基础知识与经典例题精讲
一、时钟
时钟问题属于封闭曲线的行程问题，只不过是线速度变成了角速度罢了，可以继续应用追击，相遇等行程模块的基本公式。
基本思想：1、确定时针、分针的速度（或速度差）。从角度观点看，钟面圆周一周是360°，分针每分钟转360/60度，即分针速度为6°/分钟，时针每小时转360/12=30度，所以每分钟的速度为30°/60，即0.5°/分钟。分针与时针的速度差为5.5°/分钟。
2、确定时针、分针的初始位臵通常以整点，比如3点、6点等这样比较容易的时间作为初始位臵。
3、确定时针与分针的路程差与和（或目标位臵） 例、时钟上时针与分针每两次重合之间相隔多少分钟？（）
钟表问题和普通的行程问题最主要的区别在于，普通的相遇或追击是在直线上进行的，而钟表问题是在圆圈上进行的。那么，你会发现，无非就是把直线是我们所谓的长度，在钟表中看成了角度，而直线上的速度，在钟表上变成了时针和分针的角速度。
【例1】某时刻钟表时针在10点到11点之间，此时刻再过6分钟后分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上，则此时刻为（ ）。
A.10点15分 C.10点20分
B.10点19分 D.10点25分
【解析】时针在10点到11点之间，看选项，此时刻3分钟之前的时针也在10点到11点之间（不含端点），则此时刻再过6分钟后的分针在4到5之间（不含端点），即处于（20,25），则现在分针在（14,19），选项只有A符合。 【例2】一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。如将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示10点整时，慢钟恰好显示9点整。则此时的标准时间是（ ）。
A．9点15分 B．9点30分 C．9点35分 D．9点45分
【解析】一个快钟每小时比标准时间快1分钟的意思是：标准时间走1小时，快钟快1分钟；一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟的意思是：标准时间走1小时，慢钟慢3分钟。 1:3的关系，则时间应该是D。
【例3】九点整时，钟的分针追上时针最少需要多少分钟？ A.16 B. 540/11 C.600/11 D.360/11
【解析】9点整的时候，时针和分针为270度（为什么不是90度？），然后分针开始追及，速度为5.5°/每分钟，于是有270/5.5=B
【例4】火车速度为118千米/时，一位旅客的手表比标准时间每小时要慢1分钟，则在该旅客手表所显示的2小时里，火车跑了 ( )千米。
A.230 B.236 C.240 D.248
【解析】对于坏表问题，其实本身不过是一个比例问题（又见比例法！），坏表走59格的时间，正常表走60个格子，那么有59/60=120/x,得到x=120x60/59，那么坏表的两个小时，对应的正常表就是120/59个小时，那么火车自然跑了120x118/59=240千米
注意：这题在出题的时候，为什么让火车的速度是118？ 【例5】有一只手表，他发现手表比家里闹钟每小时快30秒。而闹钟却比标准时间每小时慢30秒。那么这只手表一昼夜比标准时间（ ）
A.快6秒 B.快12秒 C.慢6秒 D.慢12秒 【解析】手表比家里闹钟每小时快30秒的意思是：闹钟走 3600秒，手表走3630秒；闹钟比标准时间每小时慢30秒的意思是：标准时间走3600秒，闹钟走3570秒。即速度比： 闹钟：手表=3600:3630，闹钟：标准时间=3570:3600. 则手表：闹钟=（3630×3570）：（3600×3600）
则3600小时，慢900秒；24小时，慢6秒。选C。 【例6】张某下午六时多外出买菜，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110º，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110º，那么张某外出买菜用了多少分钟？（ ）
A、20分钟 B、30分钟 C、40分钟 D、50分钟 【提示】两个110°究竟意味着什么？在行程问题里相当于什么？
【例7】有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟。当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点，当这只怪钟显示8点50分时，实际上是什么时间？
A.17点50分 B.18点10分 C.20点04分 D.20点24分 【解析】标准时间：怪钟=24:10=2.4:1
方法一：2.4是3的倍数，小时化成分，t×60也是3的倍数。则时间的“分”不分应该是3的倍数，只有D。 方法二：怪钟从5点到8点50分，走3.5小时，实际时间是3.5×2.4=8.4小时，0.4×60=24，选D
【例8】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，发现时针与分针恰好互换了位臵。问这次会议大约开了1小时多少分？（） A.51 B.47 C.45 D.43
【解析】走了1个多小时，且时针与分针互换位臵，时针与分针路程和为720°，开会时间为720/(6+0.5)，选A。
二、日期
1、平年和闰年 一年分为平年和闰年。
平年：一年365天，其中二月份28天； 闰年：一年366天，其中二月份29天。 2、闰年的判定
①非100的倍数的年份，能被4整除的是闰年； ②是100的倍数的年份，能被400整除的是闰年； ③是1000倍数的年份，能被4000整除的是闰年； ④特例：3200年不是闰年。 3、大月和小月 月分大月和小月。
大月：每月共31天，包括一月、三月、五月、七月、八月、十月、十二月；
小月：每月共30天，包括四月、六月、九月、十一月； 二月：平年28天，闰年29天。 4、星期
一个星期为7天，即星期每7天一循环。平年有52周余1天，闰年有52周余2天，所以同一日期过一平年星期加一，
过一闰年星期加二。其实，这也就是余数问题模型的拓展罢了。
【例1】2003年7月1日是星期二，那么2005年7月1日是（ ）。
A.星期三 B.星期四 C.星期五 D.星期六 【解析】2003到2005经过2年，加2天，2004年是闰年，再加1天，总共加3天，所以就是星期五。
【例2】甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？
A.10月18日 B.10月14日 C.11月18日 D.11月14日
【解析】每隔n天去一次的意思是每（n+1）天去一次，即甲每6天去一次，乙每12天去一次，丙每18天去一次，丁每30天去一次。最小公倍数，每180天去一次，180/30=6，大概需要6个月，先排除AB。又因为有些月份有31天，所以总共只需要6个月稍少的时间，选D。
【例3】某天办公桌上台历显示是一周前的日期，将台历的日期翻到当天，正好所翻页的日期加起来是168。那么当天是几号？
A.20 B.21 C.27 D.28
【参考答案】D
【例4】某日小李发现日历有好几天没有翻，就一次翻了6张，这6天的日期加起来的数字和是90，则今天几号？（）
A.4 B.6 C.18 D.19
【解析】90/6=15,六个连续自然数的平均数必然是带0.5的小数，而这里是整数，说明不是连续自然数，则今天应该是月初，先排除CD。如果是B，则前五天时间是1、2、3、4、5，再加上上个月的最后一天，最多31，显然离90差很远，排除，选A
【例5】某年的二月份有5个星期四，则后年的3月1日是星期几？
A.星期一 B.星期三 C.星期五 D.星期日 【解析】二月份有5个星期四，说明是闰月，且2月29日是星期四（2月1日也是星期四），当年3月1日是星期五，后年3月1日是星期日。
三、年龄
“两人的年龄差不随时间变化”是年龄问题的核心所在。
【例1】前年，父亲年龄是儿子年龄的4倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的3倍。父亲今年（ ）岁。
A.32 B.34 C.36 D.38 解析】方法一：数字特性。后年，父亲年龄是儿子年龄的3倍，则今年父亲年龄除以3余1，只有B。 方法二：比例法，抓住年龄差不变。
4:1=8:2，3:1=9:3，请同学们注意，这样变形的目的是实现父亲9对应父亲的8，儿子的3对应儿子的2，也就是说，年龄差都是1份。年龄差1份，而前年到后年，是4年。于是后年父亲的年龄就是4x9=36(父亲的年龄是9份），那么今年自然就是34了。
【例2】甲、乙、丙、丁四人今年分别是16、12、11、9岁。问多少年前，甲、乙的年龄之和是丙、丁年龄之和的2倍？
A.4 B.6 C.8 D.12
【解析】方法一：数字特性。甲、乙的年龄之和是丙、丁年龄之和的2倍，则四人年龄之和是3的倍数。
而今年四人年龄之和除以3的余数是0，则经过的时间也必须是3的倍数，只有D。
方法二：代入法。今年，甲+乙=28，丙+丁=20，B符合。 方法三：比例法。甲+乙=28，丙+丁=20
28:20，（28-x):(20-x)=2:1=16:8,所以有（28-16）/2=6 【例3】在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁。家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子。 父
亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁。四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁，现在儿子多少岁？
A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】现在73岁，73-4×4=57
而题中所有人年龄之和是58，说明其中一个人四年前是-1岁，也即一年后生的。现在就是3岁。
注意：反常之事必有合理之因，而将这种原因寻找出来，大部分时候，都是解答题目的关键。
【例4】今年，哥哥和弟弟的年龄之和是 35岁， 哥哥在弟弟这么大的时候，哥哥的岁数是弟弟的2倍，问哥哥今年几岁？
A.20岁 B.21岁 C.22岁 D.23岁
【解析】方法一：数字特性。题目中的这种表述说明涉及到的几个数成等差数列。如果设哥哥在弟弟这么大的时候，弟弟年龄为x，则哥哥年龄为2x。则弟弟现在年龄为2x，哥哥现在年龄为3x，3的倍数，直接选B。
方法二：等差数列，接方法一，直接算，2x+3x=35,3x=21. 【提醒】在年龄问题中，说到当谁在谁这么大时，由于年龄差不变，涉及到的几个数字就会成等差数列。 用图直观表示如下：
【例5】甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙这么大时，乙8岁；当乙像甲这么大时，甲29岁。问今年甲的年龄为几岁（ ）
A.22 B.34 C.36 D.43 【解析】方法一：成等差数列，大于9，小于29，选A。 方法二：继续计算。成等差数列。29-（29-8）/3=22 【提醒】用图形表示如下
【例6】爸爸、哥哥、妹妹3个人，现在年龄和为64岁。当爸爸是哥哥年龄3倍时，妹妹是9岁，当哥哥是妹妹年龄2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年龄是（ ）岁。
A.34 B.39 C.40 D.42 【解析】这题三个人之间的年龄关系不明显，直接根据年龄差不变，列表。设妹妹9岁时，哥哥年龄为x，则 爸爸 哥哥 妹妹
64
3x x 9 34 34-2x 43-3x 则34-2x=2（43-3x）,解得x=13
则当妹妹9岁时，三个人年龄和为x+3x+9=61 (64-61)/3=1,则爸爸年龄为3x+1=40
课后练习
1、甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。甲乙现在各有（ ）。
A.45岁，26岁 B.46岁，25岁 C.47岁，24岁 D.48岁，23岁
2、孙儿孙女的平均年龄是10岁，孙儿年龄的平方减去孙女年龄的平方所得的数值，正好是爷爷出生年份的后两位，爷爷生于上个世纪40年代。问孙儿孙女的年龄差是多少岁? A.2 B.4 C.6 D.8
3、为保证一重大项目机械产品的可靠性，试验小组需要对其进行连续测试。测试人员每隔5小时观察一次，当观察第120次时，手表的时针正好指向10。问观察第几次时，手表的时针第一次与分针呈60度角？
A.2 B.4 C.6 D.8
4、小李的弟弟比小李小2岁，小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15.问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁（ ） A.25,32 B.27,30 C.30,27 D.32,25
第七讲 浓度问题
基础知识与经典例题
浓度问题的关键是找到“浓度”、“溶液”、“溶质”三者之间的关系。
①溶质=溶液*浓度
②溶解度=溶质质量/溶剂质量*100% ③溶液浓度=溶质质量/溶液质量*100%
溶质，溶液中被溶剂溶解的物质。溶质可以是固体(如溶于水中的糖和盐等)、液体(如溶于水中的酒精等)、或气体(如溶于水中的氯化氢气体等），甚至可以把溶液整体视为溶质，究其本质，溶液问题不过是两个量的混合罢了。其实在溶液中，溶质和溶剂只是一组相对的概念。一般来说，相对较多的那种物质称为溶剂，而相对较少的物质称为溶质。
【例1】一杯溶液，每次加同样多的水，第一次加水后浓度为15%，第二次加水后浓度为12%，请问第三次加水后浓度为多少？
A.8% B.9% C.10% D.11% 【解析】方法一：比例法。抓住溶质不变。 15%=60/400，12%=60/500， 则第三次加水后是60/600=10%。
方法二：假设法，抓住溶质不变，那么假设溶质为60，所以第一次加水后溶液为400，第二次加水后溶液为500，第三次加水后溶液自然是600，所以选C。 练习一下：
有浓度为4%的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成10%，再加入300克4%的盐水后，变为浓度6.4%的盐水，则最初的盐水是（ ）。
A.200克 B.300克 C.400克 D.500克
【例2】甲乙两个容器中分别装有17%的酒精溶液400克，9%的酒精溶液600克。从两个容器中分别取出相同重量的酒精溶液倒入对方容器中，这时两个容器的酒精浓度相同，则从甲容器倒入乙容器中的酒精溶液的克数是？（）
A200 B240 C250 D260 【解析】
方法1：方程法，求出混合后的溶液的浓度，再列方程解答。
方法2：在溶液问题里，有一个结论：两种不同浓度的溶液混合成某一个特定浓度的溶液，则这两种不同浓度的溶液的质量比是固定的（这个结论非常简单，请同学们用十字交叉法证明一下）。那么，对于此题，假设取出的相同重量的酒精溶液的重量是x，那么就是浓度17%的分为x和400-x两部分，浓度为9%的分为600-x和x两份，其中，第一个x和600-x混合，第二个x和400-x混合，那么有x/（600-x）=（400-x）/x(注意，浓度为17%的都在上面，而浓度为9%的都在下面）。x/（600-x）=（400-x）/x=400/600（此处用的是和分比定理，和分比定理与差分比定理在解决比例式方程时有很好的应用）
方法3：对于甲容器，把从乙容器中倒进去的溶液看成溶质，则根据浓度相等，有x/400=600/(400+600),解得x=240 （思考题，不讲）【例3】A,B,C为三种酒精溶液。按质量比2：6：1混合，质量分数为30%；4：5：1混合时，为28%；6：1：1混合时，为25%。现缺少C种溶液，需要配臵大量28%的溶液需要A和B的质量比是
A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：5
【解析】令30%溶液质量为M，25%溶液质量为N，混合刚好得到28%的溶液，则 M(30-28)=N(28-25),M:N=3:2
2+6+1=9，6+1+1=8,9x:8y=3:2，x：y=4:3
4×（2:6:1）+3（6:1:1）=26:27:7…………（1） 4:5:1=28:35:7…………………………………（2） （1）与（2）对比，得A与B的质量比为1:4
【例4】有ABC三种酒精，把A与B按数量之比2：1混合则得到浓度13%的酒精，若按1：2混合则得到14%的酒精，如果把ABC三种酒精按1：1：3混合成浓度为10.2%的酒精，求C种酒精的浓度？
A.6% B.8% C.7.2% D.9.6%
【解析】要抓住题目的特征，题目中1：2和2：1，其实各取一份正是3：3，也就是1：1，那么最后的1：1：3，相当于前面1：1的部分浓度为13.5%，并且取两份与C混合！于是可以进行十字交叉。请同学们自己运算一下。 注意：数量关系中的等价转化思维很重要！ 练习一下：
有a、b、c三种浓度不同的溶液，按a与b的质量比为5:3混合，得到的溶液浓度为13.75%；按a与b的质量比为3:5混合，得到的溶液浓度为16.25%；按a、b、c的质量比为1:2:5混合，得到的溶液浓度为31.25%。问溶液c的浓度为多少？（ ）
A. 35% B.40% C. 45% D. 50%
课后练习
1、有浓度为4%的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成10%，再加入300克4%的盐水后，浓度变为6.4%的盐水。问最初的盐水多少克？
A.200克 B.300克 C.400克 D.500克 2、一瓶浓度为80%酒精溶液倒出1/3后再加满水，再倒出1/4后仍用水加满，再倒出1/5后还用水加满，这时瓶中酒精浓度是（ ）。
A.50% B.30% C.35% D.32%
3、有一瓶水，将它倒出1/3，然后倒入同样多的酒精，再将此溶液倒出1/4后又倒进同样多的酒精，第三次倒出此溶液的1/5后又倒进同样多的酒精，问此时的酒精浓度是多少？（ ）
A.70％ B.65％ C.60％ D.55％
第八讲 行程（路程）问题
基础知识与经典例题
1、概述
速度合成是行程问题的基础，一般性的存在比例关系的行程问题，通常是通过比例法来快速解答；一些数据只涉及到一个量的题，可通过对剩下的两个量中的一个量取特殊值
来解答。行程问题，要理解题干描述的过程，用画图的方法辅助做题。
注意：同时出发同时相遇=时间相等，往返=路程相等。在行程问题里面，一样要抓住相等关系。 2、基本公式：路程=速度*时间
运动路程相等，运动速度与运动时间成反比； 运动速度相等，运动路程与运动时间成正比； 运动时间相等，运动路程与运动速度成正比。 这是行程问题比例法的基本内容！ 3、速度合成：相对距离=相对速度*时间
说明：速度是矢量，当两速度方向相同时，相对速度为两速度数值相减；当两速度方向相反时，相对速度为两速度数值相加。速度合成问题的关键是要选好参照物（相对路程=相对速度*时间），路程是相对的，其实速度也是相对的，巧妙的选取参照物，会让解题过程更加简单。
具体分类： ①相遇追击问题：
相遇距离=（大速度数值+小速度数值）×相遇时间 追击距离=（大速度数值-小速度数值）×相遇时间 ②环形运动问题：
环形周长=（大速度数值+小速度数值）×相向运动的两人两次相遇的时间间隔；
环形周长=（大速度数值-小速度数值）×同向运动的两人两次相遇的时间间隔； ③流水行船问题：
顺流路程=顺流速度×顺流时间=（船速+水速）×顺流时间=船速×顺流时间+水速×顺流时间
（所以顺流路程也可以看成“船速×顺流时间+水速×顺流时间=船的路程+水的路程”）
逆流路程=逆流速度×逆流时间=（船速－水速）×逆流时间=船速×逆流时间+水速×逆流时间
（所以逆流路程也可以看成“船速×逆流时间+水速×逆流时间=船的路程－水的路程”） ④电梯运动问题：
能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×沿电梯方向运动所需要的时间；
能看到的电梯级数=（人速－电梯速度）×逆电梯方向运动所需要的时间。 4、经典例题
【例1】经过技术改进，A,B 两城间列车的运行速度由150千米/小时提升到250千米/小时，行车时间因此缩短了48分钟，则AB城间的距离为（ ）？
A.300 B.291 C.310 D.320 【解析】路程相同，速度与时间成反比。
速度150:250=3:5，时间5:3， 路程48×5/[(5-3)×60]×150=300
【例2】有甲、乙、丙三人，甲每小时走80公里，乙每小时走70公里，丙每小时走60公里。现在甲从A处出发，乙、丙两人从B处同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇15分钟后，甲又与丙相遇。求AB两地的距离。( ) A.315公里 B.525公里 C.465公里 D.455公里
【解析】这是一个相遇问题，在这个题目中，三人速度都有，很明显是不一样的。我们知道，在相遇追及问题里，相遇距离就是两地之间的整个全程，不管是甲丙之间还是甲乙之间，都是这一个全程；也就是说，在这个题目中路程是潜在的不变量，变量是速度和时间。那么我们围绕路程这个等量关系列出两个表示路程的式子就可以解决：设甲乙相遇时间是T，那么甲丙相遇时间就是T+1/4，利用相遇公式有(80+70)T=(80+60)(T+1/4)。解得T=3.5,因此整个距离是525。 【例3】姐弟俩出游，弟弟先走一步，每分钟走40米，走80米后姐姐去追他。姐姐每分钟走60米，姐姐带的小狗每分钟跑150米。小狗追上弟弟又转去找姐姐，碰上姐姐又转去追弟弟，这样跑来跑去，直到姐弟相遇小狗才停下来。问小狗共跑了多少米?
A.600 B.800 C.1200 D.1600
【解析】时间相同，路程与速度成正比。 速度比=20:150=80:600
或者，时间=80/(60-40)=4,小狗路程=4×150=600 【例4】小明从家到学校时，前一半路程步行，后一半路程乘车；他从学校回家时，前1/3时间乘车，后2/3时间步行，结果去学校的时间比回家所用的时间多2小时。已知小明步行每小时行5千米，乘车每小时行15千米，那么，小明从家到学校的路程是（ ）千米。
A.170 B. 150 C.100 D. 90 【解析】方法一：
小明从家去学校的平均速度=2×5×15/(5+15)=7.5 小明从学校回家的平均速度=1/3×15+2/3×5=25/3 往返速度比=7.5：（25/3）=9:10
时间比=10:9=20:18，去学校的时间为20小时。 路程=20×7.5=150
方法二：去学校，乘车与步行路程比为1:1 回家，乘车与步行的路程比为： （1/3×15）：（2/3×5）=3:2 1:1=5:5，3:2=6:4
差1份。即只有中间一份速度不同。 这一份速度比为1:3 时间比为3:1
则这段路程，去学校时间为3小时，3×5=15千米。
全程10份路程为10×15=150千米。
【例5】游乐场的溜冰滑道如下图所示，溜冰车上坡时每分钟行驶400米，下坡时每分钟行驶600
米，已知溜冰车从A点到B点需要3.7分钟，从B点到A点只需要2.5分钟。AC比BC长多少米?
A.1200 B.1440 C.1600 D.1800 【解析】首先要思考，为什么时间有差距。
令AC=BC+X，则由A到B，路程比上坡：下坡=（BC+X）:BC, 由B到A，路程比上坡：下坡=BC:(BC+X), 所以，实际上速度有差别的就x这段路程。 速度比=400:600=2:3=2.4：3.6， 时间比=3.6:2.4,x=3.6×400=1440
【例6】某人乘船逆流而上，在途中不慎将一救生圈掉入水中，在继续前进了20分钟后才发现，于是返回追寻。待追到救生圈时，它已经顺流而下漂到距离落水处2千米的地方。请问，此人从发现救生圈丢失到找回救生圈共用了： A.25分钟 B.24分钟 C.20分钟 D.18分钟
【解析】此为流水问题，流水问题只不过是要考虑水速罢了。 救生圈掉入水中后，顺流而下，20分钟后，救生圈走了20v
水
，而人走了20（v人-v水）；也就是说，当发现丢失并返回寻
找的时候，救生圈和人的距离是20v水+20（v人-v水)=20v人。而人去追救生圈的相对速度是（v人+v水）-v水=v人，根据追及公式，时间=20v人/v人=20，选C
注意：做题的时候，思路其实非常清晰，此题问追及时间，那么我们就要寻找相对距离和相对速度，从此出发，就可以很容易的确定我们需要的量。
【例7】小张和小王同时骑摩托车从A地向B地出发，小张的车速是每小时40公里，小王的车速是每小时48公里。小王到达B地后立即向回返，又骑了15分钟后与小张相遇。那么A地与B地之间的距离是多少公里？( ) A.144 B.136 C.132 D.128
【解析】在这个题目中，两个人的速度是不一样的，而且题目中给出“同时出发”“相遇”这样的字眼，所以时间一定是不变量。拿时间作为等量关系，则甲的路程是S+12，乙的路程是S-12，速度分别是48和40，那么用时间相等列式应该表示成：(S+12)/48=(S-12)/40,解得S=132。
【例8】甲、乙两人沿直线从A地步行至B地，丙从B地步行至A地。已知甲、乙、丙三人同时出发，甲和丙相遇后5分钟，乙与丙相遇。如果甲、乙、丙三人的速度分别为85米/分钟、75米/分钟、65米/分钟。问AB两地的距离为多少米？
A.8000 B.8500 C.10000 D.10500
【解析】方法一：整除特性。甲与丙速度和为85+65=150，乙与丙速度和为75+65=140,7的倍数，选D。 方法二：比例法。路程相同，速度和时间成反比。 速度比=150:140=15:14，时间比=14:15=70:75 AB=70×150=10500
【例9】运动场的跑道一圈长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑450米；乙练习跑步，平均每分钟跑250米，两人从同一处同时同向出发，经过多少时间两人首次相遇？
A.1分钟 B.2分钟 C.3分钟 D.4分钟 【解析】方法一：直接计算。
时间=路程差/速度差=400/(450-250)=2
方法二：比例法。时间相同，路程与速度成正比。 路程比=450:250=900:500,900/450=2
【例10】一艘汽船往返于两码头间，逆流需要10小时，顺流需要6小时。已知船在静水中的速度为12公里/小时。水流的速度是（ ）公里/小时。
A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】方法一：比例法。
路程相同，速度与时间成反比。时间比=10:6， 速度比=6:10。（10+6）/2=8对应船速12公里/小时， （10-6）/2=2对应水速3公里/小时。
方法二：路程相同，速度倒数代表时间。逆水速度、静水速度、顺水速度成等差数列，即逆水时间、静水时间、顺水时间的倒数成等差数列。则静水时间=2×6×10/(6+10)=7.5 路程=7.5×12=90，逆水速度=90/10=9,顺水速度=90/6=15, 水速=（15-9）/2=3
【例11】甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则AB两地相距多少千米？（ ）
A. 10 B. 12 C. 18 D. 15 【解析】这题是一个典型的多次相遇问题。多次相遇问题先借这个题讲一下一些基本的知识：
①两人从两端出发，从出发到第一次相遇，路程和为S；从第一次相遇到第二次相遇，路程和为2S；……；从第N次相遇到第(N+1)次相遇，路程和为2S。从出发开始算，路程和之比是1:3:5:7：……，路程和成等差数列，首项为S，公差为2S。
②如果两人从同一端出发，从出发到第一次相遇，路程和为2S，接下来，相邻两次相遇的时间内，路程和也是2S。从出发开始算，路程和之比就是1:2:3:……，路程和成等差数列，首项为2S，公差为2S。
因此对于这种题，我们只要考虑首项，考虑公差即可。 又因为两人速度不变，所以路程和之比=时间比。 对于单个人来说，速度也不变，所以，单个人的路程比=两个人的路程和之比=时间比。
具体的，对于这个题：抓住同一个人，路程之比为1:3即可。则6：（S+3）=1:3，S=15.
【提醒】多次相遇问题路程和之比、单个人路程比、时间比均成等差数列，所以我们碰到类似的题，只需要考虑首项与公差即可。
【例12】甲、乙两人同时从A、B两地出发相向而行，甲到达B地后立即往回走，回到A地后，又立即向B地走去；乙到达A地后立即往回走，回到B地后，又立即向A地走去。如此往复，行走的速度不变。若两人第二次迎面相遇，地点距A地500米，第四次迎面相遇地点距B地700米，则A、B两地的距离是（ ）。
A.1350米 B.1460米 C.1120米 D.1300米 【解析】方法一：路程成等差数列，则：第四次相遇时，甲与乙走的路程均是7的倍数，则3S+700或4S-700是7的倍数，则S是7的倍数，选项只有C。
方法二：（2S-500）：（3S+700）=3：7，S=1120
【例13】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5米，乙每分钟游52.5米，两人同时分别从泳池的两端
出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇了多少次？ A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】第一次迎面相遇需要30/(52.5+37.5)=1/3分钟=20秒。根据时间比是1:3:5，则可以迎面相遇3次。
第一次追击需要30/(52.5-37.5)=2分钟，所以追不上。选B。
关于调和平均数：
【例14】小陈骑车自A地往B地，先上坡后下坡，到达B地后立即返回A地，共用19分钟。已知小陈的上坡速度为350米／分钟，下坡速度为600米／分钟，则AB两地距离多少米。
A 4200 B 3600 C 4800 D 5400 练习一下：
A、B两山村之间的路不是上坡就是下坡，相距60千米。邮递员骑车从A村到B村，用了3.5小时；再沿原路返回，用了4.5小时。已知上坡时邮递员车速是12千米／小时，则下坡时邮递员的车速是（ ）。 A.10千米／小时 B.12千米／小时 C.14千米／小时 D.20千米／小时
思考题：甲乙双方第一次用30元/千克的价格购买一批材料， 到第二次购买时， 价格涨到了40元/千克，已知甲每
次购买10000千克， 乙每次用10000元购买， 则甲乙双方这两次交易的平均价格差约为（）元/千克？ A. 0.5 B .0.7 C.1.5 D.1.8
甲乙两人分别从A、D两地同时出发相向而行，当甲走到一半时，乙将速度提高一倍。结果两人在距离D地1200米处相遇，并且最后同时到达目的地，那么AD两地相距多少米 A.2400 B.2800 C.3200 D.3600
提示：显然，甲是路程和时间各半，而乙呢？平均速度可否表示出来？
例15和例16讲述行程问题中比例法的应用：
【例15】某工人的步行速度为每小时5公里，如果他先步行上班路程的1/10，然后乘上速度为每小时25公里的汽车，最后再步行1公里刚好到厂，那么他可以比完全步行上班早二小时到厂。问他的上班路程有多少公里？
A．15 B．16 C．14 D．12
【例16】甲，乙，丙三个机器人参加跑步比赛，当甲跑到终点时，乙离终点还有20千米，丙离终点还有40千米；当乙跑到终点时，丙离终点还有24千米。这次比赛要跑多少千米？
A.80 B.100 C.120 D.150
【解析】寻找题目中数量之间的关系，甲到终点，乙还有20
千米，乙到终点，意味着乙再跑20千米，这个时候丙还有24千米，那么，意味着，乙跑20千米，丙跑了16千米。于是丙和乙的速度比是20：16=5:4.那么，乙离终点还有20千米，丙离终点还有40千米，这个时候，丙乙的路程比也是5：4，差一份，对应的是40-20=20千米，于是此时，甲跑了100，丙跑了80，总距离是100+20=80+40=120
比例法小练习：
1、一辆汽车以每小时40千米的速度从甲城开往乙城，返回时它用原速度走了全程的3/4多5千米，再改用每小时30千米的速度走完余下的路程，因此，返回甲城的时间比前往乙城的时间多用了10分钟，甲、乙两城相距多远？ A.100 B.120 C.150 D.160
2、一辆车从甲地开往乙地，如果提速20%，可比原定时间提前1小时到达，如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。问甲乙两地相距多少千米： A.240 B.250 C.270 D.300
3、甲乙两辆汽车在一段周长为520千米环城公路上比赛。他们同时从同一点同向出发。甲的速度是81千米/每小时、乙的速度是每小时3千米。 每一次追上相遇，甲的速度就会下降1/4, 乙的速度就会增加1.25倍。当他们速度相等时。其两者路程之和是（）
A.2250 B.2700 C.5400 D.2750
4、ABC三辆车同时从甲地出发到乙地去。按原定速度，A车应比B车早到10分钟，在他们同时从甲地出发20分钟后，遇上下雨道路泥泞，A车速度下降1/4，B车速度不变,C车下降1/5，结果三车同时到底乙地。那么，C车原定行驶完全程要用多少时间？ A.51 B.52 C.54 D.55
【例16】某船第一次顺流航行21千米又逆流航行4千米，第二天在同一河道中顺流航行12千米，逆流航行7千米，结果两次所用的时间相等。假设船本身速度及水流速度保持不变，则顺水船速与逆水船速之比是（ ）。
A.2.5∶1 B.3∶1 C.3.5∶1 D.4∶1 【解析】时间上，顺流21+逆流4=顺流12+逆流7， 顺流9=逆流3，路程相同，速度与时间成反比，则顺水船速与逆水船速之比为3:1
【例18】甲乙两人各坐一游艇在湖中划行,甲摇桨10次时乙摇浆8次,而乙摇桨70次,所走的路程等于甲摇桨90次所走的路程,现甲先摇桨4次,则乙摇桨多少次才能追上?
A.14 B.16 C.112 D.124
【解析】甲：乙，频率比=10:8=5:4，桨宽比=70:90=7:9， 直接用比例当做数字进行计算。 甲先摇浆4次，路程=4×7=28
甲摇浆5次，乙摇浆4次的时间内，甲走5×7=35，乙走4×9=36，可以追距离36-35=1，即速度差为1 现在需要追28，需要（28/1）×4=112
【提醒】这题实际上是一个化单位的过程，单位时间内所走的路程即为速度。
【例19】甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7:00出发，匀速步行前往，甲因事耽搁，9:00才出发。为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是乙步行速度的2.5倍，但每跑半小时都需要休息半小时，那么甲什么时候才能追上乙?（ ）
A.10:20 B.12:10 C.14:30 D.16:10 【解析】甲：乙，速度比=5:2，
甲每小时走2.5，乙每小时走2，每小时可追上0.5 甲半小时走2.5，乙半小时走1，每半小时可追上1.5 现在路程差=2×2=4
4=0.5×5+1.5，所以，需要5.5小时。 9+5.5=14.5，选C。
【提醒】走走停停问题通常需要考虑周期性与临界状态来解决。
【例20】一个人从家到公司,当他走到路程一半的时候,速度下降10%,问他走完全程所用时间的前半段和后半段所走路程比?
A 10:9 B 9:10 C 11:9 D 21:19 【解析】此题完全符合调和平均数的特征，
设开始的速度为10m/s，后来的速度则为9m/s。再设路程的一半为90m。那么前半段用时9s，后半段用时10s。总共用时10+9=19s，一半时间是9.5s。前半段走过的路程10×9+9×0.5=94.5m，后半段的路程180-94.5=86.5m。路程比为94.5:86.5=21:19,故选D。注意，前半段速度快，所以前半段时间能走过全程的一半。
【例21】某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行速度为8千米/小时，汽车速度为40千米/小时，问使团体全部成员同时到达乙地需要（ ）时间？
A.5.5小时 B.5小时 C.4.5小时 D.4小时 【解析】如图：
一部分人乘车从A到C，然后再步行从C到D； 另一部分人先步行从A到B，然后再乘车从B到D。 步行速度：汽车速度=8:40=1:5，
时间相同，路程与速度成正比，则（AC+CB）:AB=5：1 则AB:BC=1：2，又因为两部分人速度相同，根据对称性（因
为整段路程由两种速度组成，而平均速度一致，所以，两个队伍步行和坐车的时间必须分别相等），他们走路路程应该相等，则AB:BC:CD=1:2:1.
则汽车路程为200千米，需要时间200/40=5小时。 注意：行程问题里画图有助于理解题目
【例22】甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使这两班学生在最短的时间内到达，那么，甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是：（ ）
A.15：11 B.17：22 C.19：24 D.21：27 【解析】方法一：由于甲班步行速度比乙班快，则甲班步行路程应该比乙班多，选项只有A满足，选A。 方法二：如下图。甲班步行速度：车速=4:48=1:12， 乙班步行速度：车速=3:48=1:16，
则AB:BC=1：5.5，BC:CD=7.5：1 则AB:CD=
课后练习
1、火车通过560米长的隧道用20秒，如果速度增加20%，
1×7.5=15:11 5.51通过1200米的隧道用30秒。火车的长度是多少米？（ ）
A.220 B.240 C.250 D.260 【解析】方法一：比例法。 路程比=（20×1）：（30×1.2）=5:9 （1200-560）/(9-5)×5-560=240
方法二：数字特性。（1200+L）/V=30，通常公考题中的速度V不会是分数，则L是3的倍数。
2、小王从家开车上班，汽车行驶10分钟后发生了故障，小王从后备箱中取出自行车继续路。由于自行车的速度只有汽车速度的3/5,小王比预计时间晚了20分钟到达单位，如果之前汽车再多行驶6公里，他就能少迟到10分钟。问小王从家到单位的距离是多少公里？（ ）
A.12 B.14 C.15 D.16 【参考答案】D
【解析】速度5:3，时间3:5=30:50=15:25 6/(30-15)×（30+10）=16
3、小张、小王二人同时从甲地出发，驾车匀速在甲乙两地之间往返行驶。小张的车速比小王快，两人出发后第一次和第二次相遇都在同一地点，那么小张的车速是小王的( )倍。 A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
【参考答案】B
【解析】如下图，起点可看成是第0次相遇，每相邻两次相遇之间路程为定制2S，则每相邻两次相遇，每个人走的路程也是定值。
第一次相遇，小王走A-B，第二次相遇，小张走B-A-B，则小张速度是小王的2倍。
4、汽车往返于A、B两地,去时速度为40千米/时,要想来回的平均速度为48千米/时,回来时速度为多少千米/小时？（ ）
A.56 B.60 C.72 D.96 【参考答案】B
【解析】时间成等差数列，回来时速度为40×48/32=60 或者根据调和平均，有2*40x/（40+x）=48。
5、某人沿电车线路匀速行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来．假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔（ ）
A.2分钟 B.4分钟 C.6分钟 D.8分钟
【参考答案】C
【解析】此类问题，抓住一个点：发车的间隔时间和间隔距离是恒定不变的。根据比例法：（v车+v人）：（v车-v人）=3：1，那么v车=2v人，而发车间隔距离除以（v车+v人）=4，得到发车间隔距离为6v车，那么发车间隔时间就是6。
6、一辆客车与一辆货车从东、西两个车站同时出发匀速相向而行，客车和货车的行驶速度之比为4:3。两车相遇后，客车的行驶速度减少10%，货车的行驶速度增加20%，当客车到达西车站时，货车距离东车站还有17公里。东、西两个车站的距离是（ ）公里。 A. 59.5 B. 77 C. 119 D. 154
7、Ａ和Ｂ两个码头分别位于一条河的上下游，甲船从Ａ码头到Ｂ码头需要4天，从Ｂ码头返回Ａ码头需要6天，乙船在静水中的速度是甲船的一半。问：乙船从Ｂ码头到Ａ码头需要（ ）天。
A.6 B.7 C.12 D.16 【参考答案】D
【解析】方法一：甲船船速：水速=（6+4）：（6-4）=10:2，甲船逆水合速度为10－2=8，则乙船静水船速为5，乙船逆水合速度为5－2=3。乙船从B码头到A码头需要时间8×6÷3=16。
方法二：乙船静水速度是甲船静水速度的一半，则乙船逆水
合速度小于甲船逆水合速度的一半，而甲船从B码头到A码头需要时间6天（逆水），则乙船需要时间大于6×2=12天。
8、某大河依次流经Ｐ、Ｑ两港口，甲、乙两船分别从Ｐ、Ｑ两港口同时出发并于Ｐ、Ｑ两港口的中点第一次相遇，两船继续航行，同时到达Ｑ、Ｐ两港后两船立即返航，在第一次相遇后1个小时两船再次相遇，此时甲船比乙船少航行15千米，则水流速度为（ ）千米／小时。
A.30 B.15 C.10 D.7.5
9、在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（ ）？ A.24分钟 B.26分钟 C.28分钟 D.30分钟
10、一个游泳者逆流游泳，在A桥遗失一只空水壶，水壶浮在水面，随水漂流.游泳者继续逆游了1小时到达D桥，发觉水壶遗失，休息了12分钟再游回去找寻水壶，又游了1.05小时后，在B桥找到了水壶.求A，D两桥的距离是A，B两桥距离的几倍.
A.1.5倍 B 4/3倍 C 2倍 D 2.5倍
11、地铁检修车沿地铁线路匀速前进，每6分钟有一列地铁从后面追上，每2分钟有一列地铁迎面开来。假设两个方向的发车间隔和列车速度相同，则发车间隔是（ ）。 A．2分钟 B．3分钟 C．4分钟 D．5分钟
12、为了保持赛道清洁，每隔10分钟会有一辆清扫车从起点出发，匀速清扫赛道，甲、乙两名车手分别驾驶电动车和自行车考察赛道，甲每隔5分钟追上一辆清扫车，每隔20分钟有一辆清扫车追上乙，问甲的速度是乙的多少倍？ A.3 B.4 C.5 D.6
13、甲、乙两辆车从A地驶往90公里外的B地。两车的速度比为5:6，甲车于上午10点半出发，乙车于10点40分出发，最终乙车比甲车早2分钟到达乙地，问两车的时速相差多少千米/小时？
A. 10 B. 12 C. 12.5 D. 15
14、马路上有一辆车身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18千米，马路一旁的人行道上有甲乙两名年轻人在晨跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，
汽车追上甲，6秒钟后汽车离开了甲；接着过了半分钟，汽车遇到迎面跑来的乙；又过了2秒钟，汽车离开了乙．求再过多少秒甲乙两人相遇？ A.32 B.16 C.40 D.30
15、环形跑道长400米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发、围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车、已知三人速度分别是1米/秒、3米/秒和6米/秒，问小王第三次超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
16、在一个圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，8分钟后两人相遇，再过6分钟甲到B点，又过10分钟两人再次相遇，则甲环行一周需要（ ）？ A.24分钟 B.26分钟 C.28分钟 D.30分钟
18、某轮船计划用15小时从A地到B地，行驶5小时后，由于天气变好，速度加快了25%，可提前几小时到达？（ ） A.4 B.3 C.2 D.1
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