工程力学习题答案 范钦珊 蔡新着 工程静力学与材料力学 第二版要点

1－1 图a、b所示，Ox1y1与Ox2y2分别为正交与斜交坐标系。试将同一方F分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。 (a) (b)

习题1-1图 x2 2

（d） （

c）

解：（a），图（c）：FFosc i1Fis j1 n 分力：Fx1Fcos i1 ， Fy1Fsin j1 投影：Fx1Fcos， Fy1Fsin 讨论：= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。 （b），图（d）：

Fsin

分力：Fx2(FcosFsin tan)i2 ，Fy2j2 sin 投影：Fx2Fcos， Fy2Fcos(讨论：) ≠90°时，投影与分量的模不等。

1－2 试画出图a、b

RD (a-1) (a) (b) 习题1－2图

C FRD

(b-1) (a-2) (a-3)

比较：图（a-1）与图（b-1）不同，因两者之FRD值大小也不同。 1－3 试画出图示各物体的受力图。

1－3图 习题

B (a-1) 或(a-2) (b-1)

FAyA

(c-1) 或(b-2)

(e-1)

'AO1 (f-2) (f-3) (f-1)

1－4 图a所示为三角架结构。力F1作用在

B铰上。杆AB不计自重，杆BD杆自重为W。试画出图b、c、

d所示的隔离体的受力图，并加以讨论。

FFByF1By (b-2) (b-3) F1 F FB1 (d-2) 1－5 试画出图示结构中各杆的受力图。 习题 1－5图

' E (b-1) B (b-2) '

FAxFAx D (a-3) (b-3) 'C C F 习题1－6图 B (c)

1－6 图示刚性构件ABC由销钉A和拉杆GH支撑，在构件的点C作用有一水平力F。试问如果将力F沿其作用线移至点D或点E（如图示），是否会改变销钉A的受力状况。

解：由受力图1－6a，1－6b和1－6c分析可知，F从C移至E，A端受力不变，这是因为力F在自身刚体ABC上滑移；而F从C移至D，则A端受力改变，因为HG与ABC为不同的刚体。 FF

22(a) (b)

(c) H

1－7 试画出图示连续梁中的AC和CD梁的受力图。 '

FFDx

(b) (a)

习题1－7图

1－8 图示压路碾子可以在推力或拉力作用下滚过100mm高的台阶。假定力F都是沿着连杆AB的方向，与水平面成30°的夹角，碾子重为250N。试比较这两种情形下所需力F的大小。 解：图（a）： niscra 5

Fx0

Fsin(60)Wsin0 F1672N 图（b）：53.13 Fx 0Fcos(30)Wsin0 F217N 习题1－8图

1－9 两种正方形结构所受力F均已知。试分别求其中杆1、2、3所受的力。 解：图（a）：2F3cos45F 02

F（拉） 2 F1 = F3（拉）

F22F3cos450 F3

F2 = F（受压） 图（b）：F3F30 F1 = 0 ∴ F2 = F（受拉）

习题1－9图

3 F3 (a-2) (a-1)

(b-2) 3

1－10 图示为一绳索拔桩装置。绳索的E、C两点拴在架子上，点B与拴在桩A上的绳索AB连接，在点D加一铅垂向下的力F，AB可视为铅垂，DB可视为水平。已知= 0.1rad，力F = 800N。试求绳AB中产生的拔桩力（当很小时，tan≈）。 F 解：Fy0，FEDsinF FED sin F Fx0，FEDcosFDB FDB10F tan 由图（a）计算结果。

可推出图（b）中FAB = 10FDB = 100F

FDB

2-3 图 a b 图 c A:

FA=FB= M/2 2－3b

F A=F B= M /l 2-3C

F A=F BD= M /l 2-5 CB

习题1－10图 FDB 5

W = 2kN，T = W ΣFx = 0， FA = FB ΣMi = 0， W ×300 − FA ×800 = 0 ， F A = 3/8W = 0.75 kN ，FB = 0.75 kN.

2-6

F3 ⋅ d − M = 0 , F 3 = M/d, F = F3（压） ΣFx = 0，F2 = 0, ΣFy = 0， F = F1= M/d （拉） 2-7

解： W/2=4.6 kN ΔF = 6.4−4.6 = 1.8 kN ΣMi = 0，−M +ΔF⋅l = 0 M=ΔF⋅l = 1.8× 2.5 = 4.5 kN·m

2-8

解：对于图（a）中的结构，CD 为二力杆，ADB 受力如图所示，根据力偶系平衡的要求，由

FRAFRCM 2d22M d

对于图（b）中的结构，AB 为二力杆，CD 受力如习题3－6b 解1 图所示，根据力偶系 平衡的要求，由 FRCFDM/d FRAFD'M/d

2-9

解：BC 为二力构件，其受力图如图所示。考虑AB 平衡，A、B 二处的形成力偶与外加力偶平衡。

800MFAFB269.4N BD1.21.8/2 2-10

FDFA  FD F D

M2＝M1M1dMFC2dFD

2-11

FBy = FAy = 0 F BX=M/d

F RB = M /d（←） 由对称性知 F RA = M/ d（→）

3-1

A:

ΣFx=0，FAx=0

ΣMA=0，−M−FP×4+FRB×3.5=0,−60−20×4+FRB×3.5=0, FRB=40kN（↑）ΣFy=0，FAy+FRB−FP=0, FAy=−20kN（↓） 对于图b中的梁， MFpdM0qd.dFpdFBR.2dFp1.3d 02

1qdFp2FBR3Fp102

FBR21

RAFy0,F 3-2 15KN 解

Σ Fx = 0， FAx = 0 ΣFy = 0， FAy = 0（↑） ΣMA = 0，MA + M − Fd = 0 , MA = Fd − M

3-3

解： ΣMA (F) = 0 , −W ×1.4 − FS ×1+ FNB × 2.8 = 0 , FNB =13.6 kN ΣFy = 0， FNA = 6.4 kN 3-4

ΣFy = 0， FBy =W +W1 =13.5 kN ΣMB = 0，5FA −1W −3W1 = 0 , FA = 6.7 kN（←）, Σ Fx = 0， FBx = 6.7 kN（→）

3-7

解：以重物为平衡对象： 图（a），ΣFy = 0，TC =W / cosα （1） 以整体为平衡对象： 图（b），ΣFx=0，FBx=TC’sinα=Wtanα ΣMB=0，−FRA⋅4h+TC′cosα⋅2h+TC′sinα⋅4h=0， FRA=(1/2+tanα)W（↑） ΣFy=0，

FBy=(1/2-tanα)W（↑） 3-9

解：以整体为平衡对象，有

ΣMA = 0

FRB ×2×2.4cos 75° − 600×1.8cos 75° −W(1.2 + 3.6) cos 75° = 0， FRB = 375 N

ΣFy = 0，FRA = 525 N 以BC 为平衡对象，有

−TEF ×1.8sin 75° −150×1.2 cos75° + FRB ×2.4 cos75° = 0 TEF = 107 N

3-11

：以托架CFB 为平衡对象，有 ΣFy = 0，FBy = FW2 （1） 以杠杆AOB 为平衡对象，有 ΣMO = 0， FW⋅l−FBy⋅a=0

Fw1/Fw2=a/l

4－2 图示直杆ACB在两端A、B处固定。关于其两端的约束力有四种答案。试分析哪一种答案最合理。 正确答案是

5-1 习题4-2图 图

a 图 b 图 c

图 d 5-2 1 b 5-3

5-4 解:(a)

A截面: FQ =b/(a+b)FP,M=0 C截面: FQ =b/(a+b) FP,M=ab/(a+b) FP D截面: FQ =-a/(a+b) FP,M=ab/(a+b) FP B截面: FQ =-a/(a+b) FP,M

=0

(b)

A截面: FQ =M0/(a+b),M=0

C截面: FQ =M0/(a+b),M=a/(a+b)M0 D截面: FQ =- M0/(a+b),M=b/(a+b) M0 B截面: FQ =- M0/(a+b),M=0 (c)

A截面: FQ =5/3qa,M=0

C截面: FQ =5/3qa,M=7/6qa2 B截面: FQ =-1/3qa,M=0 (d)

A截面: FQ =1/2ql,M=-3/8qa2 C截面: FQ =1/2ql,M=-1/8qa2 D截面: FQ =1/2ql,M=-1/8qa2 B截面: FQ =0,M=0

(e)

A截面: FQ =-2 FP,M=FPl C截面: FQ =-2 FP,M=0 B截面: FQ =FP,M=0

(f)

A截面: FQ =0,M= FP l/2 C截面: FQ =0,M= FP l/2 D截面: FQ =- FP,M= FP l/2 B截面: FQ =-FP,M=0

5-5 (a)

FQ ( x ) =-M/2 l, M( x) =-M/2 l x ( 0 ≤ x ≤ l) FQ ( x ) =-M/2 l，M( x) =-Mx/2 l + M ( l ≤ x ≤ 2 l) FQ ( x ) = -M/2 l, M( x) = -Mx/2 l + 3M ( 2 l ≤ x ≤ 3 l) FQ ( x ) = -M2 l, M( x) = -Mx/2 l + 2M ( 3 l ≤ x ≤ 4 l) ( b)

FQ ( x ) = -(1/4)ql-qx , M( x) = ql2-(1/4)ql x –(1/2)qx2 ( 0 ≤ x ≤ l) FQ ( x ) = -(1/4)ql, M( x) =(1/4)ql(2l- x) ( l ≤ x ≤ 2 l) ( c)

FQ ( x ) = ql-qx , M( x) = ql x + ql2-(1/2)qx2 ( 0 ≤ x ≤ 2 l) FQ ( x ) = 0 , M( x) = ql2 ( 2 l ≤ x ≤ 3 l)

(d)

FQ ( x) =（5/4）ql-qx, M( x) =（5/4）qlx-(1/2)qx2 (0≤x≤2l) FQ ( x) =-ql + q(3 l-x) , M( x) = ql(3l-x) –(1/2)q( 3l-x)2 (2 l≤x≤3 l) (e)

FQ ( x) = qx , M( x) =(1/2)qx2 (0 ≤ x ≤ l)

FQ ( x) = ql-q( x-l) , M( x) = ql(x -1/2)-(1/2)q( x-l)2 ( l ≤ x ≤ 2 l) (f)

FQ ( x) = -ql/2+ qx , M( x) = -(1/2)qlx +(1/2)qx2 ( 0 ≤ x ≤ l) FQ ( x) =-ql/2+ q(2l-x) , M( x) = (ql/2)(2 l-x)-(1/2)q(2l-x)2( l≤x≤2l)

5-6画出5-5图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 |FQ|max、Mmax。 解：（a）MA0，FRB Fy，0FRA M

（↑） 2l M （↓） 2l

M

|FQ|max， |M|max2M 2l

（b）MA0

l

qlqlqllFRB2l 021

FRBql（↑） 4 2

Fy0，FRA

1

ql（↓） 4

MCFRB MAql 2 11

lqllql2（＋）44 |FQ|max 5

ql, |M|maxql2 4

（c）Fy0，FRAql（↑） MA0，MAql2 l

MD0，ql2qllqlMD 02 3

MDql2 2 3

|FQ|maxql, |M|maxql2 2

（d）MB0 l

FRA2lq3lqll 02 5

FRAql（↑） 4 3

Fy0，FRBql（↑） 4q

MB0，MBl2 2252

MD0，MDql 32 5252

|FQ|maxql, |M|maxql 432

（e）Fy0，FRC = 0

3l

MC0，qllqlMC 22MCql2 1

MB0，MBql2

2

Fy0，FQBql |FQ|maxql, |M|maxql 1

（f）MA0，FRCql（↑） 21

Fy0，FRAql（↓） 2 2

Fy0， FQB

1

qlqlFQB0 2 1ql 2 1lll

MD0，qlqMD222411 MDql2, MEql2 881

∴ |FQ|maxql 21

|M|maxql2 8

6－1 直径d = 36mm的钢杆ABC与铜杆CD在C处连接，杆受力如图所示。若不考虑杆的自重，试： 1．求C、D二截面的铅垂位移；

Fl

2．令FP1 = 0，设AC段长度为l1，杆全长为l，杆的总伸长lP2，写出E的表达式。 EA

解：（1）uCuA(FN)ABlAB

πd2

Es4(FN)BClBCπd2Es4 3 0

uDuC15010320001001033000200102.9474π3622.947mm (FN)CDlCD πd2

Ec410010325004105103π3625.286mm （2）

lFP2lFlF(ll1)，令1 llAClCDP21P2lEAEsAEcA11 EEsEc

EcEs Ec(1)Es E

6-2 长为1.2m、横截面面积为1.10103m2的铝制筒放置在固定刚块上，直径为15.0mm的钢杆BC悬挂在铝筒顶端的刚性板上，若二者轴线重合、载荷作用线与轴线一致，且已知钢和铝的弹性模量分别为Es = 200GPa，Ea = 70GPa，FP = 60kN。试求钢杆上C处位移。 kN Am E kN

(b) 习题6-2图

(a)

FPlAB 解：1.铝筒：uAuB（其中uA = 0） EaAa ∴ uB0.935mm 701031.10103 106

FPlBC601032.1103 0.9354.50m 2．钢杆：uCuBEsAs3π2200101

6-3 螺旋压紧装置如图所示。现已知工作所受的压紧力为F = 4kN，旋紧螺栓螺纹的内径d1 = 13.8mm

，固 18 601031.2103

定螺栓内径d2 = 17.3mm。两根螺栓材料相同，其许用应力[]= 53.0MPa。试校核各螺栓之强度是否安全。 解：MB0，FA = 2kN Fy0，FB = 6kN A 习题6-3图

(a)

FA200020004

13.8MPa[，安全。] AAπ2π13.8210 6d14

B

FB60004

25.5MPa[，安全] ABπ26

17.3104

6-5 图示结构中BC和AC都是圆截面直杆，直径均为d = 20mm，材料都是Q235钢，其许用应力[]= 157 MPa。试求该结构的许可载荷。 解：Fx0，FB2FA Fy，0 ∴ FP （1） （2） （3） 习题8-2图 FAFBFP0 22

1FB 2π

FB[]d2 4 FP 13π2 d[]24

B 13π

202104157106` 2467.4kN （4）

由（1）、（2）得：

2(13)2(13)π(a) FPFA[]d290.28kN（5）

224

比较（4）、（5）式，得 [FP] = 67.4 kN

根据垂直方面的平衡条件，有FNBCcos30FNACcos45FP，然后将FNBC(πd2/4)[，]FNAC(πd2/4)[代]入后即可得许可载荷，这种解法对吗？为什么？

解法不对，因为保持平衡时，两杆内应力并不是正好都同时达到许用应力。 6-6 图示的杆系结构中杆1、2为木制，杆3、4为钢制。已知各杆的横截面面积和许用应力如下：杆1、2为A1 = A2 = 4000mm2，[w]= 20MPa，杆3、4为A3 = A4 = 800mm2，[s]= 120MPa。试求许可载荷[FP]。 5

FP 344 Fx0，F1F3FP 5344

图（b）Fx0，F4F3FP 535

Fy0，F2F3FP 3

|F1||F2|

解：图（a）Fy0，F3 习题6-6图 |F|

1[w] A1

(a)

4FPA1[w] 3

33 FPA1[w]40001062010660kN 44 F3F4

F3[s] A3 5(b) FP[]A3 3

33 FP[]A312010680010657.6kN 55 ∴ [FP] = 57.6 kN

6-7 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。已知FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解：变形谐调：

先导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式； FNsFNa EsAsEaAa（1） （2） FNsFNaFP

EAFFPNsEsAsEaAa  EaAaFFPNaEAEAssaa 1． s a

2． s习题 6--7图

FNsEsFPEsFP AsEsb0hEa2b1hb0hEs2b1hEaFNaEaFP Aab0hEs2b1hEa200109385103 175MPa（压） 0.030.0520010920.020.0570 109a175Ea7017561.25MPa（压） Es200

6-9 组合柱由钢和铸铁制成，其横截面面积宽为2b、高为2b的正方形，钢和铸铁各占一半（b2b）。载荷FP通过刚性板加到组合柱上。已知钢和铸铁的弹性模量分别为Es = 196GPa，Ei = 98.0GPa。今欲使刚性板保持水平位置，试求加力点的位置x =？ b3 解：M00，(b2bs)(x)(b2b)i(bx) 22 2xbi ∴ （1） 3b2x ssEsiEi （2） i981 s1962 （2）代入（1）得4x2b3b2x

习题6-9图

∴ x 5b 6

7－1 直径为 d 的圆截面梁，两端在对称面内承受力偶矩为M 的力偶作用，如图所示。若已知变形后中性层的曲率半径为ρ ；材料的弹性模量为E。根据d、ρ 、E 可以求得梁所承受的力偶矩M。现在有4 种答案，请判断哪一种是正确的。

A

7－3 关于平面弯曲正应力公式的应用条件，有以下4 种答案，请判断哪一种是正确的。

(A) 细长梁、弹性范围内加载；

(B) 弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内；

(C) 细长梁、弹性范围内加载、载荷加在对称面或主轴平面内； (D) 细长梁、载荷加在对称面或主轴平面内。

C

7-4 长度相同、承受同样的均布载荷q 作用的梁，有图中所示的4 种支承方式，如果从 梁的强度考虑，请判断哪一种支承方式最合理。

D

7－5 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。图中的尺寸单位为mm。求：梁的1－1 截面上A、

解: C 截面和D 截面上的最大拉应力与最大压应力分别为: C 截面:

+3-38-1246σmax=(30×10N·m×96.4×10m)/(1.02×10×10m)=28.35×10Pa=28.35MPa 3-38-1246σ-max=(30×10N·m×153.6×10m)/(1.02×10×10m)=45.7×10Pa=45.18MPa D截面:

338-126σ+max=(40×10N·m×153.6×10-m)/(1.02×10×10m4=60.2×10)Pa=60.2MPa>[σ] 338-126σ-max=(40×10N·m×96.4×10-m)/(1.02×10×10m4)=37.8×10Pa=37.8MPa 所以,梁的强度不安全。 7-10解: 画弯矩图如图所示。 强度计算 对于梁:

Mmax=0.5q

σmax=Mmax/W≤[σ], 0.5q/W≤[σ]

q≤[σ]W/0.5=160×106×49×10-6/0.5=15.68×103N/m=15.68kN/m 对于杆:

22σmax=FN/A≤[σ],4FB/πd=4×2.25q/(πd)≤[σ] q≤πd2×[σ]/(4×2.25)=π×(20×10-3)2×160×106/(4×2.25)=22.34×310N/m=22.34kN/m 所以结构的许可载荷为 [q

]=15.68kN/m 7-11

Mmax=FP×1m=20×103N×1m=20×103N·m σmax=Mmax/W≤[σ]

W≥FP×1m/[σ]=20×103N·m/(160×106Pa)=0.125×10-3m3=125cm3 所以,选择No.16工字钢。

7-12

没有辅助梁时 σmax=Mmax/W≤[σ] (FPl/4)/W=1.30[σ] 有辅助梁时 σmax=Mmax/W≤[σ] (FPl/2)(3-2a)/W=[σ]

FPl/2(3-2a)W=FPl/4/(1.30×W)=[σ] 1.30×(3-2a)=0.5 a

=1.308m 7-13

1.受力分析

起重载荷位于AB梁中点时,梁处于危险状态。这时,梁承受弯曲与轴向压缩的共同作用。

ΣMA=0,-FP×l/2+FBC×lsin30°=0,FBC=FP=22kN AB梁在B点承受的轴向压缩力 FN=FBCcos30°=19052N 2.强度设计

首先按照弯曲强度设计,然后再对弯曲与压缩载荷共同作用时的强度进行校核。 σmax=Mmax/W≤[σ]

W≥FPl/4/[σ]=22×103N×2m/(4×160×106Pa)=110×10-6m3=110cm3 所以,选择No.16工字钢。

No.16工字钢的横截面面积与弯曲截面模量分别为: A=26.1cm2=26.1×10-4m2 W=141cm3=141×10-6m3

再校核弯曲与压缩载荷共同作用时的强度

σA=FN/A+M/W=19052/(26.1×10-4)+(22×103×2)/(4×141×10-6)=7.3×106Pa+78

×106Pa=85.3MPa<[σ]

所以,选择No.16工字钢,梁的强度是安全的。

7-14

解:(a)为拉弯组合

22σa=FP/(a×3/2×a)+FP·(a/4)/(a(3a/2))/6=4/3·FP/a (b)为单向拉伸 σb=FP/a2 σa/σ

b=4/3

9－6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN·m。试求： 1．轴横截面上的最大切应力；

2．轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比；

3．去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。

MxTT31031670.7MPa 解：1．1maxWPWPπd3π0.063 16

Mx2πMxr4

2． Mr dA2πdA10IpIp4 r习题9-6图

Mr2πr42πr416r4151416()46.25% ∴ 4Mx4Ip6016πdd432 MT 3． 2maxx 3Wpπd141()16 2

2max1max

1max1()416.67% 141(1)415 24

9－7 图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d = 66mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。

MT 解：轴maxx1 360106 Wp1πd 16 π663

T160101093387N·m 16 MT260106 套maxx3Wp2πd6841()1680 6π80317 T260101091()42883N·m 1620 6∴ TmaxT2288N3·m2.88103N·

m

9－8 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2 = n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明： Tsn2 Th1n2

解：由已知长度和质量相等得面积相等： 22 πR0π(R2R12) （1） （2） maxTs πd3

16Ts

max3R0π2Th π(2R2)3 (1n4)16

由（2）、（3）式 （3） 3 TsR0 3

ThR2(1n4)22

由（1） R0R2R12 （4）

代入（4） T ∴ s Th 3

222(R2R1)3R2(1n4)  (1 3 22n)

1n4  (1 322n)

(1n2)(1n2) 

n21n2

9－9 直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转力遇矩T = 73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试：

1．分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2．确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 解：设轴受T = 73.6N·m时，相对扭转角为0 且 d0T 

dxGIp1 （1）

T撤消后，管受相对扭转角2，则轴受相对扭转角 10，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统2 平衡。

12 0（2） （3） （4） TlMlMl

xx GIp1GIp1GIp2 Ip2Ip1Ip2 MxMx ∴ Mx T （5） （6）

hmax Ip1 Tp2MxTTD

 Wp2Ip1Ip2Wp2Ip1Ip22

πd4π(25)4101238349.51012 3232πD432 (a)

D24π772.1()1()10123939221012m4 D3275 

将Ip1、Ip2值代入（6）得

7573.610 36.38MPa 管：hmax

(38349.5393922)1012 Ip2轴： smax Mxd 

Ip12Ip1(Ip1

Ip2T 25

39392210 3d21.86 MPa

Ip2)2(38349.5393922)38349.510 1273.6