2014年中考数学一轮复习学案第27讲 尺规作图

第27讲 尺规作图

【考纲要求】

1．能用尺规完成五种基本作图．

2．会写已知、求作，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法． 3．能运用尺规的基本作图方法解决作图的简单应用问题. 【命题趋势】

中考对本部分内容的考查主要是利用尺规作图解决实际问题的能力，题型主要以设计、探究形式的解答题为主. 【考点探究】

考点一、基本作图

【例1】按要求用尺规作图(只保留作图痕迹，不必写出作法)． (1)在图(1)中作出∠ABC的平分线； (2)在图(2)中作出△DEF的外接圆O.

方法总结 依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意一定保留好作图痕迹． 触类旁通1 画△ABC，使其两边为已知线段a，b，夹角为β.(要求：用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法)

已知：

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求作：

考点二、基本作图的实际应用

【例2】如图，要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB，BC都相切．请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．

分析：∵圆与AB，BC都相切，∴圆心到AB，BC的距离相等．∴圆心应是∠ABC的角平分线与AC的交点．

解：下图即为所求图形．

方法总结 要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题．

触类旁通2 为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A，B，C不在同一直线上，地理位置如下图)，请你用尺规作图的方法确定点P的位置．

要求：写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

【经典考题】

1．(2013绍兴)如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内切正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：

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甲：1．作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点． 2．连接AB，AC. △ABC即为所求作的三角形．

乙：1．以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点． 2．连接AB，BC，AC. △ABC即为所求作的三角形． 对于甲、乙两人的作法，可判断( ) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确

2．(2013山东)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )

A．SSS B．ASA

C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等

3．(2013贵州)某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图)

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4．(2013德州)有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．(保留作图痕迹，不要求写出画法)

5．(2013广东)在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，

(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

【模拟预测】

1．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：

(1)作∠A的角平分线交BC于D点． (2)作AD的中垂线交AC于E点． (3)连接DE.

根据他画的图形，判断下列关系何者正确？( ) A．DE⊥AC B．DE∥AB C．CD＝DE D．CD＝BD

2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于__________．

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3．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__________个．

4．如图，已知∠AOB，点M，N，求作点P，使点P在∠AOB的角平分线上，且PM＝PN.(保留作图痕迹，不写作法)

5．某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．

(1)用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1(保留作图痕迹)；

(2)若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1.

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参

【考点探究】

触类旁通1．解：已知：线段a，b，角β. 求作：△ABC，使边BC＝a，AC＝b，∠C＝β. 画图(保留作图痕迹)

触类旁通2．解：已知A村、B村、C村，求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．

【经典考题】

1．A 根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB.∵BC垂直平分OD， ∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

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1

∴OE＝DE＝OD.

2

在Rt△OBE中，∵OB＝OD， 1

∴OE＝OB，

2

∴∠OBE＝30°.又∠OEB＝90°，∴∠BOE＝60°. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. 又∠BOE为△AOB的外角， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°， ∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°. 同理∠C＝60°，∴∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，

∴△ABC为等边三角形，故甲的作法正确． 根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD.∵OD＝BD，OD＝OB， ∴OD＝BD＝OB，∴△BOD为等边三角形， ∴∠OBD＝∠BOD＝60°.

同理可知△COD也为等边三角形，∠OCD＝∠COD＝60°， ∴∠BOC＋∠OCD＝∠BOD＋∠COD＋∠OCD＝180°， ∴BO∥CD.

又∵△BOD和△COD是等边三角形， ∴四边形BDCO是菱形， ∴∠OBM＝∠DBM＝30°.

又OA＝OB，且∠BOD为△AOB的外角， ∴∠BAO＝∠ABO＝30°，

∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°， 同理∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，

∴△ABC为等边三角形，故乙的作法正确．故选A.

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2．A 连接NC，MC.

ON＝OM，

在△ONC和△OMC中，NC＝MC，

OC＝OC，

∴△ONC≌△OMC(SSS)，∴∠AOC＝∠BOC.故选A. 3．解：作图如图所示．

(2)∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BAC＝36°. 又∵BD平分∠ABC，

11

∴∠ABD＝∠ABC＝×72°＝36°，

22

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∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°. 【模拟预测】

1．B 依据题意画出图形．

可得知∠1＝∠2，AE＝DE，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，即DE∥AB.故选B. 12． 23．3

4．解：如图，连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，∠AOB的角平分线OC，EF与OC相交于点P.则点P即为所求．

5．解：如图所示，点C即为所求．

6．解：(1)作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB， 作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC， 如图所示即是所求．

(2)∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4， AC14

∴AB1＝3，AC1＝4，tan∠AB1C1＝＝.

AB13

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