随机信号分析报告实验

实验一 随机序列的产生及数字特征估计

一、实验目的

1、学习和掌握随机数的产生方法； 2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理

1. 随机数的产生

随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：

y01，ynMod(kyn1(N))xnyn/N （1.1）

序列xn为产生的(0，1)均匀分布随机数。 下面给出了上式的3组常用参数： (1) N1010，k7，周期5107；

(2) （IBM 随机数发生器）N231，k2163，周期5108； (3) （ran0）N2311，k75，周期2109；

由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。 定理1.1 若随机变量X具有连续分布函数FX(x)，而R为(0，1)均匀分布随机变量，则有

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XFx1(R) （1.2）

由这一定理可知，分布函数为FX (x)的随机数可以由(0，1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。

2. MATLAB 中产生随机序列的函数

(1) (0，1)均匀分布的随机序列 函数：rand

用法：x = rand(m,n)

功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。 (2) 正态分布的随机序列 函数：randn

用法：x = randn(m,n)

功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从N(,2)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。

(3) 其他分布的随机序列

MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。

MATLAB 中产生随机数的一些函数

表1.1 MATLAB中产生随机数的一些函数

3、随机序列的数字特征估计

对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列X (n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其

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中n=0,1,2，…，N-1。那么，X (n)的均值、方差和自相关函数的估计为

利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。 (1) 均值函数 函数：mean 用法：m = mean(x)

功能：返回按上面第一式估计X (n)的均值，其中x为样本序列x(n)。 (2) 方差函数 函数：var

用法：sigma2 = var(x)

功能：返回按上面第二式估计X (n)的方差，其中x为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。

(3) 互相关函数 函数：xcorr

用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x)

c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition')

功能：xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X (n)的自相关。

option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计，即

(1.6)

'unbiased' 无偏估计，即按(1.5)式估计。

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'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。

三、实验内容

1. 采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。

实验代码：

num=input('Num='); N=2^31; k=2^16+3; Y=zeros(1,num); X=zeros(1,num); Y(1)=1; for i=2:num

Y(i)=mod(k*Y(i-1),N); end X=Y/N; a=0; b=1; m0=(a+b)/2; sigma0=(b-a)^2/12; m=mean(X); sigma=var(X);

delta_m=abs(m-m0);

delta_sigma=abs(sigma-sigma0);

plot(X,'k'); xlabel('n'); ylabel('X(n)');

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实验结果： (1) Num=1000时：

delta_m=0.0110，delta_sigma=0.0011

(2) Num=5000时：

delta_m =2.6620e-04，delta_sigma =0.0020

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实验结果分析：

样本越大，误差越小，实际值越接近理论值。

2. 参数为的指数分布的分布函数为

Fx1ex

利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数1000 个，测试其方差和相关函数。

实验代码： R=rand(1,1000); lambda=0.5;

X=-log(1-R)/lambda; DX=var(X); [Rm,m]=xcorr(X); subplot(211);

plot(X,'k');xlabel('n');ylabel('X(n)'); subplot(212);

plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');

实验结果：

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实验结果分析：

方差的实际值为4.1201，理论值为1/(0.5^2)=4，基本一致。

3. 产生一组N(1，4)分布的高斯随机数（1 000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。

实验代码：

X=normrnd(1,2,[1,1000]); Mx=mean(X);Dx=var(X); [Rm,m]=xcorr(X); subplot(211);

plot(X,'k');xlabel('n');ylabel('X(n)'); subplot(212);

plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');

实验结果：

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实验结果分析：

实验中的均值为0.9937，方差为3.8938。理论上均值为1，基本一致。

四、实验心得体会

通过这次实验，我学习和掌握了随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计，并用MATLAB产生相应的图形，更直观的了解了相关的知识。本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列，多次试验后终于攻克了难关。

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实验二 随机过程的模拟与数字特征

一、实验目的

1、学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法； 2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。

二、实验原理

1. 正态分布白噪声序列的产生

MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。

函数：randn

用法：x = randn(m,n)

功能：产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从N(,2)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序

2)列产生。如果X~N(0,1)，则X~N(,。

2. 相关函数估计

MATLAB提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。 函数：xcorr

用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x)

c = xcorr(x,y,'opition') c = xcorr(x,'opition')

功能：xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X (n)的自相关。

option 选项可以设定为： 'biased' 有偏估计。 'unbiased' 无偏估计。

'coeff' m=0时的相关函数值归一化为1。 'none' 不做归一化处理。

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3. 功率谱估计

对于平稳随机序列X(n)，如果它的相关函数满足

mR(m) (2.1)

x那么它的功率谱定义为自相关函数Rx(m)的傅里叶变换：

SX()mR(m)exjm (2.2)

功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。

(1) 自相关法

先求自相关函数的估计，然后对自相关函数做傅里叶变换

SX()^xm(N1)R(m)eN1^jm (2.3)

其中N表示用于估计样本序列的样本个数。 (2) 周期图法

先对样本序列x(n)做傅里叶变换

X()x(n)ejm (2.4)

n0N1其中0nN1，则功率谱估计为

^12S()X() (2.5)

NMATLAB函数periodogram实现了周期图法的功率谱估计。 函数：periodogram

用法：[Pxx,w] = periodogram(x)

[Pxx,w] = periodogram(x,window) [Pxx,w] = periodogram(x,window,nfft) [Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(...)

功能：实现周期图法的功率谱估计。其中： Pxx为输出的功率谱估计值；

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f为频率向量；

w为归一化的频率向量；

window代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，表2.1列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。

nfft设定FFT算法的长度； fs表示采样频率；

如果不指定输出参量（最后一种用法），则直接会出功率谱估计的波形。

三、实验内容

1. 按如下模型产生一组随机序列

x(n)0.8x(n1)(n)

其中(n)是均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数和功率谱。

实验代码：

y0=randn(1,500); %产生一长度为500的随机序列

y=1+2*y0; x(1)=y(1); n=500; for i=2:1:n

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x(i)=0.8*x(i-1)+y(i); %按题目要求产生随机序列x(n)

end

subplot(311); plot(x); title('x(n)'); subplot(312);

c=xcorr(x); %用xcorr函数求x(n)的自相关函数

plot(c); title('R(n)');

p=periodogram(x); %用periodogram函数求功率谱密度

subplot(313); plot(p); title('S(w)');

实验结果：

其中x(n)为样本序列，长度为500；R(n)为x(n)的自相关函数，S(w)为x(n)的功率谱。

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2. 设信号为

其中f10.05,f20.12，w(n)为正态分布白噪声序列，试在N =256和N=1024点时，分别产生随机序列x(n)，画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。

(1) N=256时： 实验代码： N=256;

w=randn(1,N); %用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列

n=1:1:N; f1=0.05; f2=0.12;

x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n); %产生题目所给信号

R=xcorr(x); %求x(n)的自相关函数

p=periodogram(x); %求x的功率谱 subplot(311);

plot(x);title('x(n)'); subplot(312);

plot(R);title('R(n)'); subplot(313);

plot(p);title('S(w)');

实验结果：

其中x(n)为样本序列，长度为256；R(n)为x(n)的自相关函数，S(w)为x(n)的功率谱。

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(2) N=1024时： 实验代码：

N=1024; %将N值改为1024

w=randn(1,N); %用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列

n=1:1:N; f1=0.05; f2=0.12;

x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n); %产生题目所给信号

R=xcorr(x); %求x(n)的自相关函数

p=periodogram(x); %求x的功率谱 subplot(311);

plot(x);title('x(n)'); subplot(312);

plot(R);title('R(n)'); subplot(313);

plot(p);title('S(w)');

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实验结果：

其中x(n)为样本序列，长度为1024；R(n)为x(n)的自相关函数，S(w)为x(n)的功率谱。

四、实验心得体会

这次实验学会了在MATLAB中求解并绘制随机序列的自相关函数和功率谱密度的方法。用MATLAB可以用具体的函数来求自相关函数和功率谱，极大的方便了学习过程。通过本次实验，我学会了利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法并且熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。

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实验三 随机过程通过线性系统的分析

一、实验目的

1、理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。

2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。

二、实验原理

1. 白噪声通过线性系统

设连续线性系统的传递函数为H(w)或H(s)，输入白噪声的功率谱密度为SX(w)=N0/2，那么系统输出的功率谱密度为

2NSY()H()0 (3.1)

2输出自相关函数为

RY()输出相关系数为

N04H()d (3.2)

2Y()输出相关时间为

RY() (3.3) RY(0)0Y()d (3.4)

0输出平均功率为

NE[Y(t)]0220H()d (3.5)

2上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|H(w)|决定，不再是常数。

2. 等效噪声带宽

在实际中， 常常用一个理想系统等效代替实际系统的H(w)，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

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实际系统的等效噪声带宽为

e或

1H()max20H()d (3.6)

2e12jH()max2jjH(s)H(s)ds (3.7)

3. 线性系统输出端随机过程的概率分布

(1) 正态随机过程通过线性系统

若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。 (2) 随机过程的正态化

随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。

三、实验内容

1. 仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统，白噪声为高斯分布，带通系统的两个截止频率分别为3kHz和4kHz，估计输出的自相关函数和功率谱密度函数。（假设采样频率为10kHz，同时在系统仿真时为了得到统计的结果，可以进行多次实验，并取多次实验的平均结果作为统计结果）

实验代码：

Fs=10000; %抽样频率为10kHz

x=randn(1000,1); %产生随机序列，模拟高斯白噪声

figure(1); subplot(3,1,1); plot(x); grid on; xlabel('t'); subplot(3,1,2);

x_corr=xcorr(x,'unbiased'); %计算高斯白噪声的自相关函

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数

plot(x_corr); grid on; subplot(3,1,3);

[Pxx,w]=periodogram(x); %计算功率谱密度 x_Px=Pxx;plot(x_Px); grid on;

figure(2); subplot(2,1,1);

[x_pdf,x1]=ksdensity(x); %高斯白噪声一维概率密度函数

plot(x1,x_pdf); grid on;

subplot(2,1,2); f=(0:999)/1000*Fs; X=fft(x);

mag=abs(X); %随机序列的频谱 plot(f(1:1000/2),mag(1:1000/2)); grid on;

xlabel('f / Hz');

figure(3); subplot(3,1,1);

[b,a]=ellip(10,0.5,50,[3000,4000]*2/Fs); [H,w]=freqz(b,a); %带通滤波器 plot(w*Fs/(2*pi),abs(H)); grid on;

xlabel('f / Hz'); ylabel( 'H(w)');

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subplot(3,1,2); y=filter(b,a,x);

[y_pdf,y1]=ksdensity(y); %滤波后的概率密度函数 plot(y1,y_pdf); grid on;

y_corr=xcorr(y,'unbiased'); %滤波后自相关函数 subplot(3,1,3); plot(y_corr); grid on;

figure(4); Y=fft(y);

magY=abs(Y); %随机序列滤波后频谱 subplot(2,1,1);

plot(f(1:1000/2),magY(1:1000/2)); grid on;

xlabel('f / Hz'); subplot(2,1,2); nfft=1024;

index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs./nfft;

window=boxcar(length(y_corr));

[Pyy,fy]=periodogram(y_corr,window,nfft,Fs); %滤波后高斯白噪声功率谱

y_Py=Pyy(index+1); plot(ky,y_Py); grid on;

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实验结果：

下图分别为高斯白噪声序列、高斯白噪声自相关函数、高斯白噪声功率谱密度。

下图分别为高斯白噪声一维概率密度函数、模拟高斯白噪声序列频谱。

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下图分别为带通滤波器、带通滤波后一维概率密度函数、限带高斯白噪声自相关函数。

2. 设白噪声通过下图所示的RC电路，分析输出的统计特性。

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(1) 试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。

(2) 采用MATLAB模拟正态分布白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。

(3) 模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。

(4) 改变RC电路的参数（电路的RC值），重做(2)和(3)，与之前的结果进行比较。

(1) 输出功率谱密度：S()N222C2R2；

NRCe； 相关函数：R4RC 相关时间：RC； 等效噪声带宽：B

(2) 实验代码： R=100; C=0.01; b=1/(R*C); n=1:1:500;

h=b*exp(-n*b); %RC电路的冲击响应 x=randn(1,1000); %产生正态分布的白噪声 y=conv(x,h);

[fy y1]=ksdensity(y) %求输出噪声的概率密度

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2RC。

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subplot(3,1,1); plot(x); title('x(n)');

subplot(3,1,2); plot(y); title('y(n)');

subplot(3,1,3); plot(fy); title('fy');

实验结果：

(3) 实验代码： R=100; C=0.01;

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b=1/(R*C); n=1:1:500; h=b*exp(-n*b);

x=rand(1,1000); %均匀分布的白噪声 y=conv(x,h);

[fy y1]=ksdensity(y); subplot(3,1,1); plot(x); title('x(n)');

subplot(3,1,2); plot(y); title('y(n)'); subplot(3,1,3); plot(fy); title('fy');

实验结果：

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(4) R=300，C=0.01，正态分布时：

R=300，C=0.01，均匀分布时：

R=30，C=0.01，正态分布时：

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R=30，C=0.01，均匀分布时：

实验结果分析：

从以上图像中可以看出，系统相关时间与带宽成反比；正态随机过程

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通过一个线性系统后，输出仍为正态分布；而均匀分布的白噪声通过一个线性系统后，输出也服从正态分布。

四、实验心得体会

本次实验是关于随机信号通过线性系统的，我发现了白噪声通过线性系统后，输出也服从正态分布，从实践上验证了课本的理论。通过本次实验，我理解了白噪声通过线性系统后输出的特性，学习和掌握了随机过程通过线性系统后的特性，关于随机信号的知识有了更深入的理解。

实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试

一、实验目的

1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。

2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。

二、实验原理

1. 窄带随机过程的莱斯表达式

任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为

X(t)a(t)cos0tb(t)sin0t (4.1)

上式称为莱斯表达式，根据上式可以模拟产生窄带随机过程，具体过程如下图所示。

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图4.1 窄带随机过程的产生

2.窄带随机过程包络与相位的概率密度

见教材5.3节。

3.窄带随机过程包络平方的概率密度

见教材5.4节。

三、实验内容

1. 按图4.1所示结构框图，基于随机过程的莱斯表达式，用MATLAB产生一满足条件的窄带随机过程。

实验代码： n=1:1:1000; h=exp(-n); c1=randn(1,1000); a=conv(c1,h);

c2=randn(1,1000); %产生两个正态分布的高斯白噪声

b=conv(c2,h); %通过低通滤波器 fc=10000; x=zeros(1,1000);

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for i=1:1000 %卷积结果相加，得到窄带随机过程

x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i); end plot(x);

实验结果：

2. 画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。 实验结果： 第一次实现：

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第二次实现：

第三次实现：

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3. 编写MATLAB程序计算该随机过程的均值函数、自相关函数、功率谱、包络、包络平方及相位的一维概率密度，画出相应的图形并给出解释。

实验代码： n=1:1:1000; h=exp(-n); c1=randn(1,1000); a=conv(c1,h); c2=randn(1,1000); b=conv(c2,h); fc=10000; x=zeros(1,1000);

for i=1:1000 %得到窄带随机过程 x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i); end

m=mean(x) figure(1) plot(m);

title('均值') %均值函数

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R=xcorr(x); figure(2) plot(R);

title('自相关函数') %自相关函数

[S,w]=periodogram(x); figure(3) plot(S);

title('功率谱密度') %

B=zeros(1,1000); for i=1:1000

B(i)=sqrt(a(i)^2+b(i)^2); end

[fB2 j]=ksdensity(B); figure(4) plot(fB2);

title('包络概率密度') %

B=zeros(1,1000); for i=1:1000

B(i)=(a(i)^2+b(i)^2); end

[fB2 j]=ksdensity(B); figure(5) plot(fB2);

title('包络平方概率密度') %

for i=1:1000

fai(i)=atan(b(i)/a(i));

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功率谱密度函数 包络概率密度 包络平方概率密度 实用

end

[fp j]=ksdensity(fai); figure(6); plot(fp);

title('相位一维概率密度函数') %相位一维概率密度函数

实验结果： 均值m=-0.0075：

自相关函数：

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功率谱密度：

包络概率密度：

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包络平方概率密度：

相位一维概率密度函数：

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实验结果分析：

生成的两个高斯白噪声，分别通过低通滤波器得到a(t)和b(t)。用莱斯表达式的原理产生一个窄带随机过程。其中窄带随机过程的均值为零，包络服从瑞利分布，相位按均匀分布，包络的平方呈指数型分布。

四、实验心得体会

这次实验描述了窄带随机过程，对于其均值、包络、包络平方、相位的分布也有了直观的表达，也有了更深刻的理解。通过本次实验，我认识了通过莱斯表达式产生窄带随机过程的方法，并且掌握窄带随机过程的特性。

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