最新北师大版九年级数学下册《解直角三角形》典型例题

《解直角三角形》典型例题

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形．

分析 本题实际上是要求∠A、b、c的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） （2）由tanBb，知aaa4，知c8 ． ccosBcos60 ；

；

（3）由cosB 说明 此题还可用其他方法求b和c．

例 2 在Rt△ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，b3,解这个三角形． 解法一 ∵ 设 ∴

解法二 abtan30331 3 ∴

由勾股定理,得

∴ ．

．

,则

说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设ABC．

中，

于D，若

，解三角形

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分析 “解三角形ABC”就是求出边，所以应先从Rt

入手．

的全部未知元素．本题CD不是 的

解 在Rt 中，有：

∴ 在Rt

中，有

说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如：

（2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中“

”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，

还可以用面积公式求出AB的值：

所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4 在

中，

，求

．

分析 （1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）

不是直角三角形，可构造直角三角形求解．

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解 如图所示，作

，且有

交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有

在

中，

，且

；

，

∴ ；

于是，有 则有

，

说明

还可以这样求：

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例5 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60°角，另一根拉线BC和地面成45°角．求两根拉线的总长度（结果用带根号的数的形式表示）．

分析 分别在两个直角三角形ADC 和BDC中，利用正弦函数的定义，求出AC 和BC ．

解: 在Rt△ADC中，ACDC5103 sin60332 在Rt△BDC中，BCDC5102 sin45222

说明 本题考查正弦的定义，对于锐角三角函数的定义，要熟练掌握．

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