矩阵幂级数

§4.矩阵的幂级数

在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。

一、矩阵级数

中的一方阵序列，A0,A1,Am,

1.Df1.：若给定Cnn则和式A0A1A2Am(1)

称为方阵级数，记为

m0Am。其中为通项，m—求和变量。

SNA0A1ANAmm0N称为（1）的前N项部分和序列（矩阵序列）

若{SN}S，则称（1）收敛，且其和为S

说明：若记

(Am)ij表示的第i行第j列位置上的元素，根据定义1

显然有，m0Am收敛n个数项级数m02(Amij)(i,j1,2,,n)收敛。

Df2.若个数项级数

m0(Amij)绝对收敛，则称

m0Am绝对收敛。

2.收敛方阵级数的性质：

①若方阵级数且和不变。

m0Am绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各项的次序，所得新级数仍收敛

②方阵级数m0Am收敛对任一方阵范数，正项级数m0Am收敛。

下面研究矩阵（方阵）幂级数

二、矩阵幂级数

Df1.设AC幂级数m0矩阵。

nn，称m0cmAm为矩阵A的幂级数，其中{cm}为一复数序列，称

limSNSSNcmAmm0N为

cmAm的部分和，若N，称m0cmAm收敛于S，并称S为幂级数m0cmAm的和

注：若令

cmAmAm，则矩阵幂级数矩阵级数的形式。因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级数

的形式是适用的。即：

Th1.矩阵幂级数m0cmAm收敛于

Sm0(cmAm)ij(S)ij(i,j1,2,n)

其中，

(cmAm)ij(S)ij,分别表示

cmAm和的第i行，第j列元素。

Th2.矩阵幂级数m0cmAm绝对收敛对任一范数，正向级数级数m0cmAm收敛。

Proof:若m0cmAm收敛，考虑m0cmAm1的敛散性，

由矩阵范数的等价性，与1等价，即k1,k2

使

k1cmAmcmAm1k2cmAm（由比较审敛法）

m0cmAm1收敛。

又

(cmA)ijcmAmm1ˆmax(cmAm)ijji1n

m0(cmA)ijm收敛，因此，m0cmAm绝对收敛。

若m0cmAm绝对收敛

m0(cmA)ijm收敛

((cmA)ij)mm0i1j1nn收敛，即m0cmAm4收敛。

由矩阵范数的等价性对任一矩阵范数，k1,k2使收敛。

k1cmAm4cmAmk2cmAm4，有m0cmAm推论1.若m0cmAm绝对收敛（收敛），则m0P(cmAm)Q绝对收敛（收敛）

其中P,Q为给定的n阶方阵，且有

m0P(cmA)QPcmAmQmm0

Proof：m0cmAm绝对收敛m0cmAm绝对收敛。

又

P(cmAm)QPcmAmQ

由比较审敛法，m0P(cmAm)Q绝对收敛。

下面给出判断矩阵幂级数收敛与发散的方法：

Th3.设复变数幂级数

m0cmZmnn(A),AC的收敛半径为R，A的谱半径为，则：

①当(A)R时，m0cmAm绝对收敛。

②当(A)R时，m0cmAm发散。

12Proof：①若(A)R，0,st.(A)R（如取

(R(A))）

m0cm((A))m收敛

mms.t(A)AcmAcm((A))存在矩阵,

②若(A)R，设

Axjx，其中x为单位向量，

j(A)

若m0cmAm收敛，则由推论1.知：

Hx(cmA)xxcmAxxcmxcmmjxxHmHmHmjm0m0m0m0

cmmjm0(xHxx1)2

也收敛，但m0cmmj在收敛域之外而发散，矛盾，

故，m0cmAm发散。

应该注意：(A)R时，无法确定。

推论2.若m0m0cmZm的收敛半径R，则对ACnn，m0cmAm绝对收敛，即复变数幂级数

cmZm在整个复平面上收敛。

ZmAmeAnneg1.m0m!的收敛半径R，对AC,有(A)R，故m0m!且绝对收敛。



0.20.30.1A0.10.150.3Am0.20.240.2，试证明m0eg2.设绝对收敛。

Proof：

m0Xm的收敛半径R1。

则只要证(A)1即可。

对任意的矩阵范数，都相互等价，不妨取

5，有：

(A)A5nmaxaij0.911i,jn

由Th3，

m0Am绝对收敛。

eg3.若ACnn，(A)1证明：m0Am(EA)1

2NN1(EA)(EAAA)EAProof:

即

(EA)AmEAN1m0N

两边取极限

左边＝

Nlim(EA)A(EA)Ammm0m0N

右边＝

ElimAN1EN

N1limA0（由上节Th5. (A)1,N）

所以有

(EA)AEmm0N，即m0Am(EA)1

10.20.3A020.3003 eg4.设

①试判断m0m1Am的敛散性

(1)mmA②试证明：m0m!绝对收敛。

解：①(A)3,设m0m1Zm的收敛半径为R。

Rlimm1m2m1可见(A)R，故m0m1Am发散。

(1)mmZ②m0m!的收敛半径R

(1)mmA(A)R故m0m!绝对收敛。



说明：象幂级数一样，有时还会遇到如m0列定理判别。

cm(A0E)m的幂级数，对于它的敛散性，可用下

Th4.若m0cm(Z0E)m的收敛半径为R，对ACnn，其特征值为1,2,,n，若满足

i0R(i1,2,,n)。

则mcm(A0E)m0绝对收敛；若有某一使

i0Rcm(A0E)mm0发散。

，则