函数的基本性质(总结版)

函数的基本性质

基础知识：

1．奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

注意：

○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：

○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

○2 确定f(－x)与f(x)的关系；

○3 作出相应结论：

1

若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；

若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

（3）简单性质：

①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

2．单调性

（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间

D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)

在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这

2

一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：

①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数；

②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数

y= f[g(x)]在A上是减函数。

（4）判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

○1 任取x1，x2∈D，且x1○3 变形（通常是因式分解和配方）；

○4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。

（5）简单性质

①奇函数在其对称区间上的单调性相同；

3

②偶函数在其对称区间上的单调性相反；

③在公共定义域内：

增函数f(x)增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)减函数g(x)是减函数；

增函数f(x)减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)增函数g(x)是减函数。

3、函数的周期性

如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得

f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.

性质：

①如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.

T②若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为||。

例题：

1x的单调性。

1、讨论函数

f(x)x 4

21xylog(x3x2)1y21x的递减区间是 ；2、的单调递增区间是 。

3、已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若f(m1)f(2m1)0，求实数m 的取值范围。

21)1x的图象 ( )

4、函数

f(x)lg(A.关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线yx对称

5、设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x≥0时，f（x）=log3（1+x），则f（－2）=____

6、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x－2)，若f(x)在[﹣2，0]上递增，则A

A．f(1)>f(5.5) ; B．f(1)C．f(1)=f(5.5) D．以上都不对.

7、已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有

f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，

求f(2004)

习题：

5

题型一：判断函数的奇偶性

1(x0)yx；（2）

1、以下函数：（1）(6)

1x2f(x)x22yxx41；y2ylog2x；ylog2(xx21)，（3）；（4）（5）

；其中奇函数是______，偶函数是______，非奇非偶函数是 _________

2、已知函数f(x)=x1x1,那么f(x)是 ( )

A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数

C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数

题型二：奇偶性的应用

1、已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),它们在4,0上的图像分别如

图（2-3），则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。

yy-4-20x-4-20y=g(x)xy=f(x)图(2-3)

为常数，若f(7)7，则f(7)_______

2、已知f(x)ax7bx5cx3dx5，其中a,b,c,d 6

3、下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（ ）

1x2xaaxf(x)ln22x （D）

（A）f(x)sinx（B）

f(x)x1（C）

f(x)2f(x)x2x，则x0时，f(x)的yf(x)x04、已知函数在R是奇函数，且当时，

解析式为_______________

5、若fx是偶函数,且当x0,时, fxx1,则fx10的解集是（ ） A.x1x0 B. xx0或1x2 C. x0x2 D. x1x2

题型三：判断证明函数的单调性

f(x)21、判断并证明

x1在(0,)上的单调性

2、判断

f(x)2x22x1在(,0)上的单调性 题型四：函数的单调区间

1、求函数

ylog20.7(x3x2)的单调区间；

2、下列函数中，在(,0)上为增函数的是 （ ）2A.

yx24x8 B.yax3(a0) C.y D.ylog1(x)x1 2

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3、函数

f(x)x1x的一个单调递增区间是（ ）

（A）0, （B）,0 （C）0,1 （D）1,

4、下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )

4(A)y=-3x+1 (B)y=|x+2| (C)y=x (D)y=x2-4x+3

5、函数y=54xx2的递增区间是( )

(A)(-∞，-2) (B)[-5，-2] (C)[-2，1]． (D)[1，+∞)．

题型五：单调性的应用

1、函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( (A)[3，+∞ ) (B) (-∞，-3] (C){-3} (D)(-∞，5]

2.已知函数f(x)=2x2-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)

时是减函数，则f(1)等于( )

(A)-3 (B)13 (C)7 (D)由m而决定的常数．

3、若函数f(x)x3ax2bx7在R上单调递增，则实数a, b一定满足的条件是（ 8

)

）

2222A．a3b0 B．a3b0 C．a3b0 D．a3b1

4、函数f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恒成立，则b的最小值为 .

5、已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。

题型六：周期问题

1、奇函数f(x)以3为最小正周期，f(1)3，则f(47)为 ( )

A.3 B.6 C.-3 D.-6

2、设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x =3对称，则下面正确的结论是( )

(A) f(1.5)(C) f(6.5)xf20063、已知fx为偶函数,且f2xf2x,当2x0时,fx2,则 （ ）

A．2006 B．4 C．4 D．

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4、设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____

5、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.

6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函数,

求证:2m是f(x)的一个周期.

7、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.

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