2019-2020学年浙江省台州市椒江区人教版九年级(上)期末数学试卷 解析版

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1．（4分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C．

D．

2．（4分）已知反比例函数y ，下列结论不正确的是（ ） A．图象经过点（﹣2，1） B．图象在第二、四象限

C．当x＜0时，y随着x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞2

3．（4分）下列说法中错误的是（ ） A．概率很小的事件不可能发生 B．不可能事件发生的概率为0

C．随机事件发生的概率大于0且小于1 D．必然事件发生的概率为1

4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（ ）

A．（1，0）

B．（﹣1，2）

C．（0，0）

D．（﹣1，1）

5．（4分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支

干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（ ） A．1+x+x＝111

2

B．x+x＝111

2

C．2x+1＝111 D．2x＝111

6．（4分）如图，A、B两点在双曲线y 上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（ ）

A．4

B．4.2

C．4.6

D．5

7．（4分）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：

移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（m/n） 移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（m/n） 50 270 400 750 下面有四个推断：

①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.0； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；

③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵． 其中合理的是（ ） A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

47 235 369 662 0.940 0.870 0.923 0.883 1500 3500 7000 14000 1335 3203 6335 12628 0.0 0.915 0.905 0.902 8．（4分）点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠BIC＝145°，则∠BOC的度数为（ ） A．110°

B．125°

2

C．130° D．140°

9．（4分）二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c

＝2；③a＞ ；④b＞1，其中正确的结论个数是（ ）

A．1个

B．2 个

C．3 个

D．4 个

的中点，点D是优弧 上一点，10．（4分）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧 且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3 cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ）

A．①③

B．①②③④

C．②③④

D．①③④

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．（5分）边长为4的正六边形内接于⊙M，则⊙M的半径是 ．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A（﹣2，3）关于点O中心对称，则点B的坐标为 ．

13．（5分）圆锥的底面半径是40cm，母线长90cm，它的侧面展开图的圆心角是 °． 14．（5分）将抛物线y＝2x﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 ． 15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是 ．

2

16．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、

BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．若DE ，DF＝2，则∠EDF＝ °，线段AB的长度＝ ．

三、解答题（本题有题，第17～20题各8分，第21题各10分，第22、23题各12分，第24题14分，共80分）

17．（8分）已知m是方程x﹣3x＝0的一个根，求（m﹣3）+（m+2）（m﹣2）的值． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）．

（1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标；

（2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）．

2

2

19．（8分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ． （2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．

（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 20．（8分）关于x的一元二次方程x+2（m﹣1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

2

2

（1）求实数m的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得x1x2＝0成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．

21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y （k≠0）的图象交于点A（﹣2，a）和点B．

（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）直接写出不等式＜ x+2的解集．

22．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE＝CF， （1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，求AC的长．

23．（12分）农华公司以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 日销售量p（千克） 10 300 15 225 20 150 25 75 30 0 （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；

（2）农华公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润W元最大？ （3）若农华公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25时，农经公司的日获利Q元的最大值为1215元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）

24．（14分）（1）尺规作图1：

已知：如图，线段AB和直线且点B在直线上

求作：点C，使点C在直线上并且使△ABC为等腰三角形．

作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点

C．

（2）特例思考：

如图一，当∠1＝90°时，符合（1）中条件的点C有 个；如图二，当∠1＝60°时，符合（1）中条件的点C有 个． （3）拓展应用：

如图，∠AOB＝45°，点M，N在射线OA上，OM＝x，ON＝x+2，点P是射线OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P有且只有三个，求x的值．

2018-2019学年浙江省台州市椒江区九年级（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）

1．（4分）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据中心对称图形的概念判断． 【解答】解：A、不是中心对称图形； B、是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形． 故选：B．

【点评】本题考查的是中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（4分）已知反比例函数y

，下列结论不正确的是（ ） A．图象经过点（﹣2，1） B．图象在第二、四象限

C．当x＜0时，y随着x的增大而增大 D．当x＞﹣1时，y＞2

【分析】把（﹣2，1）代入解析式看左边是否等于右边即可；根据反比例函数的选择性当﹣2＜0，图象在第二、四象限；当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大；只有在第三象限时，当x＞﹣1时，y＞2．

【解答】解：A、把（﹣2，1）代入解析式得：左边＝右边，故本选项正确，不符合题意；

B、因为﹣2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； C、当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； D、在第三象限时，当x＞﹣1时，y＞2，故本选项错误，符合题意． 故选：D．

【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能灵活运用反比例函数的性质进行判断是解此题的关键． 3．（4分）下列说法中错误的是（ ） A．概率很小的事件不可能发生 B．不可能事件发生的概率为0

C．随机事件发生的概率大于0且小于1 D．必然事件发生的概率为1

【分析】根据概率的意义，可得答案．

【解答】解：A．概率很小的事件发生可能性小，但依然可能发生，此选项错误； B．不可能事件发生的概率为0，此选项正确；

C．随机事件发生的概率大于0且小于1，此选项正确； D．必然事件发生的概率为1，此选项正确； 故选：A．

【点评】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．

4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心是（ ）

A．（1，0）

B．（﹣1，2）

C．（0，0）

D．（﹣1，1）

【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．

【解答】解：作线段AB，线段CD，作线段AB的垂直平分线MN，线段CD的垂直平分线EF，直线MN交直线EF于点K，点K即为旋转中心．

观察图象可知旋转中心K（﹣1，2）， 故选：B．

【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．

5．（4分）某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（ ） A．1+x+x＝111

2

B．x+x＝111

2

C．2x+1＝111 D．2x＝111

2

【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x＝111，整理即可．

【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：x+x+1＝111， 故选：A．

【点评】考查了一元二次方程的应用，本题设长为x个支干，把小分枝用x表示是关键． 6．（4分）如图，A、B两点在双曲线y 上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（ ）

2

2

A．4

B．4.2

C．4.6

D．5

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，根据S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，可求S1+S2的值． 【解答】解：如图，

∵A、B两点在双曲线y 上， ∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4， ∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影， ∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6 故选：C．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握在反比例函数y 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 7．（4分）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：

移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（m/n） 移植棵数（n） 成活数（m） 成活率（m/n） 50 270 400 750 下面有四个推断：

①当移植的树数是1500时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是0.0； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900；

③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵． 其中合理的是（ ） A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

47 235 369 662 0.940 0.870 0.923 0.883 1500 3500 7000 14000 1335 3203 6335 12628 0.0 0.915 0.905 0.902

【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定

性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可．

【解答】解：①当移植的树数是1 500时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是0.0，故错误；

②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确；

③若小张移植10 000棵这种树苗，则可能成活9 000棵，故正确； ④若小张移植20 000棵这种树苗，则不一定成活18 000棵，故错误． 故选：C．

【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

8．（4分）点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，若∠BIC＝145°，则∠BOC的度数为（ ） A．110°

B．125°

C．130°

D．140°

【分析】因为点I为△ABC的内心，推出∠IAB+∠IBA （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣145°＝35°，推出∠ABC+∠ACB＝70°，推出∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝110°，作△ABC的外接圆如图，在⊙O上取一点D，连接BD、CD．因为∠D＝180°﹣∠A＝70°，根据∠BOC＝2∠D即可解决问题． 【解答】解：∵点I为△ABC的内心，

∴∠IAB+∠IBA （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣145°＝35°， ∴∠ABC+∠ACB＝70°，

∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝110°

∵点O为△ABC的外心，作△ABC的外接圆如图，在⊙O上取一点D，连接BD、CD． ∴∠D＝180°﹣∠A＝70°， ∴∠BOC＝2∠D＝140°． 故选：D．

【点评】本题主要考查了三角形的内心与外心，正确得出∠A的度数是解题关键． 9．（4分）二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a＞ ；④b＞1，其中正确的结论个数是（ ）

2

A．1个

B．2 个

C．3 个

D．4 个

【分析】根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【解答】解：由图象可得， a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0，故①错误，

当x＝1时，y＝a+b+c＝2，故②正确， 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， 由a+b+c＝2得，a+c＝2﹣b，

则a﹣b+c＝（a+c）﹣b＝2﹣b﹣b＜0，得b＞1，故④正确， ∵ ＞ ，a＞0，得a＞ ＞ ，故③正确， 故选：C．

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．

的中点，点D是优弧 上一点，10．（4分）如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧 且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝3 cm；③扇形OCAB的面积为12π；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（ ）

A．①③

B．①②③④

C．②③④

D．①③④

【分析】利用垂径定理可对①进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠D＝60°，则△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC＝6 cm，则可对②进行判断；通过判断△AOB为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对③进行判断；利用AB＝AC＝OA＝OC＝OB可对④进行判断． 的中点， 【解答】解：∵点A是劣弧 ∴OA⊥BC，所以①正确；

∵∠AOC＝2∠D＝60°，OA＝OC， ∴△OAC为等边三角形，

∴BC＝2×6 6 ，所以②错误； 同理可得△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴扇形OCAB的面积为

12π，所以③正确；

∵AB＝AC＝OA＝OC＝OB，

∴四边形ABOC是菱形，所以④正确． 故选：D．

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．（5分）边长为4的正六边形内接于⊙M，则⊙M的半径是 4 ．

【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．

【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°， 那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形， ∴边长为4的正六边形外接圆半径是4． 故答案为4．

【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若点B与点A（﹣2，3）关于点O中心对称，则点B的坐标为 （2，﹣3） ．

【分析】直接利用关于原点对称点的特点得出答案．

【解答】解：∵点A（﹣2，3）与点A关于原点O中心对称， ∴点B的坐标为：（2，﹣3）． 故答案为：（2，﹣3）．

【点评】此题主要考查了中心对称，关键是掌握 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．

13．（5分）圆锥的底面半径是40cm，母线长90cm，它的侧面展开图的圆心角是 160 °． 【分析】先求出圆锥的底面圆的周长，再根据弧长公式求出n即可． 【解答】解：圆锥的底面圆的周长为2π×40cm＝80πcm， 设圆锥的侧面展开图的圆心角是n°， 则80π ， n＝160， 故答案为：160．

【点评】本题考查了圆锥的计算，能熟记弧长的公式是解此题的关键．

14．（5分）将抛物线y＝2x﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 y＝﹣2（x﹣3）﹣2， ．

【分析】根据抛物线解析式间的关系，可得顶点式解析式，根据绕它的顶点旋转180°，可得顶点相同，开口方向相反，可得答案． 【解答】解：y＝2x﹣12x+16， 顶点式y＝2（x﹣3）﹣2，

22

2

2

抛物线y＝2x﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是 y＝﹣2（x﹣3）

2

2

﹣2，

2

故答案为：y＝﹣2（x﹣3）﹣2．

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了绕定点旋转的规律．

15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0）、B（0，3），对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是 （8068，

） ．

【分析】观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2018除以3，根据商和余数的情况确定出第（2018）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．

【解答】解：∵点A（﹣4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB 5，

∴第（2）个三角形的直角顶点的坐标是（4，

）；

观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环， ∵2018÷3＝672余2，

∴第（2018）个三角形是第672组的第二个直角三角形， 其直角顶点与第672组的第二个直角三角形顶点重合， ∴第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是（8068，

）．

故答案为：（8068，

）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．

16．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E、F分别为边AC、BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．若DE ，DF＝2，则∠EDF＝ 45 °，线段

AB的长度＝ 2 ．

【分析】延长FD到M使得DM＝DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N，先证明∠EDF＝45°，在Rt△EMN中求出EM，再证明△AEM是等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】解：如图，延长FD到M使得DM＝DF，连接AM、EM、EF，作EN⊥DF于N． ∵∠C＝90°， ∴∠BAC+∠B＝90°， ∵AE＝AD，BF＝BD，

∴∠AED＝∠ADE，∠BDF＝∠BFD，

∴2∠ADE+∠BAC＝180°，2∠BDF+∠B＝180°， ∴2∠ADE+2∠BDF＝270°， ∴∠ADE+∠BDF＝135°，

∴∠EDF＝180°﹣（∠ADE+∠BDF）＝45°， ∵∠END＝90°，DE ， ∴∠EDF＝∠DEN＝45°， ∴EN＝DN＝1， 在△DAM和△DBF中，

，

∴△ADM≌△BDF（SAS），

∴BF＝AM＝BD＝AD＝AE，∠MAD＝∠B， ∴∠MAE＝∠MAD+∠BAC＝90°， ∴EM AM，

在Rt△EMN中，∵EN＝1，MN＝DM+DN＝3， ∴EM ， ∴AM ，AB＝2AM＝2 ． 故答案为：45，2 ．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质，解题的突破口是添加辅助线构造Rt△EMF以及倍长中线构造全等三角形．

三、解答题（本题有题，第17～20题各8分，第21题各10分，第22、23题各12分，第24题14分，共80分）

17．（8分）已知m是方程x﹣3x＝0的一个根，求（m﹣3）+（m+2）（m﹣2）的值． 【分析】把x＝m代入方程求出m﹣3m＝0，整理后代入，即可求出答案． 【解答】解：∵m是方程x﹣3x＝0的一个根， ∴代入得：m﹣3m＝0， ∴（m﹣3）+（m+2）（m﹣2） ＝m﹣6m+9+m﹣4 ＝2（m﹣3m）+5 ＝2×0+5 ＝5．

【点评】本题考查了解一元二次方程和整式的混合运算和求值，能够整体代入是此题的关键．

18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）．

（1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标；

（2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）．

22

222

2

2

2

2

【分析】（1）根据旋转图形的作法，画出△A1B1C1； （2）根据弧长公式可求点B旋转到点B1所经过的路径长． 【解答】解：（1）如图：

∴点A1的坐标（6，1）

（2）点B旋转到点B1所经过的路径长

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式．

19．（8分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）． （1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是

．

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．

（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案） 【分析】（1）由第一道单选题有3个选项，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，然后画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，继而利用概率公式即可求得答案；

（3）由如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求

助”小明顺利通关的概率为：；即可求得答案．

【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，

∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；

故答案为：；

（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项， 画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况， ∴小明顺利通关的概率为：；

（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求

助”小明顺利通关的概率为：；

∴建议小明在第一题使用“求助”．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

20．（8分）关于x的一元二次方程x+2（m﹣1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．

2

2

（1）求实数m的取值范围；

（2）是否存在实数m，使得x1x2＝0成立？如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零，（2）在有不相等的实数根下必须满足△＝b﹣4ac＞0，列方程解出答案； （2）根据题意解方程即可得到结论．

【解答】解：（1）∵方程x+2（m﹣1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． ∴△＝4（m﹣1）﹣4（m﹣1）＝﹣8m+8＞0， ∴m＜1；

（2）存在实数m，使得x1x2＝0成立； ∵x1x2＝0， ∴m﹣1＝0，

解得：m＝﹣1或m＝1，

∴当m＝1时，方程为x＝0，有两个相等的实数根，与题意不符，舍去， ∴m＝﹣1．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件，难度适中．

21．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y （k≠0）的图象交于点A（﹣2，a）和点B．

（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）直接写出不等式＜ x+2的解集．

2

2

2

22

2

2

【分析】（1）把点A代入y＝﹣x+2，得出a，再把点A坐标代入y ，得出k，根据交点坐标得出点B坐标即可；

（2）根据图象直接得出不等式＜ x+2的解集即可．

【解答】解：（1）∵A（﹣2，a）在直线y＝﹣x+2上， ∴a＝4，

∵A（﹣2，4）在反比例函数y 图象上， ∴k＝﹣8，

∴ ，

解得 或 ，

∴B（4，﹣2）； （2）

如图，不等式＜ x+2的解集为x＜﹣2或0＜x＜4．

【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键．

22．（12分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足为D，点E为弧BF上一点，且BE＝CF， （1）求证：AE是⊙O的直径；

（2）若∠ABC＝∠EAC，AE＝8，求AC的长．

【分析】（1）由BE＝CF，则可证得∠BAE＝∠FAC，根据圆周角定理和等角的余角相等证明即可；

（2）连接OC，根据圆周角定理证明△AOC是等腰直角三角形，由勾股定理即可求得． 【解答】（1）证明：∵BE＝CF， ， ∴

∴∠BAE＝∠CAF， ∵AF⊥BC， ∴ADC＝90°，

∴∠FAC+∠ACD＝90°， ∵∠E＝∠ACB， ∴∠E+∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AE是⊙O的直径；

（2）如图，连接OC， ∴∠AOC＝2∠ABC， ∵∠ABC＝∠CAE， ∴∠AOC＝2∠CAE， ∵OA＝OC，

∴∠CAO＝∠ACO ∠AOC， ∴△AOC是等腰直角三角形， ∵AE＝8， ∴AO＝CO＝4， ∴AC＝4 ． 解法二：连接CE，

∵∠ABC＝∠CAE， ∴弧AC＝弧CE，

∴AC＝CE．由（1），得AE是⊙O的直径， ∴∠ACE＝90°．即△AEC是等腰直角三角形． ∵AE＝8，由勾股定理，可得AC＝4√2．

【点评】本题考查了圆周角定理和其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

23．（12分）农华公司以10元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 日销售量p（千克） 10 300 15 225 20 150 25 75 30 0 （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；

（2）农华公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润W元最大？ （3）若农华公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当20≤x≤25时，农经公司的日获利Q元的最大值为1215元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）

【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；

（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；

（3）根据题意列出日销售利润Q与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．

【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，

则 ， 解得：k＝﹣15，b＝450， ∴p＝﹣15x+450，

检验：当x＝15，p＝225；当x＝20，p＝150；当x＝25，p＝75，符合一次函数解析式；

（2）设日销售利润w＝p（x﹣10）＝（﹣15x+450）（x﹣10） 即w＝﹣15x+600x﹣4500， ∴当x

20时，w有最大值1500元，

2

故这批农产品的销售价格定为20元，才能使日销售利润最大；

（3）日获利Q＝p（x﹣10﹣a）＝（﹣15x+450）（x﹣10﹣a）， 即w＝﹣15x+（600+15a）x﹣（450a+4500）， 对称轴为x

20 a，

2

①若a≥10，则当x＝25时，Q有最大值， 即q＝1125﹣75a＜1215（不合题意）；

②若0＜a＜10，则当x＝20 a时，Q有最大值， 将x＝20 a代入，可得Q a﹣150a+1500， 当Q＝1215时，

2

a﹣150a+1500＝1215，

2 解得a1＝2，a2＝38（舍去）， 综上所述，a的值为2．

【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 24．（14分）（1）尺规作图1：

已知：如图，线段AB和直线且点B在直线上

求作：点C，使点C在直线上并且使△ABC为等腰三角形．

作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点

C．

（2）特例思考：

如图一，当∠1＝90°时，符合（1）中条件的点C有 2 个；如图二，当∠1＝60°时，符合（1）中条件的点C有 2 个． （3）拓展应用：

如图，∠AOB＝45°，点M，N在射线OA上，OM＝x，ON＝x+2，点P是射线OB上的点．若使点P，M，N构成等腰三角形的点P有且只有三个，求x的值． 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可．

（2）如图一，当∠1＝90°时，符合（1）中条件的点C有2个；如图二，当∠1＝60°时，符合（1）中条件的点C有2个． （3）分三种情形讨论求解即可．

【解答】解：（1）如图1中，点C1，C2，C3，C4即为所求．

（2）如图一，

当∠1＝90°时，符合（1）中条件的点C有2个；

如图二，

当∠1＝60°时，符合（1）中条件的点C有2个， 故答案为2，2．

（3）①如图3﹣1中，当x＝0时，当PM＝PN时，有点P1，当ON＝OP时，有点P2，当NO＝NP时，有点P3，此时有3个P点．

②如图3﹣2中，当⊙N与OB相切于点P1时，

∵△OP1N是等腰直角三角形， ∴ON NP1＝2 ，

∴OM＝ON﹣MN＝2 2，此时有3个P点．

③如图2中，

当⊙M经过点O时，此时只有2个P点，

如图3﹣4中，⊙M与OB相交时，此时有3个P点，

如图3﹣5中，当⊙M与OB相切时，只有2个P点．

此时OM＝2 ，

综上所述，当2＜x＜2 时，有3个P点． ∴满足条件的x的值为0或2 2或2＜x＜2 ．

【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．