一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在
中，已知
三内角
成等差数列；
.则
是的（ ）
A． 充分必要条件 B．必要不充分条件 C． 充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A
2. 设实数x，y满足不等式
，则
的最小值是（ ）
A．－1 B．
C. 2 D．
参考答案：
B
作出可行域如下图所示：
设
，则只需求
的最小截距，平移直线
，当直线经过点
时，
的截距
最小，此时
，故选B.
3. 已知函数的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且点M,N
关于原点对称，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
参考答案：
B 【分析】
原题等价于函数的图象与函数的图象有交点，即方程
有解，即
有解，令，
利用导数法求出函数的值域，即可求得答案 【详解】函数
的图象与函数
的图象关于原点对称，
则原题等价于函数
的图象与函数
的图象有交点，
即方程有解，
即有解，
令，
则
，
当时，， 当
，
，故
，
1 / 6
由，
，
故当
时，
故的取值范围为.
故选：B.
【点睛】本题考查了图象的对称性，以及运用导数求函数的单调区间，极值的求解，在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围．
4. （5分）若P（2，1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线的方程为（ ） A． x+y﹣1=0 B． 2x﹣y﹣5=0 C． 2x+y=0 D． x+y﹣3=0
参考答案：
D
【考点】： 直线的一般式方程． 【专题】： 计算题．
【分析】： 利用圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，求出直线AB的斜率，用点斜式求得直线AB的方程．
解：圆（x﹣1）2
+y2
=25的圆心为（1，0），直线AB的斜率等于 =﹣1，
由点斜式得到直线AB的方程为y﹣1=﹣1（x﹣2），即x+y﹣3=0， 故选 D．
【点评】： 本题考查用点斜式求直线方程的方法，圆心和弦的中点的连线和弦所在的直线垂直，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．
5. 已知O是坐标原点，点A（-1,1），若点M（x,y）为平面区域
上的一个动点，
则
·的最大值是
A．-1 B．0 C．1 D．2 参考答案： D
6. 已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
参考答案：
D 7.
在植树活动中，每名同学可从两种树苗中任选一种进行种植，那么甲乙两名同学选择同一种树苗的概率是
A．
B． C．
D．
参考答案：
C
8. 有以下四种变换方式：
2 / 6
①向左平行移动个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平行移动
个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的
；
③每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平行移动个单位长度；
④每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平行移动
个单位长度． 其中能将函数
的图象变为函数
的图象是（ ）
A.①和④
B.①和③
C.②和④
D.②和③
参考答案：
A 略
9. 设全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，则?UA=（ ） A．{x|1＜x≤2}
B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞2} D．{x|x≤2}
参考答案：
A
【考点】补集及其运算．
【分析】由全集U，以及A，利用集合的基本运算即可得到结论． 【解答】解：全集U={x|x＞1}，集合A={x|x＞2}，?UA={x|1＜x≤2}， 故答案为：A．
10. 设复数
（i是虚数单位），
=
A.i B. -i C. -1 +i
D.1+i
参考答案：
C
,=
。二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 数列满足
,
则 .
参考答案：
12. 已知双曲线的右焦点为(，0)，则该双曲线的渐近线方程
为 ·
参考答案：
13. 若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通
项为
．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列
的首项为
，公比为，前项的积为，则 ．
参考答案： 数列
为等比数列，且通项为
略
14. （几何证明选讲选做题）如图，与圆
相切点
，
为圆
的割线，并且不过圆心
，已知
，
，
，则 ▲ ；圆的半径等于
▲．
参考答案：
3 / 6
．12，7
15. 设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ＞c+1)= P(ξ＞c-1),则c= ____ _.
参考答案：
2
16. 平面向量
的夹角为
，
，则
____________．
参考答案：
略
17. 若函数
，则
= 。
参考答案：
3 因为
，所以
。
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=
sinC，
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．
参考答案：
【考点】正弦定理；两角和与差的余弦函数． 【专题】三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a，b代入计算，即可求出cosA的值；
（Ⅱ）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（Ⅰ）将sinB=
sinC，利用正弦定理化简得：b=
c，
代入a﹣c=
b，得：a﹣c=c，即a=2c，
∴cosA===；
（Ⅱ）∵cosA=
，A为三角形内角，
∴sinA=
=，
∴cos2A=2cos2
A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=
，
则cos（2A﹣
）=cos2Acos
+sin2Asin
=﹣×
+
×=
．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，
以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19. （本小题12分）已知函数
（I）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）若，求的取值范围； （Ⅲ）证明：
。
参考答案：
解：（I）
4 / 6
所以，所以切线方程是
（Ⅱ），
即：，而，则有，
即要使得
成立．
设，那么，
可知当时单调增，当时单调减.
故在
处取最大值为，
那么要使得
成立，则有
．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：，即
当
时，
当时，
20. 已知矩阵，，计算．
参考答案：
试题分析：利用矩阵特征值及其对应特征向量
性质：
进行化简.先根据矩阵M的特征
多项式求出其特征值，进而求出对应的特征向量
，.再将分解成
特征向量，即
，最后利用性质求结果，即
21. 已知点是圆
上任意一点，点与点关于原点对称。线段的中垂线
分别与交于两点． （1）求点
的轨迹
的方程；
（2）斜率为的直线与曲线交于
两点,若
（为坐标原点），试求直线在
轴上截距的取值范围．
参考答案：
解：（1）由题意得，
圆的半径为，且 ……… 1分
从而
………… 3分
∴ 点M的轨迹是以
为焦点的椭圆, ………… 5分
5 / 6
其中长轴则短半轴
,得到,焦距，
椭圆方程为: ………… 6分
（2）设直线l的方程为可得则
,由
,即 ① ………… 8分
设由整理可得
可得
,则
,即
…………10分
…………12分
即
化简可得,代入①整理可得,
故直线在y轴上截距的取值范围是
22. （本小题满分12分） 已知函数f（x）＝
．
． …………14分
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调递增； （Ⅱ）若g（x）＝范围．
（x＞0），且关于x的方程g（x）＝m＋f（x）在上有解，求m的取值
参考答案：
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