2022年四川省自贡市中考数学试卷

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，若130，则2的度数是()

A．30B．40C．60D．150 2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客180000余人．人数180000用科学记数法表示为()

A．1.8104B．18104C．1.8105D．1.8106 3．（4分）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是()

A．B．

C．D．4．（4分）下列运算正确的是()

10)0 20225．（4分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(2,5)，则点C的坐标是()

A．(1)22B．(32)(32)1C．a6a3a2D．(

A．(5,2)B．(2,5)C．(2,5)D．(2,5) 6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是()

1 / 21

A．B．

C．D． 7．（4分）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，ABD20，则BCD的度数是()

A．90B．100C．110D．120 8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是()

A．平均数是14B．中位数是14.5C．方差是3D．众数是14 9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20，则这个底角的度数是() A．30B．40C．50D．60 10．（4分）P为O外一点，PT与O相切于点T，OP10，OPT30，则PT长为()

A．53B．5C．8D．9 11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是()

A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2 12．（4分）已知A(3,2)，B(1,2)，抛物线yax2bxc(a0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点(C在D的右侧），下列结论： ①c…2；

②当x0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点D横坐标的最小值为5，则点C横坐标的最大值为3；

1④当四边形ABCD为平行四边形时，a．

2其中正确的是()

A．①③B．②③C．①④D．①③④

二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13．（4分）计算：|2|．

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14．（4分）分解因式：m2m．

a3a242． 15．（4分）化简：2a4a4a3a216．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是鱼池．（填甲或乙） 17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为厘米．

18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF1，则GECF的最小值为．

三、解答题（共8个题，共78分）

3x619．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．

5x43x2

20．（8分）如图，ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DBEC．求证：DE．

21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度． 22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用

5随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0„t3，3„t4，4„t5，t…分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

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（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整； （2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；

（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率．

n23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykxb的图象与反比例函数y的

x图象相交于A(1,2)，B(m,1)两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点B作直线l//y轴，过点A作ADl于点D，点C是直线l上一动点，若DC2DA，求点C的坐标．

24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．

（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EBAB．我们还可以得到FC，EF；

（2）进一步观察，我们还会发现EF//AD，请证明这一结论； （3）已知BC30cm，DC80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．

25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： （1）探究原理

制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆

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OM、量角器90刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①)，绕点O转动量角器，使观

测目标P与直径两端点A、B共线（如图②)，此时目标P的仰角POCGON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量

如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角POQ60，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．(31.73，结果精确到0.1米） （3）拓展探究

公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F(E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角、

，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用

． 、、m表示）

26．（14分）已知二次函数yaxbxc(a0)．

（1）若a1，且函数图象经过(0,3)，(2,5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；

（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y…3时自变量x的取值范围；

（3）若abc0且abc，一元二次方程ax2bxc0两根之差等于ac，函数图

1象经过P(c，y1)，Q(13c,y2)两点，试比较y1、y2的大小．

2

2

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2022年四川省自贡市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（4分）如图，直线AB、CD相交于点O，若130，则2的度数是()

A．30B．40C．60D．150

【分析】根据对顶角相等可得2130． 【解答】解：130，1与2是对顶角， 2130． 故选：A． 2．（4分）自贡市江姐故里红色教育基地自去年底开放以来，截止到今年5月，共接待游客180000余人．人数180000用科学记数法表示为()

A．1.8104B．18104C．1.8105D．1.8106

【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1„|a|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当

10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数． 原数绝对值…【解答】解：1800001.8105，

故选：C． 3．（4分）如图，将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，得到的立体图形是()

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A．B．

C．D．

【分析】将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，可知上面和下面都是平面，所以得到的立体图形是圆体．

【解答】解：根据“点动成线，线动成面，面动成体”，

将矩形纸片ABCD绕边CD所在直线旋转一周，所得到的立体图形是圆柱． 故选：A． 4．（4分）下列运算正确的是()

10A．(1)22B．(32)(32)1C．a6a3a2D．()0

2022【分析】根据有理数的乘方判断A选项；根据平方差公式判断B选项；根据同底数幂的除法判断C选项；根据零指数幂判断D选项．

【解答】解：A、原式1，故该选项不符合题意； B、原式(3)2(2)2321，故该选项符合题意；

C、原式a3，故该选项不符合题意； D、原式1，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（4分）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(2,5)，则点C的坐标是()

A．(5,2)B．(2,5)C．(2,5)D．(2,5)

【分析】菱形的对角线相互平分可知点A与C关于原点对称，从而得结论． 【解答】解：四边形ABCD是菱形，

OAOC，即点A与点C关于原点对称， 点A(2,5)，

点C的坐标是(2,5)． 故选：B． 6．（4分）剪纸与扎染、龚扇被称为自贡小三绝，以下学生剪纸作品中，轴对称图形是()

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A．B．

C．D．

【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【解答】解：选项A，B，C都不能找到这样的一条直线，使这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项D能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 7．（4分）如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，ABD20，则BCD的度数是()

A．90B．100C．110D．120

【分析】方法一：根据圆周角定理可以得到AOD的度数，再根据三角形内角和可以求得OAD的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到BCD的度数．

方法二：根据AB是O的直径，可以得到ADB90，再根据ABD20和三角形内角和，可以得到A的度数，然后根据圆内接四边形对角互补，即可得到BCD的度数． 【解答】解：方法一：连接OD，如图所示， ABD20， AOD40， OAOD，

OADODA，

OADODAAOD180， OADODA70，

四边形ABCD是圆内接四边形， OADBCD180， BCD110， 故选：C．

方法二：AB是O的直径， ADB90， ABD20， A70，

四边形ABCD是圆内接四边形， ABCD180， BCD110， 故选：C．

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8．（4分）六位同学的年龄分别是13、14、15、14、14、15岁，关于这组数据，正确说法是()

A．平均数是14B．中位数是14.5C．方差是3D．众数是14

【分析】分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案．

1【解答】解：A选项，平均数(131415141415)614（岁)，故该选项不符合

6题意；

1414B选项，这组数据从小到大排序为：13，14，14，14，15，15，中位数14（岁)，

2故该选项不符合题意；

111117方差[(1314)2(1414)23(1514)22]，故该选项不符合题意； C选项，

666636D选项，14出现的次数最多，众数是14岁，故该选项符合题意； 故选：D． 9．（4分）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20，则这个底角的度数是() A．30B．40C．50D．60

【分析】设底角的度数是x，则顶角的度数为(2x20)，根据三角形内角和是180列出方程，解方程即可得出答案．

【解答】解：设底角的度数是x，则顶角的度数为(2x20)， 根据题意得：xx2x20180， 解得：x40， 故选：B． 10．（4分）P为O外一点，PT与O相切于点T，OP10，OPT30，则PT长为()

A．53B．5C．8D．9

【分析】根据切线的性质得到OTP90，根据含30度角的直角三角形的性质得到OT的值，根据勾股定理即可求解．

【解答】解：方法一：如图，PT与O相切于点T， OTP90，

又OP10，OPT30，

11OTOP105，

22PTOP2OT21025253．

故选：A．

PT方法二：在RtOPT中，cosP，

OP3PTOPcos301053．

2故选：A．

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11．（4分）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是()

A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2 【分析】分别计算三个方案的菜园面积进行比较即可． 【解答】解：方案1：设ADx米，则AB(82x)米，

则菜园面积x(82x)2x28x2(x2)28， 当x2时，此时菜园最大面积为8米2； 方案2：当BAC90时，菜园最大面积1448米2； 2 8方案3：半圆的半径，

()232米28米2； 此时菜园最大面积2故选：C． 12．（4分）已知A(3,2)，B(1,2)，抛物线yax2bxc(a0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点(C在D的右侧），下列结论： ①c…2；

②当x0时，一定有y随x的增大而增大；

③若点D横坐标的最小值为5，则点C横坐标的最大值为3；

④当四边形ABCD为平行四边形时，a1． 2810 / 21

其中正确的是()

A．①③B．②③C．①④D．①③④

【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)可以判断出c的取值范围，得到①正确；根据二次函数的增减性判断出②错误；先确定x1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得ABCD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确． 【解答】解：点A，B的坐标分别为(3,2)和(1,2)， 线段AB与y轴的交点坐标为(0,2)，

又抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)， c…2，（顶点在y轴上时取“”)，故①正确； 抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，

当x1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误； 若点D的横坐标最小值为5，则此时对称轴为直线x3，C点的横坐标为1，则CD4， 抛物线形状不变，当对称轴为直线x1时，C点的横坐标为3， 点C的横坐标最大值为3，故③正确； 令y0，则ax2bxc0，

b2cb24acCD()4，

aaa24acb22， 根据顶点坐标公式，

4a4acb2b24ac8，即8， aa18CD28，

aa四边形ACDB为平行四边形， CDAB1(3)4， 84216， a1解得a，故④正确；

2综上所述，正确的结论有①③④． 故选：D．

2

二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 13．（4分）计算：|2|2．

【分析】根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．

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【解答】解：20， |2|2． 故答案为：2． 14．（4分）分解因式：m2mm(m1)．

【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解． 【解答】解：m2mm(m1)． 故答案为：m(m1)．

a3a242a15．（4分）化简：2．

a4a4a3a2a2【分析】先将原分式的分子、分母分解因式，然后约分，再计算加法即可．

a3a242【解答】解：2

a4a4a3a2a3(a2)(a2)2 (a2)2a3a2a22 a2a2a， a2a故答案为：．

a216．（4分）为了比较甲、乙两鱼池中的鱼苗数目，小明从两鱼池中各捞出100条鱼苗，每条做好记号，然后放回原鱼池．一段时间后，在同样的地方，小明再从甲、乙两鱼池中各捞出100条鱼苗，发现其中有记号的鱼苗分别是5条、10条，可以初步估计鱼苗数目较多的是 甲 鱼池．（填甲或乙） 【分析】根据题意和题目中的数据可以计算出甲鱼池和乙鱼池中鱼苗的数量，然后比较大小即可．

【解答】解：由题意可得，

5甲鱼池中的鱼苗数量约为：1002000（条)，

10010乙鱼池中的鱼苗数量约为：1001000（条)，

10020001000，

初步估计鱼苗数目较多的是甲鱼池， 故答案为：甲． 17．（4分）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为26厘米．

【分析】根据题意，弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，根据勾股定理和垂径定理可以求得圆的半径．

【解答】解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，

12 / 21

由题意可得：OCAB，AC1， AB10（厘米）

2

设镜面半径为x厘米，

由题意可得：x2102(x2)2， x26，

镜面半径为26厘米， 故答案为：26． 18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF1，则GECF的最小值为32．

【分析】利用已知可以得出GC，EF长度不变，求出GECF最小时即可得出四边形CGEF周长的最小值，利用轴对称得出E，F位置，即可求出．

【解答】解：如图，作G关于AB的对称点G，在CD上截取CH1，然后连接HG交AB于E，在EB上截取EF1，此时GECF的值最小，

CHEF1，CH//EF， 四边形EFCH是平行四边形， EHCF，

GHEGEHEGCF，

AB4，BCAD2，G为边AD的中点， DGADAG213，DH413，

由勾股定理得：HG323232， 即GECF的最小值为32． 故答案为：32．

三、解答题（共8个题，共78分）

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3x619．（8分）解不等式组：，并在数轴上表示其解集．

5x43x2

【分析】先求出不等式的解集，求出不等式组的解集即可． 【解答】解：由不等式3x6，解得：x2， 由不等式5x43x2，解得：x1， 不等式组的解集为：1x2， 在数轴上表示不等式组的解集为：

20．（8分）如图，ABC是等边三角形，D、E在直线BC上，DBEC．求证：DE．

【分析】要证明DE，只要证明ABDACE即可，根据等边三角形的性质和SAS可以证明ABDACE，本题得以解决． 【解答】证明：ABC是等边三角形， ABAC，ABCACB60， ABDACE120， 在ABD和ACE中， ABACABDACE， BDCEABDACE(SAS)， DE． 21．（8分）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学旅行活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达．已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．

【分析】根据题意可知：张老师骑车用的时间汽车用的时间2，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．

【解答】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车的速度为3x千米/小时，

4545由题意可得：2，

x3x解得x15，

经检验，x15是原分式方程的解，

答：张老师骑车的速度是15千米/小时． 22．（8分）为了解学生每周参加课外兴趣小组活动的累计时间t（单位：小时），学校采用

5随机抽样的方法，对部分学生进行了问卷调查，调查结果按0„t3，3„t4，4„t5，t…分为四个等级，分别用A、B、C、D表示．如图是受损的调查统计图，请根据图上残存信息解决以下问题：

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（1）求参与问卷调查的学生人数n，并将条形统计图补充完整； （2）全校共有学生2000人，试估计学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数；

（3）某小组有4名同学，A、D等级各2人，从中任选2人向老师汇报兴趣活动情况．请用画树状图法或列表法求这2人均属D等级的概率． 【分析】（1）利用抽查的学生总数A等级的人数对应的百分比计算，即可求D等级的人数；

（2）用全校的学生人数乘以每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生所占的百分比，即可求解；

（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，画出树状图，即可求解．

40【解答】解：（1）n100，

40%D等级的人数10040151035（人)， 条形统计图补充如下：

（2）学校每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生人数

10352000900（人)，

100估计每周参加课外兴趣小组活动累计时间不少于4小时的学生为900人；

（3）设A等级2人分别用A1，A2表示，D等级2人分别用D1，D2表示，随机选出2人向老师汇报兴趣活动情况的树状图如下：

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共有12种等可能结果，而选出2人中2人均属D等级有2种，

21所求概率．

12623．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数ykxb的图象与反比例函数yn的x图象相交于A(1,2)，B(m,1)两点．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点B作直线l//y轴，过点A作ADl于点D，点C是直线l上一动点，若DC2DA，求点C的坐标．

【分析】（1）先把A(1,2)代入反比例函数yn求出n的值即可得出其函数解析式，再把xB(m,1)代入反比例函数的解析式即可得出m的值，把A，B两点的坐标代入一次函数ykxb，求出k、b的值即可得出其解析式；

（2）根据已知确定AD的长和点D的坐标，由DC2AD可得DC6，从而得点C的坐标．

n【解答】解：（1）A(1,2)在反比例函数y的图象上，

xn2(1)2，

2其函数解析式为y；

xB(m,1)在反比例函数的图象上， m2， m2， B(2,1)．

A(1,2)，B(2,1)两点在一次函数ykxb的图象上， kb2k1，解得， 2kb1b1一次函数的解析式为：yx1；

（2）直线l//y轴，ADl， AD3，D(2,2)， DC2DA， DC6，

点C是直线l上一动点， C(2,8)或(2,4)．

24．（10分）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．

（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EBAB．我们还可以得到FCCD，EF；

（2）进一步观察，我们还会发现EF//AD，请证明这一结论； （3）已知BC30cm，DC80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之

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间的距离．

【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解； （2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论；

（3）由勾股定理可求BH的长，由相似三角形的性质可求解． 【解答】（1）解：把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变， 矩形ABCD的各边的长度没有改变， ABBE，EFAD，CFCD， 故答案为：CD，AD；

（2）证明：四边形ABCD是矩形， AD//BC，ABCD，ADBC， ABBE，EFAD，CFCD， BECF，EFBC，

四边形BEFC是平行四边形， EF//BC， EF//AD；

（3）如图，过点E作EGBC于G，

DCABBE80cm，点H是CD的中点， CHDH40cm，

在RtBHC中，BHBC2CH2160090050(cm)， EGBC， CH//EG，

BCH∽BGE， BHCH， BEEG5040， 80EGEG64，

EF与BC之间的距离为64cm． 25．（12分）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： （1）探究原理

制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②)，此时目标P的仰角POCGON．请说明这两个角相等的理由．

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（2）实地测量

如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角POQ60，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．(31.73，结果精确到0.1米） （3）拓展探究

公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F(E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角、

，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用

． 、、m表示）

【分析】（1）根据图形和同角的余角相等可以说明理由；

（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长；

（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含、、m的式子表示出PH． 【解答】解：（1）COG90，AON90， POCCONGONCON， POCGON； （2）由题意可得，

KHOQ5米，QHOK1.5米，PQO90，POQ60，

PQtanPOQ，

OQPQ， tan605解得PQ53，

PHPQQH531.510.2（米)， 即树高PH为10.2米；

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（3）由题意可得，

O1O2m，O1EO2FDH1.5米，

PDPD由图可得，tan，tan，

O2DO1DPDPD，O1D， O2DtantanO1O2O2DO1D，

PDPDm，

tantanmtantanPD，

tantanmtantanPHPDDH(1.5)米．

tantan26．（14分）已知二次函数yax2bxc(a0)．

（1）若a1，且函数图象经过(0,3)，(2,5)两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；

（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y…3时自变量x的取值范围；

（3）若abc0且abc，一元二次方程ax2bxc0两根之差等于ac，函数图

1象经过P(c，y1)，Q(13c,y2)两点，试比较y1、y2的大小．

2

【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，即可求解； （2）由题意画出图象，结合图象可求解；

（3）结合题意分别求出a1，b1c，将点P，点Q坐标代入可求y1，y2的值，即可求解．

a1【解答】解：（1）由题意可得：c3，

54a2bc

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a1解得：b2，

c3抛物线的解析式为：yx22x3(x1)24，

顶点坐标为(1,4)，

当y0时，则0x22x3， x11，x23，

抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)； （2）如图，

当y3时，3x2x3， x10，x22，

x0时，y…由图象可得：当2剟3；

（3）abc0且abc，

a0，c0，bac，一元二次方程ax2bxc0必有一根为x1， 一元二次方程ax2bxc0两根之差等于ac， 方程的另一个根为1ca，

ca， 抛物线yax2bxc的对称轴为：直线x12bca， 12a2aca2ac2a， (a1)(ac)0， ac，

1a1，P(c，y1)，Q(13c,y2)，

2b1c，

抛物线解析式为：yx2(1c)xc，

11111当xc时，则y1(c)2(1c)(c)c2c2c，

22224当x13c时，则y2(13c)2(1c)(13c)c6c23c，

1159， y2y1(6c23c)(2c2c)4(c)2241664bc，

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2

1cc，

1c，

2594(c)20，

1664y2y1．

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