河北省衡水市衡水中学万有引力与宇宙达标检测(Word版 含解析)

一、第七章 万有引力与宇宙航行易错题培优（难）

1．2020年5月24日，中国航天科技集团发文表示，我国正按计划推进火星探测工程，瞄准今年7月将火星探测器发射升空。假设探测器贴近火星地面做匀速圆周运动时，绕行周期为T，已知火星半径为R，万有引力常量为G，由此可以估算（ ）

A．火星质量 B．探测器质量

C．火星第一宇宙速度 D．火星平均密度

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查万有引力与航天，根据万有引力提供向心力进行分析。

【详解】

A．由万有引力提供向心力

Mm42G2m2RRT

可求出火星的质量

42R3MGT2

故A正确；

B．只能求出中心天体的质量，不能求出探测器的质量，故B错误；

C．由万有引力提供向心力，贴着火星表面运行的环绕速度即火星的第一宇宙速度，即有

Mmv2G2mRR

求得

vGM2RRT

故C正确；

D．火星的平均密度为

42R32M3GT43GT2VR3

故D正确。

故选ACD。

2．宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因万有引力的作用吸引到一起．设两者的质量分别为m1和m2且

m1m2则下列说法正确的是( )

A．两天体做圆周运动的周期相等

B．两天体做圆周运动的向心加速度大小相等

C． m1的轨道半径大于m2的轨道半径

D． m2的轨道半径大于m1的轨道半径

【答案】AD

【解析】

【分析】

【详解】

A．双星围绕两者连线上的某一点做匀速圆周运动，故两者周期相同，所以A正确；

B．双星间万有引力提供各自圆周运动的向心力有

m1a1=m2a2

因为两星质量不等，故其向心加速度不等，所以B错误；

CD．双星圆周运动的周期相同故角速度相同，即有

m1r1ω2＝m2r2ω2

所以m1r1=m2r2，又因为m1＞m2，所以r1＜r2，所以C错误，D正确。

故选AD。

3．三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，则下列说法正确的是（ ）

A．C加速可追上同一轨道上的A

T1T2B．经过时间2(T1T2)，A、B

相距最远

C．A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度

D．在相同时间内，A与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积

【答案】BCD

【解析】

【分析】

【详解】

A．卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的A点，故A错误；

B．卫星A、B由相距最近到相距最远，圆周运动转过的角度差为π，所以可得

BtAt

其中

22ATA TB，

B则经历的时间

TT122(T1T2)

t

故B正确；

C．根据万有引力提供向心力，可得向心加速度

GMr2

a可知AC的向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，故C正确；

D．绕地球运动的卫星与地心的连线在相同时间t内扫过的面积

1Svtr2

由万有引力提供向心力，可知

GMmv2mr2r

解得

1tSvtrGMr22 可知，在相同时间内，A与地心连线扫过的面积大于B与地心连线扫过的面积，故D正确。

故选BCD。

4．同步卫星的发射方法是变轨发射，即先把卫星发射到离地面高度为几百千米的近地圆形轨道Ⅲ上，如图所示，当卫星运动到圆形轨道Ⅲ上的B点时，末级火箭点火工作，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ，轨道Ⅱ的远地点恰好在地球赤道上空约36000km处，当卫星到达远地点A时，再次开动发动机加速，使之进入同步轨道Ⅰ。关于同步卫星及发射过程，下列说法正确的是（ ）

A．在B点火箭点火和A点开动发动机的目的都是使卫星加速，因此卫星在轨道Ⅰ上运行的线速度大于在轨道Ⅲ上运行的线速度

B．卫星在轨道Ⅱ上由A点向B点运行的过程中，速率不断增大

C．所有地球同步卫星的运行轨道都相同

D．同步卫星在圆形轨道运行时，卫星内的某一物体处于超重状态

【答案】BC

【解析】

【分析】

【详解】

A．根据变轨的原理知，在B点火箭点火和A点开动发动机的目的都是使卫星加速；

当卫星做圆周运动时有

Mmv2G2mrr

解得

vGMr 可知卫星在轨道I上运行的线速度小于在轨道Ⅲ上运行的线速度，故A错误；

B．卫星在轨道Ⅱ上由A点向B点运行的过程中，万有引力做正功，动能增大，则速率不断增大，故B正确；

C．所有的地球同步卫星的静止轨道都在赤道平面上，高度一定，所以运行轨道都相同，故C正确；

D．同步卫星在圆形轨道运行时，卫星内的某一物体受到的万有引力完全提供向心力，物体处于失重状态，故D错误。

故选BC。

5．如图所示，宇航员完成了对月球表面的科学考察任务后，乘坐返回舱返回围绕月球做圆周运动的轨道舱。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱与人的总质量为m，月球质量为M，月球的半径为R，月球表面的重力加速度为

g，轨道舱到月球中心的距离为r，不计月球自转的影响。卫星绕月过程中具有的机械能

由引力势能和动能组成。已知当它们相距无穷远时引力势能为零，它们距离为r时，引力势能为

EpGMmr，则（ ）

A．返回舱返回时，在月球表面的最大发射速度为vgR RWmgR(1)r B．返回舱在返回过程中克服引力做的功是

mgR2Ek2r C．返回舱与轨道舱对接时应具有的动能为

REmgR(1)r能量才能返回轨道舱 D．宇航员乘坐的返回舱至少需要获得

【答案】BC

【解析】

【分析】

【详解】

A．返回舱在月球表面飞行时，重力充当向心力

v2mg＝mR

解得

vgR 已知轨道舱离月球表面具有一定的高度，故返回舱要想返回轨道舱，在月球表面的发射速度一定大于gR，故A错误；

GMmR，在轨道舱位置具有的引力势能B．返回舱在月球表面时，具有的引力势能为

GMmr，根据功能关系可知，引力做功引起引力势能的变化，结合黄金代换式可知 为GMm0m0g2R

GM=gR2

返回舱在返回过程中克服引力做的功是

RWmgR(1)r

故B正确；

C．返回舱与轨道舱对接时，具有相同的速度，根据万有引力提供向心力可知

GMmv2＝ mr2r

解得动能

12GMmmgR2Ek＝mv22r2r

故C正确；

D．返回舱返回轨道舱，根据功能关系可知，发动机做功，增加了引力势能和动能

RmgR2mgR2mgR(1)mgRr2r2r

mgR2mgR2r的能量才能返回轨道舱，故D错误。 即宇航员乘坐的返回舱至少需要获得

故选BC。

6．有a，b，c，d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上做圆周运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，

各卫星排列位置如图所示，则有( )

A．a的向心加速度等于重力加速度g B．b在相同时间内转过的弧长最长

内转过的圆心角是3

C．c在4hD．d的运动周期可能是30 h

【答案】BCD

【解析】

【分析】

【详解】

A、a受到万有引力和地面支持力，由于支持力等于重力，与万有引力大小接近，所以向心加速度远小于重力加速度，选项A错误；

B、由

vGMr 知b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，选项B正

确；

423，选项C正C、c为同步卫星，周期Tc＝24 h，在4 h内转过的圆心角＝24r3T2GM 知d的周期最大，所以Td>Tc＝24 h，则d的周期可能是30 h，确；D、由

选项D正确．

故选BCD

7．如图所示，曲线Ⅰ是一颗绕地球做圆周运动卫星轨道的示意图，其半径为R；曲线Ⅱ是一颗绕地球椭圆运动卫星轨道的示意图，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，万有引力常量为

G，地球质量为M，下列说法正确的是

A．椭圆轨道的半长轴长度为R B．卫星在Ⅰ轨道的速率为v0，卫星在Ⅱ轨道B点的速率为vB， 则v0＞vB

C．卫星在Ⅰ轨道的加速度大小为a0，卫星在Ⅱ轨道A点加速度大小为aA，则a0＜

aA

2GMD．若OA=0.5R，则卫星在B点的速率vB＞3R 【答案】ABC

【解析】

【分析】

【详解】

T2 3＝k由开普勒第三定律可得：a，圆轨道可看成长半轴、短半轴都为R的椭圆，故

a=R，即椭圆轨道的长轴长度为2R，故A正确；根据万有引力做向心力可得：

GMGMmmv2 ＝ r，那么，轨道半径越大，线速度越小；设卫星以OB为半径做r2r，故v＝

圆周运动的速度为v'，那么，v'＜v0；又有卫星Ⅱ在B点做向心运动，故万有引力大于向心力，所以，vB＜v'＜v0，故B正确；卫星运动过程只受万有引力作用，故有：

GMmGM＝ maa 22rr；又有OA＜R，所以，a0＜aA，故C正确；若，所以加速度

2GM2GM OA=0.5R，则OB=1.5R，那么，v′＝3R，所以，vB＜3R，故D错误；

点睛：万有引力的应用问题一般由重力加速度求得中心天体质量，或由中心天体质量、轨道半径、线速度、角速度、周期中两个已知量，根据万有引力做向心力求得其他物理量．

8．中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号”通信卫星，该卫星运行的轨道示意图如图所示，卫星先沿椭圆轨道1运行，近地点为Q，远地点为P。当卫星经过P点时点火加速，使卫星由椭圆轨道1转移到地球同步轨道2上运行，下列说法正确的是（ ）

A．卫星在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等

B．卫星在轨道1上运行经过P点的速度大于经过Q点的速度

C．卫星在轨道2上时处于超重状态

D．卫星在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

A．卫星在轨道1上运行经过P点需点火加速进入轨道2，所以卫星在轨道2上的机

械能大于轨道1上运动时的机械能，A错误；

B．P点是远地点，Q点是近地点，根据开普勒第二定律可知卫星在轨道1上运行经过P点的速度小于经过Q点的速度，B错误；

C．卫星在轨道2上时处于失重状态，C错误；

D．根据牛顿第二定律和万有引力定律得

Mmma2r

G所以卫星在轨道2上经过P点的加速度等于在轨道1上经过P点的加速度，D正确。

故选D。

9．a是地球赤道上一栋建筑，b是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.610m

6的卫星，c是地球同步卫星，某一时刻b、c刚好位于a的正上方（如图甲所示），经48h，a、b、c的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.410m，地球表面重力加速度

62g=10m/s，=10）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

因为c是地球同步卫星，所以应一直在a的上方，A错误；对b有：

，b的周期为

24h后b转4.3圈，处于D图位置，选项D正确．

，经

10．2020年1月7号，通信技术试验卫星五号发射升空，卫星发射时一般需要先到圆轨道1，然后通过变轨进入圆轨道2。假设卫星在两圆轨道上速率之比v1∶v2=5∶3，卫星质量不变，则（ ）

A．卫星通过椭圆轨道进入轨道2时应减速

B．卫星在两圆轨道运行时的角速度大小之比1：2=125∶27

C．卫星在1轨道运行时和地球之间的万有引力不变

D．卫星在两圆轨道运行时的动能之比Ek1∶Ek2=9∶25

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

A．卫星通过椭圆轨道进入轨道2，需要做离心运动，所以应加速才能进入2轨道，选项A错误；

B．根据万有引力提供向心力有

GMmv2m2rr

解得

vGMr 因为v1:v2=5:3，则

r1:r2=9∶25

根据万有引力提供向心力有

GMm2mrr2

解得

=GMr3 可得卫星在两轨道运行时的角速度大小之比

ω1:ω2=125:27

选项B正确；

C．万有引力大小不变，但方向一直变化，选项C错误；

12mv2，则卫星在两轨道运行时的动能之比

D．根据

Ek

Ek1∶Ek2=25:9

选项D错误；

故选B。

11．卫星围绕某行星做匀速圆周运动的轨道半径的三次方（r3）与周期的平方（T2）之间的关系如图所示。若该行星的半径R0和卫星在该行星表面运行的周期T0已知，引力常量为G，则下列物理量中不能求出的是（ ）

A．该卫星的线速度

B．该卫星的动能

C．该行星的平均密度 D．该行星表面的重力加速度

【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

A．卫星在该行星表面运行，则卫星的线速度

2R0T0

v＝选项A可求，不符合题意

B．卫星的动能

12mv2

Ek因不知卫星的质量，故无法求得，选项B符合题意；

C．在星球表面，根据万有引力提供向心力得

Mm42G2＝mR02R0T0

解得

42R03M=GT02

则行星的密度

MM3=V4R3GT0203

=

选项C可求，不符合题意。

D．在星球表面，根据万有引力与重力近似相等得

Mm＝mg2R0

G解得

M42R0g=G2R0T02

选项D可求，不符合题意。

故选B。

12．．图是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测．下列说法正确的是

A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度

B．在绕月圆轨道上，卫星的周期与卫星质量有关

C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比

D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

第三宇宙速度是卫星脱离太阳系的最小发射速度，所以“嫦娥一号”卫星的发射速度一定小于第三宇宙速度，A项错误；设卫星轨道半径为r，由万有引力定律知卫星受到引

4242MmMm222力F＝Gr，C项正确．设卫星的周期为T，由Gr＝mTr得T2＝GMr3，所以卫

星的周期与月球质量有关，与卫星质量无关，B项错误．卫星在绕月轨道上运行时，由于离地球很远，受到地球引力很小，卫星做圆周运动的向心力主要是月球引力提供，D项错误．

13．宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统，设某双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，转动周期为T，轨道半径分别为RA、RB且RAA．星球A所受的向心力大于星球B所受的向心力

B．星球A的线速度一定等于星球B的线速度

42RARBC．星球A和星球B的质量之和为

GT2

D．双星的总质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

A．双星靠相互间的万有引力提供圆周运动的向心力，所以两个星球的向心力大小相等，选项A错误；

B．双星的角速度相等，根据vr知，两星球半径不同，则线速度不相等，选项B错误；

C．对于星球A，有

mAmB＝mARA22L

G对于星球B，有

mAmB2＝mRBBL2

G又

=2T

LRARB

联立解得

42RARB42L3mAmBGT2GT2

3选项C错误；

42L3mAmBGT2，双星之间的距离增大，总质量不变，则转动的周期变大，选D．根据

项D正确。

故选D。

14．北京时间2019年4月10日，人类首次利用虚拟射电望远镜，在紧邻巨椭圆星系M87的中心成功捕获世界首张黑洞图像。科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速度，为第一宇宙速度的2倍）超过光速时，该天体就是黑洞。已知某天体质量为

M，万有引力常量为G，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（ ）

2c2B．GM

2GM2A．c 2GM2C．c GM2D．c

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】

地球的第一宇宙速度为v1，根据万有引力提供向心力，有

v12MmG2mRR

解得

GMv12R

由题得第二宇宙速度

v22v1

又由题星体成为黑洞的条件为v2c，即

2GM>cR

解得

2GMc2

R选项A正确，BCD错误。

故选A。

15．牛顿发现了万有引力定律以后，还设想了发射人造卫星的情景，若要发射人造卫星并将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近（ ）

A．地球的引力较大

B．地球自转角速度较大

C．重力加速度较大

D．地球自转线速度较大

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

A．由万有引力定律可知物体在地球表面各点所受的引力大小相等，故A错误；

B．在地球上各点具有相同的角速度，故B错误；

C．赤道处重力加速度最小．故C错误；

D．相对于地心的发射速度等于相对于地面的发射速度加上地球自转的线速度．地球自转的线速度越大，相对于地心的发射速度越大，卫星越容易发射出去．赤道处，半径最大，所以自转线速度最大．故D正确．

故选D。