四川省成都市邛崃高埂中学2021-2022学年高一数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知则
。
参: 略
2. 当 时,函数f(x)=sinx+cosx的( )
A.最大值是1,最小值是﹣1 B.最大值是1,最小值是
C.最大值是2,最小值是﹣2 D.最大值是2,最小值是﹣1
参:
D
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【分析】首先对三角函数式变形,提出2变为符合两角和的正弦公式形式,根据自变量的范围求出括号内角的范围,根据正弦曲线得到函数的值域.
【解答】解:∵f(x)=sinx+cosx
=2(sinx+cosx)
=2sin(x+),
∵
,
∴f(x)∈[﹣1,2],
故选D
【点评】了解各公式间的内在联系,熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导,本题主要是公式的逆用和对三角函数值域的考查.
3. 在等差数列
中,若
,则
等于
A.45 B.75 C.180 D.300
参:
C
4. 下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,中间的数字表示得分的十位数,下列对乙运动员的判断错误的是 ( ) A.乙运动员的最低得分为0分 B.乙运动员得分的众数为31
C.乙运动员的场均得分高于甲运动员 D.乙运动员得分的中位数是28
参:
A
5. 若0<<<<,且cos=-,sin(+)=,则sin的值是 ( ).
A. B. C. D.
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参: C 略
6. 如图,△ABC中,E、F分别是BC、AC边的中点,AE与BF相交于点G,则
( )
A.
B.
C. D.
参:
C 【分析】
利用向量的加减法的法则,利用是的重心,进而得出, 再利用向量的加减法的法则,即可得出答案. 【详解】由题意,点
分别是
边的中点,与相交于点,
所以是的重心,则,
又因为, 所以
故答案为:C
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,以及三角形重心的性质,其中解答中熟记三角形重心的性质,以及向量的线性运算法则是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
7. 某几何体的三视图及尺寸如图示,则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
参:
B 略
8. 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,4,5},则?UA=( ) A.?
B.{1,3,5} C.{1,3,6,7}
D.{1,3,5,7}
参:
C
【考点】补集及其运算. 【专题】计算题;定义法;集合.
【分析】由全集U及A,求出A的补集即可.
【解答】解:∵集合U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,4,5},
∴?UA={1,3,6,7}, 故选:C.
【点评】此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键.
9. 不等式的解集为 ( )
(A) (B)
(C)
(D)
参:
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C
10. 若a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+b为( )
A.0 B.1 C.﹣1 D.±1
参: B
考点:映射. 专题:计算题.
分析:由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,而M和N中都只有2个元素,故 M=N,故有 =0 且 a=1,由此求得a和b的值,即可得到a+b的值.
解答:解:由于映射把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x,而M和N中都只有2个元素,故 M=N,
∴=0 且 a=1.
∴b=0,a=1,∴a+b=1+0=1. 故选B.
点评:本题主要考查映射的定义,判断 M=N,是解题的关键,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知
,
,
则这三个数从小到大排列
为 . 参:
略 12. __________。
参:
3 略
13. 某单位有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中取一个容量为n的样本;如果采
用系统抽样和分层抽样方法抽取,无须剔除个体;如果样本容量增加1个,则在采用系统抽样时需要在总体中先剔除一个个体,则n的值为 .
参:
6
【考点】分层抽样方法;系统抽样方法.
【分析】由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加一个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,算出总体个数,根据分层抽样的比例和抽取的工程师人数得到n应是6的倍数,36的约数,由系统抽样得到
必须是整数,验证出n的值.
【解答】解:由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体; 如果样本容量增加一个,则在采用系统抽样时, 需要在总体中先剔除1个个体, ∵总体容量为6+12+18=36.
当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为,
分层抽样的比例是,抽取的工程师人数为
?6=,
技术员人数为
?12=,技工人数为 ?18=,
∵n应是6的倍数,36的约数, 即n=6,12,18.
当样本容量为(n+1)时,总体容量是35人, 系统抽样的间隔为,
∵
必须是整数,
∴n只能取6. 即样本容量n=6. 故答案为:6.
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14. 若与
的四个根组成公差为等差数列,a+b= 。
参:
15. 某公司有20名技术人员,计划开发A、B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:今制定开发计划使总产值最高,则A类产品安排 件,最高产值为 万元。
每件需人员数 每件产值(万元/参:
件) 20,330;
A类 1/2 7.5 16. 在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在B类 1/3 6 AM上且满足
,则= .
参:
-4
【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题.
【分析】先根据AM=3,点P在AM上且满足
,求|
|的值,再根据M是BC的中点,计算
,最后计算
即可.
解:∵AM=3,点P在AM上且满足,∴|
|=2
∵M是BC的中点,∴=2=
∴
=
?
=﹣
=﹣4
故答案为﹣4
【点评】本题考查了向量的加法与向量的数量积的运算,属基础题,必须掌握.
17. 若函数,则= .
参:
3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,且当x∈[0,3]时,f(x)=x|x-2| ⑴ 在平面直角坐标系中,画出函数f(x)的图象
⑵ 根据图象,写出f(x)的单调增区间,同时写出函数的值域.
参:
图略,单调增区间为[-3,-2],[-1,1],[2,3] 值域为[-3,3] 略
19. 设函数f(x)是2x与
的平均值(x≠0.且x,a∈R).
(1)当a=1时,求f(x)在[,2]上的值域;
(2)若不等式f(2x)<﹣2x
+
+1在[0,1]上恒成立,试求实数a的取值范围;
(3)设g(x)=
,是否存在正数a,使得对于区间[﹣,]上的任意三个实数m、n、p,
都存在以f(g(m)、f(g(n))、f(g(p))为边长的三角形?若存在,试求出这样的a的取值范围;若不存在,请说明理由.
参:
【考点】函数恒成立问题;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法.
【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】(1)当a=1时,f(x)=x+,结合对勾函数的图象和性质,可得f(x)在[,2]上的值域;
(2)若不等式f(2x)<﹣2x+
+1在[0,1]上恒成立,即a<﹣2(2x)2+1+2x在[0,1]上恒成立,
令t=2x
,则t∈[1,2],y=﹣2t2
+t+1,结合二次函数的图象和性质,求出函数的最小值,可得实数a的取值范围;
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(3)换元,原问题等价于求实数a的范围,使得函数在给定的区间上,恒有2ymin>ymax
【解答】解:(1)∵函数f(x)是2x与
的平均值,
∴f(x)=x+,
当a=1时,f(x)=x+,在[,1]上为减函数,在[1,2]上为增函数,
∴当x=,或x=2时,函数最最大值,当x=1时,函数取最小值2,
故f(x)在[,2]上的值域为[2,];
(2)若不等式f(2x)<﹣2x
+
+1在[0,1]上恒成立,
即2x+<﹣2x++1在[0,1]上恒成立,
即a<﹣2(2x)2+1+2x在[0,1]上恒成立,
令t=2x,则t∈[1,2],y=﹣2t2+t+1,
由y=﹣2t2
+t+1的图象是开口朝下,且以直线t=为对称轴的抛物线, 故当t=2,即x=1时,函数取最小值﹣5, 故a<﹣5;
(3)设t=g(x)==,
∵x∈[﹣,],
∴t∈[,1],
则y=t+;
原问题转化为求实数a的取值范围,使得y在区间[,1]上,恒有2ymin>ymax.
讨论:①当<a≤时,y=t+在[,
]上单调递减,在[
,1]上单调递增,
∴ymin=2
,ymax=max{3a+,a+1}=a+1,
由2ymin>ymax得7﹣4
<a<7+4
,
∴<a≤;
②当<a<1时,y=t+在[,]上单调递减,在[,1]上单调递增,
∴ymin=2,ymax=max{3a+,a+1}=3a+,
由2ymin>ymax得
<a<,
∴<a<1;
③当a≥1时,y=t+在[,1]上单调递减,
∴ymin=a+1,ymax=3a+,
由2ymin>ymax得a<,
∴1≤a<;
综上,a的取值范围是{a|<a<}.
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【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题,也考查了分类讨论与求最值的应用问题,是难题.
20. 已知点
,点P在圆
上运动.
(1)求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程;
(2)求
的最值.
参:
(1)或
;(2)最大值为88,最小值为72.
【分析】
(1) 依题意,直线的斜率存在, 设出直线方程, 结合点到直线距离公式,列出方程求解,即可得出结果. (2) 由设
点坐标为
则
. 代入化简可得,由
,即可求得求
的
最值.
【详解】(1)依题意,直线的斜率存在,因为过点
且被圆
截得的弦长为
,所以圆心到直线的距离
为
,设直线方程为,即,所以
,解得
或
所以直线方程为
或
.
(2)设
点坐标为
则
.
因为
,所以
,即
的最大值为88,最小值为72.
【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程,考查圆上的点到定点的距离平方和的最值问题,熟记直线与圆的位置关系,以及点到直线距离公式即可,难度较易.
21. 已知函数图象的一条对称轴是直线
且f(0)<0,
(1)求φ;
(2)求f(x)的单调递减区间; (3)求f(x)在
上的值域.
参:
【考点】正弦函数的图象.
【分析】(1)根据一条对称轴是直线且f(0)<0,求解φ.
(2)将内层函数看作整体,放到正弦函数的减区间上,解不等式得函数的单调递减区间; (3)x∈
上时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性质,求出f(x)的最
大值和最小值,即得到f(x)的值域. 【解答】解:函数,
(1)∵x=是一条对称轴,
∴2×
+φ=
,
又∵f(0)<0, ∴sinφ<0, 当k=﹣1时,可得φ=.
(2)由(1)可知f(x)=
sin(2x﹣
)
由2x﹣,k∈Z
得
x
∴f(x)的单调递减区间为[
,
]k∈Z
(3))∵x∈上时,可得2x﹣∈[,
]
当2x﹣=时,函数f(x)取得最小值为.
当2x﹣
=
时,函数f(x)取得最大值为1.
∴f(x)在
上的值域为[
,1].
22. (本小题满分12分)已知定义域为R的函数
是以2为周期的周期函数,当
时,
.
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(1)求(2)求(3)若
的值; 的解析式;
,求函数
的零点的个数.
参:
(1)
(2)对于任意的
.
,必存在一个
.故
(3)由∴方程
得
.作出
,使得
,则
,
.
的图象,知它们的图象在
上有10个交点,
的解析式为
与
有10个解,∴函数的零点的个数为10.
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