边相同的角一定相等 C．锐角都是第一象限角 [答案] C

[解析] 终边相同的角相差k·360°(k∈Z)，故A不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B不正确；而C正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D不正确．

2．(tanx＋

1

)cos2x等于( ) tanx

B．sinx D．

1 tanx

B．第一象限的角都是锐角 D．小于90°的角都是锐角

A．tanx C．cosx [答案] D

1sinxcosx

[解析] (tanx＋)cos2x＝(＋)cos2x

tanxcosxsinxsin2x＋cos2xcosx1

＝·cos2x＝＝. sinxcosxsinxtanx

π13．如果cos(π＋A)＝－，那么sin2＋A＝( ) 21A．－

2C．－

3 2

1B．

2D．

3 2

[答案] B

11

[解析] 由cos(π＋A)＝－cosA＝－，∴cosA＝，

22π1

＋A＝cosA＝. ∴sin22

ααα

4．已知角α是第二象限角，且|cos|＝－cos，则角是( )

222A．第一象限角 C．第三象限角 [答案] C

αααα

[解析] 由α是第二象限角知，是第一或第三象限角．又∵|cos|＝－cos，∴cos<0.

2222α

∴是第三象限角． 2

π

5．y＝cos4－x是( ) A．[－π，0]上的增函数 ππ

－，上的增函数 C．22[答案] B

ππ

－x＝cosx－ [解析] y＝cos44ππ

x－在∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移后得到y＝cos44

3π

－π，上的增函数 B．44π5D．4，4π上的增函数 B．第二象限角 D．第四象限角

－3π，π上是增函数．

44

2π

6．已知函数y＝2sinωx(ω>0)的图像与直线y＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为，

3则ω的值为( )

A．3 2C．

3[答案] A

[解析] 函数y＝2sinωx(ω>0)的最小值是－2，它与直线y＋2＝0相邻的两个公共点之2π2π

间的距离恰好为一个周期，由＝，得ω＝3.故应选A.

ω3

7．(2014·安徽理，6)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x<π时，f(x)＝0，23π

则f()＝( )

6

1A．

2C．0

B．

3 23B．

21D．

3

1D．－ 2

[答案] A

[解析] 本题考查递归运算，诱导公式． 231717f(π)＝f(π)＋sinπ 666111117＝f(π)＋sinπ＋sinπ

666551117＝f(π)＋sinπ＋sinπ＋sinπ

66661111＝0＋－＋＝. 2222

π

ωx＋(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) 8．已知函数f(x)＝sin3π

A．关于点3，0对称 πC．关于点4，0对称 [答案] A

π2π＋π＝0. [解析] T＝π⇒ω＝2⇒f＝sin333π∴f(x)关于3，0对称，故选A.

π

ωx＋(x∈R，9．已知函数f(x)＝sinω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx4的图像，只要将y＝f(x)的图像( )

π

A．向左平移个单位长度

8π

C．向左平移个单位长度

4[答案] A

[解析] 本小题主要考查简单的三角函数的性质和图像． 2π

∵T＝π，∴＝π，∴ω＝2.

ωπ2x＋ ∴f(x)＝sin4

π

又∵sin(2x＋)错误!sin错误!

4π

＝sin(2x＋)＝cos2x

2

π

∴ y＝f(x)图像左移个单位即得g(x)＝cos2x的图像．故选A.

8

π

B．向右平移个单位长度

8π

D．向右平移个单位长度

4π

B．关于直线x＝对称

4π

D．关于直线x＝对称

3

π

10．已知将函数y＝sin(x－)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，

3π

再将所得图像向左平移个单位，所得函数图像的一条对称轴方程是( )

3

π

A．x＝

44π

C．x＝

3[答案] C

π1π1ππ1π

[解析] 由已知得y＝sin(x－)→y＝sin(x－)→y＝sin[(x＋)－]＝sin(x－)．

323233261ππ4π4π

令x－＝kπ＋，得x＝2kπ＋(k∈Z)，即函数的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)． 26233

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．y＝sinx－|sinx|的值域是________． [答案] [－2,0]

[解析] 去掉绝对值符号，将函数化简再求值域． y＝sinx－|sinx|

5π

B．x＝ 3D．x＝π

0，sinx≥0，＝ 2sinx，sinx<0.

作出函数图像如图所示．

12．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是________． [答案] 18

l

[解析] ∵l＝αR，∴R＝＝6.

α

11

根据扇形面积公式有S扇＝lR＝×6×6＝18.

22

13．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为2π，且当5

x∈[0，π]时f(x)＝sinx，则f(π)＝________.

3

[答案]

3 2

55

[解析] 由题意可知f(π)＝f(π－2π)

33πππ3

＝f(－)＝f()＝sin＝.

3332

π

14．函数y＝sin(－2x)的单调递减区间是________．

6ππ

[答案] [－＋kπ，＋kπ](k∈Z)

63ππ

[解析] y＝sin(－2x)＝－sin(2x－)．

66πππ

－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)． 262ππ

解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．

63

15．下列命题中，正确命题的序号是________． ①函数y＝sin|x|不是周期函数． ②函数y＝tanx在定义域内是增函数． 1π

cos 2x＋的周期是. ③函数y＝225π

x＋是偶函数． ④y＝sin2[答案] ①④

ππcos2x＋1的周期为kπ－，kπ＋(k∈Z)内是增函数，[解析] ②中y＝tanx在③中y＝222π.

三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

8π

16．(本小题满分12分)设tan(α＋)＝a，

715π13πsin＋α＋3cosα－

77求的值．

20π22πsin－α－cosα＋77

8π8π

sinπ＋＋α＋3cosα＋－3π

77

[解析] 原式＝

8π8π

sin4π－－α－cosα＋＋2π

778π8π

－sin＋α－3cosα＋

77

＝ 8π8π－sin＋α－cosα＋77

8π

tan＋α＋3a＋3

7＝＝. 8π

tan＋α＋1a＋1

7

1ππ5

x－，当x∈－，π时函数的最大值与最小17．(本小题满分12分)求函数y＝2sin2633值．

π5

－，π时， [解析] 当x∈331ππ21π

x－∈－3，3π，令t＝x－， 2626

π2πππ2

－，π上的单调性为在－，上增，在，π上减． ∵y＝2sint在3332231ππππ

∴当x－＝－即x＝－时，函数取最小值，ymin＝2sin(－)＝－3，

263331ππ4

当x－＝即x＝π时，函数取最大值，ymax＝2. 2623

π

18．(本小题满分12分)已知|x|≤，求函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋1的最小值．

6[分析] 利用换元法转化为求二次函数的最值问题． π11

[解析] 令t＝sinx，∵|x|≤，∴－≤sinx≤.

6221511

则y＝－t2＋t＋1＝－(t－)2＋(－≤t≤)．

2422

1π1151

∴当t＝－时，即x＝－时，f(x)有最小值，且最小值为－(－－)2＋＝. 262244

π－π，π2x＋＋a(a为实常数)．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin且当x∈31212时，f(x)的最大值与最小值之和为3.

(1)求实数a的值；

(2)说明函数y＝f(x)的图像经过怎样的变换可以得到函数y＝sinx的图像？ π

[解析] (1)依题意有f(x)＝2sin(2x＋)＋a，

3πππππππ－，⇒2x∈－，⇒2x＋∈，， x∈1212663621π

∴≤sin(2x＋)≤1， 23

fxmax＝2＋a即，∴2a＋3＝3⇒a＝0. fxmin＝1＋a

πππ

(2)由(1)知f(x)＝2sin(2x＋)．将函数y＝2sin(2x＋)的图像先向右平移个单位，再把所

336得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐1

标缩短为原来的倍(横坐标不变)，便得到函数y＝sinx的图像．

2

20．(本小题满分13分)如图，它表示电流I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图像．

(1)试根据图像写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

1

(2)在任意一段秒的时间内，电流I有可能既取得最大值|A|，又取得最小值－A吗？

100[解析] (1)观察图像，A＝3， 1132π100π

∵T＝2(－)＝，∴ω＝＝. 205050T31π由ω·＋φ＝π可解得φ＝.

503100ππ∴I＝3sin(t＋)．

3331

(2)∵T＝>，

50100

1

∴不可能在任意一段秒的时间间隔内，I既取得最大值|A|，又取得最小值－|A|.

10021．(本小题满分14分)已知f(x)＝(1)判断f(x)的奇偶性；

(2)画出f(x)在[－π，π]上的简图；

(3)求f(x)的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间． π

[解析] (1)∵cosx≠0，∴x≠kπ＋(k∈Z)．

2

sin－x－sinxπ

∴函数定义域为x|x≠kπ＋2，k∈Z，关于原点对称，且f(－x)＝＝＝

2|cosx|2|cos－x|－f(x)，

∴此函数为奇函数．

sinx

. 2|cosx|

(2)f(x)＝

sinx

2|cosx|

ππ－2－π≤x<－π或πππππ

－，，单调递减区间为－π，－，，π. (3)T＝2π，单调递增区间为2222