一．课时目标
1.通过实例分析了解函数平均变化率的意义．
导数概念，运算及几何意义
.会求函数f(x)在x到x＋Δx之间的平均变化率．
00
f(x)在区间(a，b)内导函数的概念.
2.了解函数的平均变化率及导数间的关系．掌握函数在一点处导数的定义，以及函数3.理解函数y＝f(x)在点(x，y)处的导数与函数
004.已知函数解析式，会求函数在点5.掌握基本初等函数的导数公式．
y＝f(x)图象在点(x，y)处的切线的斜率间的关系，掌握导数的几何意义．
00
(x，y)的切线的方程.
00
(x，y)处切线的斜率，能求过点
00
.掌握导数的和、差、积、商的求导法则．
.
6.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题
二．重点难点
1.理解函数平均变化率的意义．
(难点)
(重点)
2.求函数f(x)在x到x＋Δx之间的平均变化率．
003.理解函数在某点处的导数．
(难点)
(x，y)处的切线的方程．
00
(易混点) (重点)
(重点)
4.根据导数的几何意义，求函数在点
5.准确理解在某点处与过某点处的切线方程．6导数公式表的记忆．
.应用四则运算法则求导
(难点)
7.利用导数研究函数性质．
三．知识梳理
1．函数
yf(x)xx
1
从到
2
的平均变化率:函数
yf(x)从x到x的平均变化率为
1
2
f(x2)x2
f(x1)x1
若
xx2x1
，
yy2y1
，则平均变化率可表示为
y. x
2．函数(1)定义:
y
limx0
＝
f(x)
f(x0
在
xx
处的导数
0
x)x
f(x0)=
limx0
在x
y为函数x
yf(x)
'
在
xx0
或
处的导数，记作
f(x0)
，即
'
'
或
y
'
|
xx0，
y＝
x
即
f(x0)lim
x0
f(x0
x)x
'
y为函数yx
f(x0)
f(x)
x0处的导数，记作
f(x0)
yxx
|
'
0
f(x0)＝lim
x
0
limx0
(2)几何意义:函数
f(x)在点x0处的导数f(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点
'
0
'
处的切线的相
应地，切线方程为 .
3．函数f(x)的导函数:称函数
f(x)lim
x0
＝
'
f(xx)x
f(x)
为
f(x)的导函数，导函数有时也记作
'
y′.
4．基本初等函数的导数公式
原函数导函数
f(x)＝c f′(x)＝____
f(x)＝x (n∈Q)
n*
f′(x)＝_____
f(x)＝sin x f′(x)＝______
f(x)＝cos x f′(x)＝
f(x)＝a
x
f′(x)＝
f(x)＝e
x
f′(x)＝____
f(x)＝logax
f′(x)＝________________
f(x)＝ln x f′(x)＝_____
5.导数运算法则:(1)[f(x)±g(x)]′＝
f(x)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)
′＝(3)2
g(x)[g(x)]
；(2)[f(x)·g(x)]′＝；
(g(x)≠0)．
6．复合函数的导数:复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的
关系为y′x＝
，即y对x的导数等于
的导数与的导数的乘积．
四．正本清源
1．深刻理解“函数在一点处的导数”
、“导函数”、“导数”的区别与联系：
(1)函数
f(x)在点
x0处的导数
f(x0)
'
是一个常数；
(2)函数y＝
f(x)的导函数，
是针对某一区间内任意点
x而言的．如果函数
'
y＝
f(x)在区间(a,b)内每一点
(
x都可导，
是指对于区间(
a,b
)内的每一个确定的值
x0
都对应着一个确定的导数
f(x0)
．这样就在开区间
a,b)内构成了一个新函
数，就是函数
f(x)
的导函数
f(x)．在不产生
'
混淆的情况下，导函数也简称导数．
2．曲线
yf(x)
“在点
p(x0,y0)处的切线”“过点p(x,y)的切线”的区别与联系
0
0
(1)曲线
yy
f(x)在点p(x0,y0)处的切线是指
P为切点，切线斜率为
k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．
(2)曲线
f(x)过点p(x0,y0)的切线，是指切线经过
P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线
可能有多条．
五．典例分析
题型一
例1
求函数
利用导数的定义求函数的导数y
x
2
1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．
f＝f(xx
0
思维启迪：紧扣定义
x)x
f(x0)进行计算．
探究提高：
求函数
f(x)平均变化率的步骤：①求函数值的增量
2
1
f
f(x2)f(x1)
②计算平均变化率
f＝f(x)f(x). xxx
2
1
解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了．
变式训练1过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当
Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在
点P处切线的斜率．
题型二导数的运算
2
例2求下列函数的导数：(1)y＝x（x
1x
1x
3
x
）；(2)y＝x－sin
x
cos
2
2
；(3)y＝(
x＋1)(
1x
1).
思维启迪：若式子能化简，可先化简，再利用公式和运算法则求导．
探究提高①求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，
减少差错；②有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，
有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
变式训练2 求下列函数的导数：
(1)y＝(x－2)；
xxx
－cos ；(2)y＝cos sin 222(3)y＝log2(ax)．
32
例3
求下列复合函数的导数：
5
(1)y＝(2x－3)；(2)y＝3－x；
π
(3)y＝sin2x＋；
3
2
(4)y＝ln(2x＋5)．
思维启迪：先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗
漏，每一步对谁求导，不能混淆．
探究提高
由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，
一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．
变式训练3 求下列函数的导数：(1)y＝(2x＋1) (n∈N)；
n*
x5
(2)y＝.
1＋x
题型三导数的几何意义
ax＋bx＋c通过点P(1,1)，且在点Q(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求实数
2
例4 已知抛物线y＝
a、b、c的值．
思维启迪：函数y＝ax＋bx＋c在点Q(2，－1)处的导数值等于切线斜率为
2
1，且点Q(2，－1)、点P(1,1)都在抛物线上．
探究提高利用导数求切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而
解．解答本题常见的失误是不注意运用点
(2，－1)在曲线上这一关键的隐含条件．Q
变式训练4
1
设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为
x＋b
y＝3.求y＝f(x)的解析式．
题型四求切点坐标
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°例5在曲线y＝x2上哪一点处的切线，满足下列条件：(1)平行于直线y＝4x－5；的倾斜角．分别求出该点的坐标．
[题后感悟]解决此类问题，关键是利用导数的几何意义求出过切点的切线的斜率，结合题意列方程，求出切点的坐标．求解
过程应认真领会数学的转化思想、待定系数法．
变式训练5
已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为
45°？
x＋8y－3＝0?
(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线
[特别提醒]
(1)若曲线y＝f(x)在点P(x，f(x))处的导数f′(x)不存在，就是切线与
000
f′(x0)＝0，切线与x轴平行．
y轴平行．f′(x)＞0，切线与x轴正向夹
0
角为锐角，f′(x)＜0，切线与x轴正向夹角为钝角；
0
(2)若题中所给的点(x，y)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而可求
00出切线方程．
六易错警示：
分不清“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”的区别致误
例6
134
已知曲线y＝x＋.
(1)求曲线在(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．
33
批阅笔记(1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．
(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标为
P(x0，y0)，然后求其切线斜率
k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．
(3)易错点是：在第(2)问中，多数学生误以为点(2,4)就是切点，从而导致错误．
(4)错因分析：一般情况下，受思维定势的影响，有些人认为直线与曲线相切时，有且只有一个公共点，这是错误的．依据切
线斜率的导数定义可知，切线可以和曲线有除切点外的其他公共点．思想方法感悟提高．
七课后小结
1．在对导数的概念进行理解时，
特别要注意f (x0)与(f (x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f (x)在x＝x0处的导数值，不一定为0；
而(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，而函数值
f (x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x0))′＝0.
2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对
求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
失误与防范
1．利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx 的区别，这里的x是常量，Δx是变量．
2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
3．求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
八家庭作业
y
x
2
1，（2011全国高考4）曲线
（A）
2x1在点（1,0）处的切线方程为y
x1
（C）
yx1
（B）
y2x2
（D）
y2x2
2，（20XX年山东高考4）曲线y
（A）-9
（B）-3
x
3
11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
（D）15
）
（C）9
x
,3，（20XX年江西考4）曲线y
e在点A（0,1）处的切线斜率为（
1
A.1
4，（20XX年重庆高考文
(A)
5,（20XX年江西高考理
A.
B.2 3)曲线(B)4）设
B.
C.e
在点
,
D.e
处的切线方程为
(D)
'
(C)
f(x)(1,0)
x
2
2x(2,
)
4lnx，则f(x)
C.
0的解集为)
D.
(0,)(2,(1,0)
6，(20XX年全国高考理8）曲线
ye
2x
1在点（0,2）处的切线与直线
2
(C)3
(D)1
y
0和yx围成的三角形的面积为
1
(A)3
1
(B)2
y
7，（20XX年湖南高考7）曲线
sinxsinx
2
cosx
12在点
2
D．2
M(
4
,0)
处的切线的斜率为（
）
1
A．
1
B．
22
C．20）设函数
2
8，(20XX年辽宁文高考题
f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的切斜线率为
2．
（I）求a，b的值；（II）证明：f(x)≤2x-2．
f(x)
9，（20XX年全国Ⅰ理高考题（Ⅰ）求a、b的值；
21）已知函数
alnxx1
b
x，曲线y
f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为
x2y
3
0。
10，（20XX年全国Ⅱ高考题文
(Ⅰ)证明：曲线
20）已知函数
f(x)x
3
3ax
2
(36a)x12a4(aR)
yf(x)在x0的切线过点(2,2)；
fx
ax
3
3x
2
1，(20XX年天津文高考题
20）已知函数
2
x
R
，其中
a
0．
a1，求曲线yfx在点2,f2处的切线方程；
（20XX年重庆理高考题18）设f(x)
xaxbx
的导数f'(x)满足f'()
a,f'()
b，其中常数（Ⅰ）求曲线
y
f(x)在点(,f())处的切线方程；
答案
例1解
∵Δ
y＝
x0
x
2
1－
x2
0
1
a,bR。
11（Ⅰ）若12,x0
＝
xx
2
11
x1
＝
x0
22
11
＝
2x0xx0
x
2
x1
2
2
x0
yx
＝
2
x0
2
x0
1
，
2x0
x0
x
∵Δ
2
∴
x0
(1＋
1
变式训练1解
yy
xy
)－
(1)＝(1＋
x
)－1＝3
3
x
＋3(
x
)＋(
2
x
)，∴割线PQ的斜
3
3x3x
率为
2
x
3
y＝
x
x
＋(
＝3＋3
xx
).∴当
2
x＝0.1时，割线
PQ的斜率为
y＝3＋3×0.1＋(0.1)＝3.31，曲线在点x
2
P(1,1)处切线的斜率
为
limx0
例2
122
解(1)∵y＝x＋1＋2，∴y′＝3x－3.
xx
3
y＝
limx0x
[3＋3
x＋(x)]＝3.
2
(2)先使用三角公式进行化简，得
1xx111
y＝x－sin cos ＝x－sin x，∴y′＝x－2sin x′＝x′－(sin x)′＝1－cos x.
22222
1
11
(3)先化简，y＝x－x＋－1＝－
xx
x
2
＋
x
1
2
1
1
∴y′＝－
2
3
1－2
x
2
x
2
1
＝－1＋.
x2x
12.
x
变式训练2解
(1)∵y＝(x－2)＝x－4x＋4，∴y′＝(x－4x＋4)′＝1－
2
xxxxx11112x
(2)∵y＝cos sin －cos ＝cos sin －cos＝sin x－(1＋cos x)＝(sin x－cos x)－，
2222222222
π11112
∴y′＝sin x－cos x－′＝(sin x－cos x)′＝(cos x＋sin x)＝sinx＋.
2242223
(3)∵y＝log2(ax)＝log2a＋3log2x，∴y′＝(log2a)′＋(3log2x)′＝.
xln 2
3
例3
解
(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)由y＝u与u＝2x－3复合而成，∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(2x－3)′＝5u·2＝10u
55544
＝10(2x－3).
4
1
(2)设u＝3－x，则y＝
3－x由y＝
1
与u＝3－x复合而成．∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(
1
1
)′(3－x)′＝
2
u
2
u
2
u
2
1
(－1)＝－
2
u
12
＝－
2
2
1
＝. 3－x2x－6
3－x
πππ2π
(3)设y＝u，u＝sin v，v＝2x＋，则y′x＝y′u·u′v·cos v·2＝4sin2x＋·cos2x＋＝2sin4x＋.v′x＝2u·3333(4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则y′x＝y′u·u′x，∴y′＝
·(2x＋5)′＝.
2x＋52x＋51
2
变式训练3 解
x
(1)y′＝n(2x＋1)x
x
n－1
·(2x＋1)′＝2n(2x＋1)
n－1
.
4
1＋x－x445x
′＝5(2)y′＝5··2＝6. 1＋x1＋x1＋x1＋x1＋x
例4解∵y′＝2ax＋b，∴抛物线在Q(2，－1)处的切线斜率为k＝y′|x＝2＝4a＋b
.∴4a＋b＝1. ①又∵P(1,1)、Q(2，－1)在抛物线上，∴a＋b＋c＝1，②
4a＋2b＋c＝－1. ③
a＝3，
联立①②③解方程组，得
b＝－11，c＝9.
2a＋
＝3，
2＋b12＋b
2＝0，
∴实数ab c的值分别为3、－11、9.
1
变式训练4
解f′(x)＝a－
1x＋b
2，由题意得
a－
a＝1，解得
b＝－1，
或
9a＝，
48b＝－，
3
,又因a，b∈Z，故f(x)＝x＋
. x－1
2
2
1
例5[解题过程]
fx＋Δx－fx
f′(x)＝lim＝lim
Δx
Δx→0
Δx→0
x＋Δx－x
＝2x，
Δx
设P(x0，y0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线(2)因为切线与直线
y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)．139
2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝
324
39
，即P－，.
24
(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，则其斜率为－1111
即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P－2，4.
24
1.
变式训练5
解析：
设点的坐标为(x0，y0)，则Δx)＋y＝2(x0＋Δ
2
2
1－2x0－1＝
Δy
4x0·Δx.当Δx无限趋x＋2(Δx)，∴＝4x0＋2Δ
Δx
2
Δy
近于零时，无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.
Δx
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为
45°，∴斜率为tan 45＝°1.
19
，. 48
1
即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，该点为
4(2)∵抛物线的切线平行于直线
4x－y－2＝0，
∴斜率为4.即f′(x0)＝4x0＝4得x0＝1.该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线
x＋8y－3＝0垂直，
∴斜率为8.即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．
例6
规范解答解
1342
(1)∵y＝x＋，∴y′＝x，∴曲线在点(2,4)处的切线的斜率。k＝y′|x＝2＝4 由y－4＝4(x－2)，得4x－y－4
33
＝0.∴曲线在点(2,4)处的切线方程为4x－y－4＝0
134
A x0，x0＋
33
134
(2)设曲线y＝x＋与过点P(2,4)的切线相切于点
33
2k＝y′|x＝x0＝x0.∴切线方程为
则切线的斜率
13423422
x＋＝xy－00(x－x0)，即y＝x0x－x0＋3333
3x0－
23222
3x0＋4＝0，∴x0＋x0－4x0＋4＝0，∴x0(x0＋
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝
2342
2x0－x0＋
3
3
，即
1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0
－2)＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为
2
4x－y－4＝0或x－y＋2＝0
家庭作业答
1【答案】A 2，【答案】C,
3，【答案】A 【解析】
y
'
e,x
x
0,e
0
1,
4，【答案】：A
5.【答案】C 所以f(x)
'
【解析】f(x)定义域为(0,
)，又由
f(x)
'
2x2
4x
2(x2)(x1)x
0
，解得
1x
0或x2，
0的解集(2,
)
【解析】
6，【答案】A【命题意图】：本小题主要考查导数的求法、导数的几何意义及过曲线上一点切线的方程的求法。
y|x
0
(2e
2x
)|x
0
2
，故曲线y
e
2x
1在点（0,2）处的切线方程为
y2x
2，易得切线与直线
y
0和yx围成
1
的三角形的面积为
3。
y'
cosx(sinx
cosx)sinx(cosxsinx)1
B【解析】
(sinx
cosx)
2
(sinxcosx)2
7.【答案】，所以
y'|
1
1
x
4
(sin
2
2
4cos4
)
。
0,
1a0,
f(x)
12ax
bf(1)
8，解：（I）
x
.
,由已知条件得
f(1)
2.即12ab
2.，解得a
1,b3.
（II）f(x)的定义域为(0,
)f(x)
x
x
2
，由（I）知3lnx.设
g(x)
f(x)
(2x2)
2
x
x
2
3lnx,
0;当x1
时,g(x)0.
g(x)
12x3(x1)(2x
3)当0
x
1时,g(x)x
x
.
所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,
)单调减少.
而g(1)
0,故当x
0时,g(x)
0,即f(x)
2x
2.
(x1
f'(x)
x
lnx)b
1
9，解：（Ⅰ）
(x1)
2
x2
，由于直线x2y3
0的斜率为
2，且过点(1,1)，
f(1)1,b
1,f'(1)
1
2,
ab
1故
即22,
解得
a1，b1。
f(x)
3x
2
10，【解析】(Ⅰ)
6ax
(3
6a)，f(0)
36a，又f(0)12a
4
曲线y
f(x)在x0的切线方程是：y
(12a
4)
(36a)x，在上式中令x2，得yf(x)在x
0的切线过点(2,2)；
y2，则
所以曲线
11，【解】（Ⅰ）当
a1时，
fxx
3
32
x
2
1
，
f2
3．f
x3x
2
3x，f
9．
2
6．
y所以曲线fx在点2,f2处的切线方程为
/
y36x2，即y
b
3
6x
,12，解：（Ⅰ）f(x)
3x
2
2ax
b则f(1)3/
32a2a32
b
3；
f(1)
f(2)
/
124abbaf(x)xx3x1
5,f(1)
/
3
故曲线2；所以
yf(x)在点(,f())处的切线方程为：
2
6x2y10
，于是有
2
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容