雅安中学2018-2019学年下期第一次月考试高中一年级
数学试题卷
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的
1.以下四组向量能作为基底的是（ ） A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面内两不共线的向量可作为基底，对选项中的向量逐一判断即可. 【详解】对于，对于，对于，对于，
与共线，不能作为基底； 与不共线，能作为基底； 与共线，不能作为基底； 与共线，不能作为基底，故选B.
B. D.
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 2.如图所示，在正
中，
均为所在边的中点，则以下向量和
相等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据相等向量的定义，对选项中的向量逐一判断即可.
- 1 -
【详解】
与向量
而向量
与
与向量，方向不同，
不相等，
方向相同，长度相等，
，故选D.
【点睛】本题主要考查相等向量的定义，属于简单题.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量；两个向量只有当他们的模相等且方向相同时，才能称它们相等. 3.已知向量A. 9 【答案】B 【解析】 【分析】
根据两个向量平行的充要条件，得到关于的方程，解方程即可得到的值. 【详解】因为向量
,向量
且
， ，故选B.
，向量
B. 6
，且
,则
( ) C. 5
D. 3
根据问量共线的充要条件得
【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用4.已知A.
中，内角
所对的边分别为B.
解答. ，
C.
，
，则
( ) D.
【答案】A 【解析】 【分析】
直接利用正弦定理求解即可. 【详解】
为锐角，
由正弦定理可得，所以
，故选A.
，
，
【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 5.已知
- 2 -
中，内角所对的边分别为
，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理可得，
， ，故选C.
【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2）
三角函数有关的问题时，还需要记住6.关于有以下说法，不正确的是（ ） A. 的方向是任意的
C. 对于任意的非零向量，都有【答案】C 【解析】 【分析】
直接利用零向量的定义以及向量的线性运算法则，对选项中的命题逐一判断即可. 【详解】由零向量的定义可得零向量的方向是任意的，正确； 根据规定，零向量与任何向量平行，可得正确； 因为因为故选C.
【点睛】本题主要考查零向量的定义与性质，以及向量运算的三角形法则，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.
7.一角槽的横断面如图所示，四边形等于( )
是矩形，且
，
，则
的长
，所以不正确；
,所以正确，
B. 与任一向量共线，所以D.
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
，
- 3 -
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】 求出
【详解】四边形
是矩形，且，
，
由余弦定理可得，
，故选A.
【点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2）
三角函数有关的问题时，还需要记住8.已知非零向量满足A. 三边均不相等的三角形 C. 等腰非等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 根据公式求得角【详解】
的角平分线与
，
，
，
，
- 4 -
，利用余弦定理求解即可.
，
，
，
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
且
，则
为（ ）
B. 直角三角形 D. 等边三角形
，判断出的角平分线与垂直,进而推断三角形为等腰三角形，再根据向量的夹角
，判断出三角形的形状.
分别为单位向量，
垂直，
所以，为等边三角形，故选D.
【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （3）
向量垂直则
;(4)求向量，且B. 0
（此时
往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是 的模（平方后需求
）.
；
9.若向量与不共线，A.
内的任意一角
，则向量与的夹角为（ ）
C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
利用平面向量数量积的运算法则，求得【详解】
，
，
与夹角为，故选C.
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式10.若A. 5 【答案】C 【解析】 【分析】 利用面积公式值即为
的值.
， ，
，
，
- 5 -
，即得其夹角为.
；二是向量的平方等于向量模的平方
的周长等于20，面积是
B. 6
，则
.
边的长是（ ） C. 7
D. 8
得到的值，结合周长为，再根据余弦定理列出关于的方程，求出的
【详解】因为面积公式所以又周长为
，故
，得
由余弦定理得，
故，解得，故选C.
【点睛】考查主要考查余弦定理，以及会用三角形的面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）
；（2）
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应
在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住用.
11.在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了
两个观测点，在处测得该塔底部在西偏北的方向上；在处测得该塔底部
，B.
D.
，则此塔的高
为（ ）
在西偏北的方向上，并测得塔顶的仰角为.已知A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】 在
中，
，利用正弦定理求出，再由直角三角形的性质求出即可.
【详解】
画出示意图，图中在
中，
， ，
的外角为，
，
，
，故选B.
【点睛】本题主要考查了正弦定理的实际应用，考查了建立数学模型解决实际问题的能力.属于中档题. 正弦定理常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化.
- 6 -
12.在中，，则的形状是（ ）
B. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
A. 等腰非直角三角形 C. 直角非等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 由正弦定理可得由【详解】
，进而可得结果.
,
化为
由正弦定理可得
， ， ，
，
是直角三角形，不是等腰三角形，故选C.
，
，
，化为，
【点睛】判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上 13.已知向量【答案】【解析】 【分析】 由已知可求【详解】
，进而可求
， ，
- 7 -
与
向量同向的单位向量的坐标为_______．
，而与同向的单位向量为，再利用坐标表示即可.
，
与故答案为
同向的单位向量坐标表示
.
，
【点睛】本题主要考查了向量运算的坐标表示，向量模的坐标表示，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 14.若向量【答案】6 【解析】 【分析】 由
，夹角为
，求出
，
，故答案为6.
的值，再由平面向量数量积的运算法则求解即可.
，
的夹角为
，
，则
_______．
【详解】因为向量所以则
的夹角为
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，属于基础题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式15.
中，角
；二是向量的平方等于向量模的平方所对的边分别为
，
. ，则
_______.
【答案】【解析】 【分析】 由化简得【详解】
，利用正弦定理与同角三角函数的平方关系可得
，再利用正弦定理可得结果 . 中，
，
，
，
， ，
，
根据正弦定理，得可得
由正弦定理可得，可得，故答案为.
【点睛】本题着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识,属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
- 8 -
（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
16.以下说法正确的是_______．（填写所有正确的序号） ①若两非零向量②若③在④在锐角
，则中，若
中，若
，若
，则
的夹角为锐角；
，反之也对； ，则
，则
，反之也对；
【答案】③④ 【解析】 【分析】
由 与 同向时夹角不是锐角，判断①；由三角形三个内角都是锐角判断④. 【详解】对于①， 与 同向时，若对于②，若
时，则
，夹角为
，不是锐角，故①错误；
时， 与 平行，判断②；由正弦定理得判断③；根据锐角
， 与 平行，故②错误；
,故③正确；
对于③，由正弦定理得，
对于④，由，可得，即，故④正确，
故答案为③④.
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查向量的夹角与向量的位置关系以及正弦定理，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知（1）求（2）若【答案】（1）【解析】
- 9 -
；
，求. ；（2）
.
【分析】
（1）直接利用平面向量线性运算的坐标表示求解即可；（2）先求出利用平面向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】（1）
（2）
， ，
即
，
得
.
. ，
的坐标形式，根据
，
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算以及向量垂直的坐标表示，属于基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用
解答.
18.已知（1）若（2）若【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）直接利用正弦定理求解即可；（2）由
，利用余弦定理可得结果.
【详解】（1）由正弦定理可得，
，
，或
（2）
,
设
- 10 -
解答；（2）两向量垂直，利用
中，内角，
，
所对的边分别为
，求角； ，求
.
.
或；（2）
，利用正弦定理可得,设
， ，
, .
，
，
由余弦定理可得，
.
【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，正弦定理边角互化的应用以及余弦定理解三角形，意在考查对基本定理掌握的熟练程度与灵活应用，属于中档题. 19.在（1）求（2）若【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由正弦定理可得
，求出外接圆半径，从而可得结果；（2）由正弦定理可得
，再利用
中，内角
所对的边分别为
，已知
．
外接圆的面积；
，求；（2）
.
的面积.
余弦定理解得【详解】（1）设
，
，根据三角形面积公式可得结果. 外接圆的半径为，
由正弦定理可得，，
，外接球面积为
（2）
，
， ，
.
.
【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的解三角形，以及三角形面积公式的应用，属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）的条件.
20.设、是两个不共线的向量，（1）若与的起点相同，且，，
.
三个向量的终点在同一直线上，求；
；（2）
，同时还要熟练掌握运用两种形式
- 11 -
（2）若，且与的夹角为，那么为何值时，的值最小？
【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 (1)由，，
三个向量的终点在同一直线上可得
，化简得
，
从而可得结果；（2）化简【详解】（1）因为，，所以化简得
与不共线，
，
，利用二次函数的性质可得结果.
三个向量的终点在同一直线上， ，
，
时，（2）
，
时，
的终点在一直线上；
最小，此时有最小值.
【点睛】用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题,根据三个向量的终点在一条直线上，构造向量，得到向量之间的关系，得到要求的结果；求一个量的最小值，一般要先表示出这个变量,对于模长的运算，要对求得结果两边平方，变化为向量的数量积和模长之间的运算，根据二次函数的最值得到结果. 21.在（1）求（2）若
中，角的值； 求
的最大值.
. 的对边分别为
，且
【答案】（1）；（2）【解析】 【分析】 （1）由
- 12 -
利用正弦定理可得
，结合两角和的正弦公式以
及诱导公式可得结果；（2）先利用正弦定理求得外接圆半径，再由由正弦定理可得
，利用三角函数的有界性可得结果.
【详解】（1）因为所以由正弦定理可得
, ,
因为所以
， .
，
（2）由（1）可得
由得
，且，
，
，
，
又有
，
（当
时，取最大值），
，此时
为等边三角形.
，
【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用. 22.有如下图所示的四边形
.
（1）在（2）若
- 13 -
中，三内角为,求当为何值时，
取得最大值，并求出这个最大值； ,记
.
为（1）中所得值，
（ⅰ）求用含的代数式表示（ⅱ）求【答案】（1）【解析】 【分析】
；
的面积的最小值.
，；（2）（ⅰ）
；（ⅱ）
.
（1）由降幂公式以及诱导公式可得果；（2）（i）由（1）可得由正弦定理可得结果；（ii）在
，
,由四边形内角和
，再利用二次函数的性质可得结得
，在
中,
中，由正弦定理可得，结合（i）利用三角形面积公式以及二倍
角公式，辅助角公式可得的面积为，利用三角函数的有界性可得结果.
【详解】（1）当
时，取得最大值.
，可得，
，
（2）（i）由（1）可得四边形内角和在（ii）在
中，
中，
得
.
，
，
当
时，取最小值
.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的的应用，二倍角公式与辅助的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
- 14 -
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