圆锥曲线大题题型归纳

圆锥曲线大题题型归纳

基本方法：

1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；

2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的

根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率

公式一个共五个等式；

5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、

坐标问题；

基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；

2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；

3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。

题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

y2x2例1、 已知F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1 PF2=60°，则△F1 PF2的面积为多少？

10064

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点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。

变式1-1 已知F1,F2分别是双曲线3x25y275的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且

F1PF2=120，求F1PF2的面积。

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x2y2变式1-2 （2011•孝感模拟）已知F1，F2为椭圆 1 (0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点． 100b2（1）求|PF1|•|PF2|的最大值； （2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为643 ，求b的值 3 题型二 过定点、定值问题 例2、（2007秋•青羊区校级期中）如图，抛物线S的顶点在原点O，焦点在x轴上，△ABC三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线方程为4x+y-20=0， （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）是否存在定点M，使过M的动直线与抛物线S交于P、Q两点，且 OPOQ0，证明你的结论 .

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处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。

变式2-1 （2012秋•香坊区校级期中）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为3 直线与抛物线在x轴上方的交点为M，过M作y轴的垂线，垂足为N，O为坐标原点，若四边形OFMN的面积为43 （1）求抛物线的方程； （2）若P，Q是抛物线上异于原点O的两动点，且以线段PQ为直径的圆恒过原点O，求证：直线PQ过定点，并指出定点坐标． .

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x2y2例3、（2014秋•市中区校级月考）已知椭圆C： 221（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦

ab点与短轴两端点构成等边三角形． （I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点Q（-1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=-4于点E，

判断λ+μ是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由

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点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明

x2y2变式3-1 （2012秋•沙坪坝区校级月考）已知椭圆 221 (a＞b＞0)的离心率为

ab焦距为2．

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足 ∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值．

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例4、过抛物线y24ax（a>0）的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果AOB（O为原点）

S2的面积是S，求证：为定值。

AB

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x2y2变式4-1 （2014•天津校级二模）设椭圆C： 221（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2=43y ab的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e=点．

（1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线l，使得

若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由

1 且过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于M、N两22

（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：

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为定值．

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题型三 “是否存在”问题

例5、（2012秋•昔阳县校级月考）已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45°的直线l，交抛物线y2=2px（p＞0）于B、C两点，且|BC|=210 ． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）中的抛物线上是否存在点D，使得|DB|=|DC|成立？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由 .

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变式5-1 （2013•柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）． （Ⅰ）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x2+（y+1）2=1相切且与抛物线交于不同的两点M，N，当∠MON为钝角时，有S△MON=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由

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变式5-2 （2010•北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于 （Ⅰ）求动点P的轨迹方程； （Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 13 .

. 题型四 最值问题 例6、（2012•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（-2，0），B（2，0），点P为动点，3且直线AP与直线BP的斜率之积为 4（1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由． .

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点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。

变式6-1 （2015•高安市校级一模）已知方向向量为 （1，3）的直线l过点（0，-23） 1x2y2和椭圆C： 221（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为 ． ab2（1）求椭圆C的方程； （2）若过点P（-8，0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形ABF面积的最大值． .

. x2变式6-2 （2014•蚌埠三模）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C： y21的上、下顶点分别为4A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=-2分别交于点M、N； （Ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值； （Ⅱ）求线段MN长的最小值； （Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论

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. 题型五 求参数的取值范围 3x2y2例7、（2012春•荔湾区校级期中）如图，已知椭圆 221=1（a＞b＞0）的离心率为 ，且经过点Mab2（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l与椭圆有A、B两个不同的交点 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围； （Ⅲ）求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

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变式7-1 （2006秋•宁波期末）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程； （2）设过点Q（0，-1）且以 求直线l斜率的取值范围．

为方向向量的直线l与轨迹M相交于A、B两点．若∠APB为钝角，

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