材料力学第七章习题选及其解答

MPa。

70 30 o70 30 o50 100 70 70 30 o100 30 o50 a) b)

c) d)

解：（a）

（1）应力分量

σx70MPa σy70MPa τxy0 α30o

（2）用解析法求斜截面上的应力

σασxσy2270707070cos6035MPa22σxσyταsin2ατxycos2α27070sin6060.6MPa2（3）应力圆

（b）

（1）应力分量

τ (35,60.6) 60o -70 70 σxσycos2ατxysin2α

σ

σx70MPa σy70MPa τxy0 α30o

（2）用解析法求斜截面上的应力

σασxσy22707070MPa2σxσyταsin2ατxcos2α02（3）应力圆：为一点圆

（c）

（1）应力分量

τ σxσycos2ατxsin2α

σ

(70,0) σx100MPa σy50MPa τxy0 α60o

（2）用解析法求斜截面上的应力

σασxσy221005010050cos12062.5MPa22

σσyταxsin2ατxcos2α210050sin12021.7MPa2（3）应力圆

τ (62.5,21.7) 120o 50 100 σ

σxσycos2ατxsin2α

（d）

（1）应力分量

σx50MPa σy100MPa τxy0 α150o

（2）用解析法求斜截面上的应力

σασxσy225010050100cos30012.5MPa22

σxσyταsin2ατxcos2α250100sin30065MPa2（3）应力圆

τ (-12.5,65) 60o -50 100 σ

σxσycos2ατxsin2α7-3. 已知应力状态如图所示，图中的应力单位为MPa。试用解析法和应力圆求：

（1）主应力大小，主平面位置；（2）在单元体上给出主平面位置及主应力方向；（3）最大剪应力。

80 30 20 20

20 解：（e）

（1）应力分量

e) f)

σx0 σy80MPa τxy20MPa

（2）求主平面位置和主应力大小

tg2α02τxyσxσy0.5

α013.3o α090o76.7oσxσy2σmaxσxσy()τ2xσ22min4.7MPa808022 ()202284.7MPaσ14.7MPa σ20 σ384.7MPa（3）主平面位置及主应力方向

（4）最大剪应力

σ3 13.3o σ1

σ1σ34.784.7τmax44.7MPa

22（5）应力圆

（f）

（1）应力分量

τ (0,20) 26.6o -84.7 (-80,-20) 4.7 σ

σx20MPa σy30MPa τxy20MPa

（2）求主平面位置和主应力大小

tg2α02τxyσxσy0.8

α019.3o α090o109.3oσxσy2σmaxσxσy()τ2xσ22min37MPa2030203022 ()202227MPaσ137MPa σ20 σ327MPa（3）主平面位置及主应力方向

（4）最大剪应力

σ3 19.3o σ1 τmax（5）应力圆

σ1σ3372732MPa 22τ (-20,20) 38.6o -27 37 (30,-20) σ

7-10. 薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图如图所示。若P=20kN，T=600NN·m，且

d=50mm，=2mm。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力。（2）A点主应力的大小及方向，并用单元体表示。

δ d P T 30 A oT P 解：（1）A点的应力状态

τxy σx

属二向应力状态，应力分量是

P20000663.710Pa63.7MPa6Aπ50210σy0σxτxy

T600670.610Pa70.6MPa2292πrt2π26210（2）斜截面的应力：

α120oσασxσy2263.763.7cos24070.6sin24045.2MPa

22σxσyταsin2ατxycos2α263.7sin24070.6cos2407.7MPa2（3）主方向

σxσycos2ατxysin2α2(70.6)tg2α02.22σxσy63.7

xy2τα032.9o α090o122.9o（4）主应力

σxσy2σmaxσxσy()τ2xyσ22min109.3MPa63.763.722()(70.6)

2245.6MPaσ1109.3MPa σ20 σ345.6MPa （5）主单元体

σ1 32.9o σ3 7-11. 图示简支梁为36a工字梁，P=140kN，l=4m。A点所在截面在P的左侧，

且无限接近于P。试求：（1）A点在指定斜截面上的应力；（2）A点的主

应力及主平面位置。

P oH 30 A H/4 l/2 l/2 解：（1）A截面上的剪力和弯矩

Q（2）A点的应力状态

（3）截面几何性质

PPl70kN M140kNm 24σx τxy W875cm3 Iz15800cm4H360mm B136mm b10mm t15.8mm hH2t328.4mm（4）应力分量

HM479.75MPaσxIzσy0τxy

QBbh2H222[(Hh)()]20.56MPaIzb82416α60oσασxσy22.13MPaσxσyσxσy2cos2ατxy（5）斜截面上的应力

sin2α

τα224.25MPasin2ατxycos2α（6）主方向

tg2α02τxyσxσy220.560.51679.75

α013.6o α090o76.4o（7）主应力

σxσy2σmaxσxσy()τ2xyσ22min84.7MPa79.7579.7522 ()(20.56)225.0MPaσ184.7MPa σ20 σ35.0MPa 7-13. 二向应力状态如图所示，应力单位为MPa。试求主应力并作应力圆。

80 50 τ 50 60 80 oτ 解：（1）用垂直面截得

σx

其中

σy α τα σα σy80MPa σα50MPa α30o

（2）求应力分量

α30oσα50σxσy2σxσy2cos2ατxysin2α

σx80σx80cos(60o)022σx40MPa（3）主应力

σ1σy80MPa σ2σx40MPa σ30

（4）应力圆

τ 40 80 σ

7-16. 试求图示各应力状态的主应力及剪应力，应力单位为MPa。

20 y

40 50 z

30 x

b)

解：（1）z面为一主平面，其上面的正应力为一主应力； （2）分析xy平面的应力分量

σx30MPa σy20MPa τxy40MPa

（3）求主应力大小

σxσy2σmaxσxσy()τ2xσ22min52.2MPa3020302022()40

2242.2MPaσ152.2MPa σ250MPa σ342.2MPa（4）最大剪应力

τmaxσ1σ347.2MPa 27-17. 列车通过钢桥时用变形仪量得钢桥横梁A点的应变为x=0.0004，y=

-0.00012。试求A点在x-x和y-y方向的正应力。设E=200GPa，μ=0.3。

A y x x y 解：根据广义虎克定义：

1εx(σxμσy)E

1εy(σyμσx)E解得

σxE(εxμεy)21μ200109(0.00040.30.00012)80MPa210.3

Eσy(εyμεx)21μ200109(0.000120.30.0004)0210.37-18. 在一体积较大的钢块上开一个贯通的槽，其宽度和深度皆为10mm。在槽

内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，尺寸为10mm×10mm×10mm。当铝块受到压力P=6kN的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量E=70GP,=0.33。试求铝块的三个主应力及相应的变形。

z y x 10 10 P 10 解：（1）z方向的应力

σzP600066010Pa60MPa 6A101010σx0

（2）x面是自由面，x方向的正应力为零，即

（3）y方向的线应变为零

1[σyμ(σzσx)]0 Eσyμσz0.33(60)19.8MPaεy（4）x 、y、z三个方向是主方向，主应力是

σ1σx0MPa σ2σy19.8MPa σ3σz60MPa

（5）三个方向的线应变和变形

1εxε1[σ1μ(σ2σ3)]E163[00.33(19.860)10]0.3761070109εy0εzε31[σ3μ(σ2σ1)]E

163[600.33(019.8)]100.71070109Δlxεxl0.37610310103m3.76103mmΔly0Δlzεzl0.76510310103m7.65103mm7-19. 从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。根据理论计算已经求得

=30MPa，=15MPa。材料E=200GPa。=0.30。试求对角线AC的长度改变l。

τ 25 30 A oC σ

解：（1）应力分量

σx30MPa σy0 τxy15MPa

（2）求30o和-60o斜截面上的正应力：

σ30σ60σxσy2σxσy2cos2ατxsin2α3030cos6015sin6035.5MPa22

σσyσxσyxcos2ατxsin2α223030cos(120)15sin(120)5.5MPa22（3）求30o方向的线应变

ε301(σ30μσ60)E

164(35.490.35.49)101.8610200109（4）求AC的长度变化

Δlε30AC251039.28106m

sin309.3103mm1.861047-25. 某厚壁筒横截面如图所示。在危险点处，t=500MPa，r=-350MPa，第

三个主应力垂直于图面是拉应力。且其数值为420MPa。试按第三和第四强度理论计算其相当应力。

σr σt p 解：（1）危险点处的主应力为：

σ1500MPa σ2420MPa σ3350MPa

（2）按第三强度理论计算其相当应力

σr3σ1σ3500350850MPa

（3）按第四强度理论计算其相当应力

σr41[(σ1σ2)2(σ2σ3)2(σ3σ1)2]21(80277028502)813MPa2

7-26. 铸铁薄管如图所示。若管的外径为200mm，厚度 t=15mm，内压力p=4MPa，

P=200kN。铸铁的抗拉许用压力[t]=30MPa，=0.25。试用第二强度理论和第一强度理论校核薄管的强度。

t P p P 解：（1）应力状态

σ″ σ′

（2）计算应力

D20030170mmpDP13.6MPa4tπDt

pDσ''22.7MPa2tσ122.7MPa σ20 σ313.6MPa σ'（3）用第一强度理论校核

σr1σ122.7MPa[σt]

（4）用第二强度理论校核

σr2σ1μ(σ2σ3)26.1MPa]σt]

（5）结论：强度足够。