关于复合函数的单调性问题

关于复合函数的单调性问题

函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .为了帮助学生对复合函数的单调性进一步有一个全面的认识，本文结合几道例题，对复合函数的单调区间的求法及单调性的应用加以归纳总结，供学生在学习中参考.

一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：

例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )

(A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞)

解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，

∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，

∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，

令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a·0>0g(1)=2-a·1>0 ，解得a0知函数的定义域为x＜1或x＞3

因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数，

在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，

函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。

例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，

u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，

∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：

例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )

(A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2]

解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增，

在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数，

根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得

2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) .

例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

解：显然函数定义域为(0，+∞)。

令 u=log2x，y=u2+u

∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，

y=u2+u在(-∞， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数(注意(-∞， ]及

[ ，+∞)是u的取值范围)

因为u≤log2x≤ ，0＜x≤ ，(u≥ log2x≥ x≥ )

所以y=(log2x)2+log2x在(0， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数。

四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：

例6已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ()

(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；

(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.

解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则

(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈(-∞，1]上是增函数，与u=2-x2具有相同的增减性，

由2-x2≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈(-∞，-1]上是增函数，

u在x∈[1,+∞)上是减函数，

∴g(x)在区间(-∞，-1]上是增函数, 在区间[1，+∞)上是减函数.

(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈[1,+∞)上是减函数，与u=2-x2具有相反的增减性，

由2-x2≥1得 -1≤x≤1，而u=2-x2在x∈ [-1,0] 上是增函数，

在x∈(0， 1]上是减函数，

∴g(x) =-(u-1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1]上是增函数.

故选(A)