二次函数铅垂高演练(答案、解析、总结)

二次函数铅垂高

如图12-1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直

线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABC三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题：

如图12-2，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.

(1)求抛物线和直线AB的解析式；

(2)点P是抛物线(在第一象限)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及SCAB； (3)是否存在一点P，使S△PAB=说明理由.

1ah，即29S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请8y

C B

D 1 O

1

A

x

图12-2

例1解：(1)设抛物线的解析式为：y1a(x1)4 ······································· 1分

把A（3,0）代入解析式求得a1

所以y1(x1)4x2x3 ········································· 3分

设直线AB的解析式为：y2kxb

由y1x2x3求得B点的坐标为(0,3) ································ 4分 把A(3,0)，B(0,3)代入y2kxb中 解得：k1,b3

所以y2x3 ·································································· 6分

2222 - 总结

- -

(2)因为C点坐标为(１,4)

所以当x＝１时，y1＝4，y2＝2

所以CD＝4-2＝2 ··································································· 8分

SCAB1323(平方单位) ···············································10分 222(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，△PAB的铅垂高为h，

则hy1y2(x2x3)(x3)x3x ····················12分 由S△PAB=得：

9S△CAB 8193(x23x)3 282化简得：4x12x90 解得，x将x3 232代入y1x2x3中， 2315解得P点坐标为(,) ·························································14分

24总结：求不规则三角形面积时不妨利用铅垂高。铅垂高的表示方法是解决问题的关键，要学会用坐标表示线段。

例2（2010省中考拟）如图10，在平面直角坐标系中，二次函数yaxbxc(a0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC ，tan∠ACO＝（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图11，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积. y _ 21． 3

y _ - 总结 E _ A _ _ O B _ x _ A _ _ O B _ x _ - -

1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）

abc09a3bc0将A、B、C三点的坐标代入得c3 a1b2解得：c3

所以这个二次函数的表达式为：

yx22x3 方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0） 设该表达式为：ya(x1)(x3) 将C点的坐标代入得：a1

所以这个二次函数的表达式为：

yx22x3 （注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分） （2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3） 理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：yx3 ∴E点的坐标为（－3，0） 由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF ∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

∴存在点F，坐标为（2，－3） 方法二：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：yx3 ∴E点的坐标为（－3，0） ∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

- 总结

- -

∴F点的坐标为（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（2，－3）符合

∴存在点F，坐标为（2，－3）

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R>0），则N（R+1，R）， yR代入抛物线的表达式，解得

1172

1MRRN②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r>0）， 则N（r+1，－r），

AO1MrrNBxr代入抛物线的表达式，解得

1172

1171172或2∴圆的半径为．

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q， 易得G（2，－3），直线AG为yx1．

22x2x3xx2． 设P（x，），则Q（x，－x－1），PQ

DSAPGSAPQSGPQx

当

1(x2x2)32

1

2时，△APG的面积最大

11527,SAPG的最大值为4，8． 此时P点的坐标为2

随堂练习1．（2010）如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=23．设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

- 总结

- -

yDCEAOBx=4x

2【答案】解：（1）点C的坐标(2,23)．设抛物线的函数关系式为ya(x4)m，

16am0383a,m.4am2363 则，解得

y36(x4)2833…………①

∴所求抛物线的函数关系式为

4kb0343k,b2kb2333． 设直线AC的函数关系式为ykxb,则，解得

y33x433，∴点E的坐标为

(4,∴直线AC的函数关系式为

83)3

y把x=4代入①式，得

38383(44)2633，∴此抛物线过E点．

（2）（1）中抛物线与x轴的另一个交点为N（8，0），设M（x，y），过M作MG⊥x轴于G，则S△CMN=S△MNG+S梯形MGBC—S△

1(8x)y12(y23)(x2)12(82)23CBN=23y

32x53x8323x833(36x2433x)3x83=

32(x5)2 932,=

93∴当x=5时，S△CMN有最大值2

课下练习1．(本题满分12分)已知：如图一次函数y＝轴交于点B；二次函数y＝

1x＋1的图象与x轴交于点A，与y2121x＋bx＋c的图象与一次函数y＝x＋1的图象交于B、C两22 - 总结

- -

点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形BDEC的面积S；

(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

第24题图

1A(,0)23．（2010）如图，二次函数yxaxb的图象与x轴交于,B(2,0)两点，且

2与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；

（2）在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由.

第26题图

- 总结

- -

1【答案】解：根据题意，将A（2,0）,B（2,0）代入y=-x2+ax+b中，

11ab0,4242ab0.得

3a,2b1.解这个方程，得 全品中考网

3所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+1.

当x=0时，y=1.所以点C的坐标为（0，1）。

522OAOC所以在△AOC中，AC==2.

22OBOC在△BOC中，BC==5.

1522. AB=OA+OB=21252AB24因为AC2+BC2=4.

所以△ABC是直角三角形。

3,1（2）点D的坐标是2.

（3）存在。

由（1）知，AC⊥BC,

若以BC为底边，则BC∥AP,如图（1）所示，可求得直线BC的解析式为

1yx12.

直线AP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直

1yxb2线AP的解析式为，

图1 - 总结

- -

1111yx24. 将A（2,0）代入直线AP的解析式求得b=4,所以直线AP的解析式为



311x4. 因为点P既在抛物线上，又在直线AP上，所以点P的纵坐标相等，即-x2+2x+1=2解得

x151x222（不合题意，舍去）.

53当x=2时，y=2.

53所以点P的坐标为（2，2）.

②若以AC为底边，则BP∥AC，如图（2）所示，可求得直线AC的解析式为

y2x1.

直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y2xb，

将B（2,0）代入直线BP的解析式求得b=-4,所以直线BP的解析式为y=2x-4.

因为点P既在抛物线上，又在直线BP上，所以点P

图2 3的纵坐标相等，即-x2+2x+1=2x-4

5x1,x222解得（不合题意，舍去）. 5当x=-2时，y=-9.

5所以点P的坐标为（-2，-9）.

535综上所述，满足题目的点P的坐标为（2，2）或（-2，-9）

123xx4422(本题10分)如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴

 - 总结

- -

交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC． (1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；

(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?

．解：（1）A（0，4），C（8，0）．…………………………………………………………2分

（2）易得D（3，0），CD=5．设直线AC对应的函数关系式为ykxb，

1k,b4,1 解得则2 ∴yx4． ……………………………………3

28kb0.b4.分

①当DE=DC时，∵OA=4，OD=3．∴DA=5，∴E1（0，4）． ………………………4分 ②当ED=EC时，可得E2（11，5）．……………5分

42③当CD=CE时，如图，过点E作EG⊥CD，

则△CEG ∽△CAO，∴EGCGCE．

OAOCAC即EG5，CG25，∴E3（825，5）．……………………………………6分 综上，符合条件的点E有三个：E1（0，4），E2（11，5），E3（825，5）．

42（3）如图，过P作PH⊥OC，垂足为H，交直线AC于点Q． 设P（m，1m23m4），则Q（m，1m4）．

242①当0m8时，

PQ=（1m23m4）(1m4)=1m22m，

24241128(m2m)(m4)216，…………………………7分 APCAPQ24∴0S16； ……………………………………………………………………………8分 SSCPQS②当2m0时，

PQ=（1m4）(1m23m4)=1m22m，

2442SAPCSCPQSAPQ118(m22m)(m4)216， 24 - 总结

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∴0S20．………………………………………………………………………………9分 时，相应的点P有且只有两个．………………………… - 总结

故S16