中考数学专题复习之解直角三角形应用中的模型

解直角三角形应用中的模型

◆类型一 叠合式

1．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 CD 的高度，在水平地面 A 处安置测倾

器测得楼房 CD 顶部点 D 的仰角为 45°，向前走 20 米到达 A′处，测得点 D 的仰角为 67.5°.

已知测倾器 AB 的高度为 1.6 米，则楼房 CD 的高度约为(结果精确到 0.1 米， 2≈

1.414)(

)

C．35.7 米 D．35.74 米

A．34.14 米 B．34.1 米

第 1 题图

第 2 题图

2．一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60°的方向出港观光，航行 60 海里至 C 处时发生

了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得

事故船在它的北偏东 30°方向，马上以 40 海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船 C

处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．

3．如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的

高度，于是他做了一些测量，他先在 B 点测得 C 点的仰角为 60°，然后到 42 米高的楼顶 A

处，测得 C 点的仰角为 30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度 CD.

4．埃航 MS804 客机失事后，亲自发电进行慰问，埃及出动了多艘舰船和

飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下 500 米的 A 点处测得俯角为 45°的前下方海

底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000 米后到达 B 点，在 B 处测得俯角为 60°

的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C 点距离海面的深度(结果保留根号)．【方

1

法 10】

5．如图所示，一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的俯角

为α，其中 tanα＝2 3，无人机的飞行高度 AH 为 500 3米，桥的长度为 1255 米．

(1)求点 H 到桥左端点 P 的距离；

(2)若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的长度

AB.

◆类型二 背靠式

6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直

升机的镜头 C 观测到水平雪道一端 A 处的俯角为 30°，另一端 B 处的俯角为 45°.若直升机

镜头 C 处的高度 CD 为 300 米，点 A、D、B 在同一直线上，则雪道 AB 的长度为(

)

A．300 米 B．150 2米

C．900 米 D．(300 3＋300)米

第 6 题图 第 7 题图

2

7．如图，在东西方向的海岸线上有 A、B 两个港口，甲货船从 A 港沿北偏东 60°的方

向以 4 海里/时的速度出发，同时乙货船从 B 港沿西北方向出发，2 小时后相遇在点 P 处，

则乙货船每小时航行________海里．

8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高

度的想法，他站在自家 C 处测得对面楼房底端 B 的俯角为 45°，测得对面楼房顶端 A 的仰

角为 30°，并量得两栋楼房间的距离为 9 米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房 AB 的高

度(结果保留到整数，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7)．

9．如图，C 地在 A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到 C 地需绕行 B 地．已知 B

地位于 A 地北偏东 67°方向，距离 A 地 520km，C 地位于 B 地南偏东 30°方向．若打通穿山

隧道，建成两地直达高铁，求 A 地到 C 地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin67°

12 5 12

≈ ，cos67°≈ ，tan67°≈ ， 3≈1.73)．【方法 10】

13 13 5

3

10．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 AB 的高度，沿旗杆正前方 2 3米处的点 C

出发，沿斜面坡度 i＝1∶ 3的斜坡 CD 前进 4 米到达点 D，在点 D 处安置测角仪，测得旗杆

顶部 A 的仰角为 37°，量得仪器的高 DE 为 1.5 米．已知 A，B，C，D，E 在同一平面内，AB

3 4 3

⊥BC，AB∥DE，求旗杆 AB 的高度(参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ .计算

5 5 4

结果保留根号)．

参与解析

1．C

3 2.

2

解析：如图，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于 D.在 R△t ACD 中，∵∠ADC＝90°，

1

∠CAD＝30°，AC＝60 海里，∴CD＝ AC＝30 海里．在 R△t CBD 中，∵∠CDB＝90°，∠CBD

2 ＝90°－30°＝60°，∴BC＝ ＝20 3(海里)，∴海警船到达事故船 C 处所需的时

sin∠CBD 3

间大约为 20 3÷40＝ (小时)．

2

CD

3．解：如图，作 AE⊥CD.∵CD＝BD·tan60°＝ 3BD，CE＝BD·tan30°＝ BD，∴AB

3

3

4

2 3

＝CD－CE＝ BD＝42 米，∴BD＝21 3米，CD＝ 3BD＝63 米．

3

答： 号楼的高度 CD 为 63 米．

4．解：如图，过C 作 CD⊥AB 于 D，交海面于点 E.设 BD＝x 米．∵∠CBD＝60°，∴tan

CD

∠CBD＝ ＝ 3，∴CD＝ 3x 米．∵AB＝2000 米，∴AD＝(x＋2000)米．∵∠CAD＝45°，

BD CD

∴tan∠CAD＝ ＝1，∴ 3x＝x＋2000，解得 x＝1000 3＋1000，∴CD＝ 3(1000 3＋1000)

AD

＝(3000＋1000 3)(米)，∴CE＝CD＋DE＝3000＋1000 3＋500＝(3500＋1000 3)(米)．

答：黑匣子 C 点距离海面的深度为(3500＋1000 3)米．

AH 500 3

5．解：(1)在 R△t AHP 中，∵AH＝500 3米，由 tan∠APH＝tanα＝ ＝ ＝2 3，

HP PH

可得 PH＝250 米．∴点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米．

BC

(2)设 BC⊥HQ 于 C.在 R△t BCQ 中，∵BC＝AH＝500 3米，∠BQC＝30°，∴CQ＝

tan30°

＝1500 米．∵PQ＝1255 米，∴CP＝245 米．∵HP＝250 米，∴AB＝HC＝250－245＝5(米)．

答：这架无人机的长度 AB 为 5 米．

6．D

7．2 2 解析：作 PC⊥AB 于点 C.∵甲货船从 A 港沿北偏东 60°的方向以 4 海里/时的 1

速度出发，∴∠PAC＝30°，AP＝4×2＝8(海里)，∴PC＝AP×sin30°＝8× ＝4(海里)．∵

2 乙货船从 B 港沿西北方向出发，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PC÷sin45°＝4÷

2

2

＝4 2(海里)，

∴乙货船航行的速度为 4 2÷2＝2 2(海里/时)．

5

8．解：在 △Rt ＝9× 3

AD

ADC 中，∠ACD＝30°，tan∠ACD＝CD ，CD＝9 米，∴AD＝CD·tan∠ACD

BD

＝3 3(米)．在 △Rt

3

CDB 中，∠BCD＝45°，CD

＝AD＋BD＝3 3＋9≈14(米)．

答：对面楼房 AB 的高度约为 14 米．

9．解：过点B 作 BD⊥AC 于点 D.∵B 地位于 A 地北偏东 67°方向，距离 A 地 520km，∴

12 5

∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520× ＝480(km)，BD＝AB·cos67°≈520× ＝

13 13 3

200(km)．∵C 地位于 B 地南偏东 30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan30°＝200×

3

200 3 200 3

＝ (km)，∴AC＝AD＋CD＝480＋ ≈480＋115＝595(km)．

3 3

答：A 地到 C 地之间高铁线路的长为 595km.

13

10．解：如图，延长 ED 交 BC 的延长线于点 F，则∠CFD＝90°.∵tan∠DCF＝i＝ ＝，

3 3 1 3

∴∠DCF＝30°.∵CD＝4 米，∴DF＝ CD＝2 米，CF＝CD·cos∠DCF＝4× ＝2 3(米)，∴

2 2

BF＝BC＋CF＝2 3＋2 3＝4 3(米)．过点 E 作 EG⊥AB 于点 G，则 GE＝BF＝4 3米，GB＝EF

＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝4 3·tan37°≈

3 3米，则 AB＝AG＋BG≈(3 3＋3.5)米，故旗杆 AB 的高度约为(3 3＋3.5)米．

6