复数经典试题(含答案)

一、复数选择题

2（ ） 1．复数1iA．1i A．2 C．0

3．已知复数zA．-1

B．1i

C．1i B．1 D．1

D．1i

2．若复数(1i)(ai)(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为（ ）

mmm2iiB．0

为纯虚数，则实数m（ ）

C．1

D．0或1

4．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：eicosisin（e为自然对数的底数，i为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，ei＝（ ） A．1

B．0

C．－1

D．1＋i

5．若复数z(2i)i（其中i为虚数单位），则复数z的模为（ ） A．5

B．5 3C．5 D．5i

6．已知复数z满足z1i1i，则复数z对应的点在（ ）上 A．直线y7．

1x 2B．直线y1x 21C．直线x

2D．直线y1 22i152i1＝（ ）

B．-1

C．2

D．-2

5A．1

8．若复数z满足zA．13i A．3i

42i，则z（ ） 1iB．13i B．3i

C．3i C．3i

D．3i D．3i

9．满足i3z13i的复数z的共扼复数是（ ）

10．复数z的共轭复数记为z，则下列运算：①zz；②zz；③zz④定是实数的是（ ） A．①②

B．②④

C．②③

3ai1i，则a＝（ ） 2iz，其结果一zD．①③

11．已知i是虚数单位，a为实数，且A．2

B．1

C．-2 D．-1

12．已知i是虚数单位，设复数abi2i，其中a,bR，则ab的值为（ ） 2iA． 13．复数A．1+i

75B．7 5C．

1 5D．

152(1i)2（ ） 1iB．-1+i

C．1-i

D．-1-i

14．复数z12i(其中i为虚数单位)，则z3i（ ） A．5

B．2

C．2

D．2615．题目文件丢失！

二、多选题

16．已知复数zcosisin（ ）

A．复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B．z可能为实数 C．z1 D．

（其中i为虚数单位）下列说法正确的是

221的虚部为sin z17．若复数zA．z17 35i，则（ ） 1iB．z的实部与虚部之差为3 C．z4i

D．z在复平面内对应的点位于第四象限 18．已知复数zA．zz1

13i，则下列结论正确的有（ ） 22B．z2z

C．z31

D．z202013i 2219．下列四个命题中，真命题为（ ） A．若复数z满足zR，则zR C．若复数z满足z2R，则zR

B．若复数z满足

1R，则zR zD．若复数z1，z2满足z1z2R，则z1z2

20．已知复数zxyix,yR，则（ ） A．z20

B．z的虚部是yi D．zC．若z12i，则x1，y2 x2y2 21．已知复数z满足z2724i，在复平面内，复数z对应的点可能在（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

22．已知复数z13i(i为虚数单位)，z为z的共轭复数，若复数w论正确的有（ ）

A．w在复平面内对应的点位于第二象限 C．w的实部为B．w1 D．w的虚部为

z，则下列结z1 23i 21323．已知复数i（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的

22是（ ） A．2

A．ii2i3i40 B．3i1i

C．若z=12i，则复平面内z对应的点位于第四象限

D．已知复数z满足z1z1，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线 25．已知复数z12i,z22i则（ ） A．z2是纯虚数 C．z1z23

B．z1z2对应的点位于第二象限 D．z1z225 2B．31 C．210 D．

24．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．

26．任何一个复数zabi（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：

zrcosisin的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

znrncosnisinnnN，我们称这个结论为棣莫弗定rcosisin理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A．zz B．当r1，C．当r1，D．当r1，22n3时，z31 时，z313i 224时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数

27．已知复数z的共轭复数为z，且zi1i，则下列结论正确的是（ ） A．z15 B．z虚部为i

C．z202021010

D．z2zz

28．已知复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限，且z2 则下列结论正确

的是（ ）． A．z38

C．z的共轭复数为13i 29．若复数zB．z的虚部为3 D．z24

2，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） 1iB．|z|A．z的虚部为1 C．z2为纯虚数

2 D．z的共轭复数为1i

30．已知i为虚数单位，下列说法正确的是( ) A．若x,yR，且xyi1i，则xy1 B．任意两个虚数都不能比较大小

20，则z1z20 C．若复数z1，z2满足z12z2D．i的平方等于1

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一、复数选择题 1．C 【分析】

根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】 . 故选：C 解析：C 【分析】

根据复数的除法运算法则可得结果. 【详解】

2(1i)22(1i)1i.

(1i)(1i)1i2故选：C

2．D 【分析】

由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】 ，它为纯虚数， 则，解得． 故选：D．

解析：D 【分析】

由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解． 【详解】

(1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，它为纯虚数，

a10则，解得a1． 1a0故选：D．

3．C 【分析】

结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可 【详解】

解析：因为为纯虚数，所以，解得， 故选：C.

解析：C 【分析】

结合复数除法运算化简复数z，再由纯虚数定义求解即可 【详解】 解析：因为zmmm2iim2m0，解得m2mmi为纯虚数，所以m0m1，

故选：C.

4．C

【分析】

利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可

【详解】 由题意可知＝， 故选C

解析：C 【分析】

利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可 【详解】

由题意可知ei＝cosisin101， 故选C

5．B 【分析】

由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】 ，所以， 故选：B

解析：B 【分析】

由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模. 【详解】

z(2i)i2i1，所以|z|5，

故选：B

6．C 【分析】

利用复数的乘法和除法运算求得复数z的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】

解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上. 故选：C. 【点睛】

本题考查复数的乘方和除法运

解析：C 【分析】

利用复数的乘法和除法运算求得复数z的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】

解：因为z(1i)1iz31i1i1，所以复数z对应的点是

(1i)32(i1)211,0，所以在直线x2上. 2故选：C. 【点睛】

本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：

1i7．D

31i1i2i1i2i1.

2【分析】

先求和的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果. 【详解】 ∵，，

∴，， ∴， ， ∴， 故选：D.

解析：D 【分析】 先求

2i1和

22i1的平方，再求4次方，最后求5次方，即可得结果.

2【详解】

∴2i1122i742i，2i+11+22i∴2i1742i2i11112i， 2i1742i2i11112i， ∴2i12i12，

∵

2i1122i，

422i+11+22i，

42742i，

5555故选：D.

8．C 【分析】

首先根据复数的四则运算求出，然后根据共轭复数的概念求出. 【详解】 ，故. 故选：C.

解析：C 【分析】

首先根据复数的四则运算求出z，然后根据共轭复数的概念求出z. 【详解】

42i42i1i62iz3i，故z3i.

1i1i1i2故选：C.

9．A 【分析】

根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】 因为，

所以，

复数的共扼复数是， 故选：A

解析：A 【分析】

根据i3z13i，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解. 【详解】

因为i3z13i， 所以z13i13ii3i， i复数z的共扼复数是z3i， 故选：A

10．D 【分析】

设，则，利用复数的运算判断. 【详解】 设，则， 故，， ，. 故选：D.

解析：D 【分析】

设zabia,bR，则zabi，利用复数的运算判断. 【详解】

设zabia,bR，则zabi， 故zz2aR，zz2bi，

zabia2b22abi，zza2b2R. 22zabiab故选：D.

11．B 【分析】 可得，即得. 【详解】 由，得a＝1. 故选：B．

解析：B 【分析】

可得3ai(2i)(1i)3i，即得a1. 【详解】

由3ai(2i)(1i)22iii3i，得a＝1. 故选：B．

212．D 【分析】

先化简，求出的值即得解. 【详解】 ， 所以. 故选：D

解析：D 【分析】 先化简abi【详解】

34i，求出a,b的值即得解. 52i(2i)234iabi，

2i(2i)(2i)5所以a故选：D

341,b,ab. 55513．C 【分析】

直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解： 故选：C

解析：C 【分析】

直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得； 【详解】 解：

2(1i)2 1i21i1i1i12ii2

1i2i 1i

故选：C

14．B 【分析】

首先求出，再根据复数的模的公式计算可得； 【详解】 解：因为，所以 所以. 故选：B.

解析：B 【分析】

首先求出z3i，再根据复数的模的公式计算可得； 【详解】

解：因为z12i，所以z3i12i3i1i 所以z3i1212故选：B.

2.

15．无

二、多选题 16．BC 【分析】

分、、三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模长公式可判断C选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D选项的正误. 【详解】

对于AB选项，当时，，，此时复数在复平面内的点

解析：BC 【分析】 分0、0、0三种情况讨论，可判断AB选项的正误；利用复数的模221，利用复数的概念可判断D选项的正误. z长公式可判断C选项的正误；化简复数【详解】

对于AB选项，当四象限；

0时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第2当0时，z1R； 当02时，cos0，sin0，此时复数z在复平面内的点在第一象限.

A选项错误，B选项正确；

对于C选项，zcos2sin21，C选项正确；

11cosisincosisin， 对于D选项，

zcosisincosisincosisin所以，复数故选：BC.

1的虚部为sin，D选项错误. z17．AD 【分析】

根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】 解：， ，

z的实部为4，虚部为，则相差5，

z对应的坐标为，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正

解析：AD 【分析】

根据复数的运算先求出复数z，再根据定义、模、几何意义即可求出. 【详解】 解：z35i35i1i82i4i， 1i1i1i22z42117，

z的实部为4，虚部为1，则相差5，

z对应的坐标为4,1，故z在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD正确， 故选：AD.

18．ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

因为，所以A正确； 因为，，所以，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以，所以D正确

解析：ACD 【分析】

分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D选项的时候注意利用复数乘方的性质. 【详解】

131313zzi因为2222i441，所以A正确；

1313132ii因为z，z，所以z2z，所以B错误； i2222221313因为zzz22i22i1，所以C正确；

322131320206336443zzzzz1ii，因为zzz1，所以2222633所以D正确， 故选：ACD. 【点睛】

本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.

19．AB 【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】

对选项A，若复数满足，设，其中，则，则选项A正确； 对选项B，若复数满足，设，其中，且， 则，则选项B正确； 对选项C，若复数满足，设

解析：AB 【分析】

利用特值法依次判断选项即可得到答案. 【详解】

对选项A，若复数z满足zR，设za，其中aR，则zR，则选项A正确； 对选项B，若复数z满足

11R，设a，其中aR，且a0， zz1R，则选项B正确； a对选项C，若复数z满足z2R，设zi，则z21R， 但ziR，则选项C错误；

则z对选项D，若复数z1，z2满足z1z2R，设z1i，z2i，则z1z21R， 而z2iz1，则选项D错误； 故答案选：AB 【点睛】

本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.

20．CD 【分析】

取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，取，则，A选项错误； 对于B选项，复数的虚部为，B选项错误；

解析：CD 【分析】

取特殊值可判断A选项的正误；由复数的概念可判断B、C选项的正误；由复数模的概念可判断D选项的正误. 【详解】 对于A选项，取zi，则z210，A选项错误；

对于B选项，复数z的虚部为y，B选项错误；

对于C选项，若z12i，则x1，y2，C选项正确； 对于D选项，z故选：CD. 【点睛】

本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.

x2y2，D选项正确.

21．BD 【分析】

先设复数，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】 设复数，

则， 所以， 则，解得或，

因此或，所以对应的点为或， 因此复

解析：BD 【分析】

先设复数zabia,bR，根据题中条件，由复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件求出z，即可确定对应的点所在的象限. 【详解】

设复数zabia,bR， 则z2a22abib2724i， 所以z2a22abib2724i，

a2b27a3a3则，解得或，

b4b42ab24因此z34i或z34i，所以对应的点为3,4或3,4， 因此复数z对应的点可能在第二或第四象限. 故选：BD. 【点睛】

本题主要考查判定复数对应的点所在的象限，熟记复数的运算法则，以及复数相等的条件即可，属于基础题型.

22．ABC 【分析】

对选项求出，再判断得解；对选项，求出再判断得解；对选项复数的实部为，判断得解；对选项,的虚部为,判断得解. 【详解】 对选项由题得 .

所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确

解析：ABC 【分析】

对选项A,求出w=13i，再判断得解；对选项B，求出w1再判断得解；对选项2213,判断得解. ，判断得解；对选项D,w的虚部为22C,复数w的实部为【详解】

对选项A,由题得z13i,

13i(13i)2223i13w=i.

42213i(13i)(13i)所以复数w对应的点为(对选项B，因为w13,)，在第二象限，所以选项A正确； 22131，所以选项B正确； 441，所以选项C正确； 2对选项C,复数w的实部为对选项D,w的虚部为故选：ABC 【点睛】

3,所以选项D错误. 2本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的模的计算，考查复数的几何意义，考查复数的实部和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

23．AC 【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】 解：∵所以， ∴，故A正确， ，故B错误， ，故C正确，

虚数不能比较大小，故D错误， 故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念

解析：AC 【分析】

根据复数的运算进行化简判断即可. 【详解】

1313解：∵i所以i，

2222∴213313ii，故A正确， 424223221121231313ii1，故B错误， 22244313ii10，故C正确， 222虚数不能比较大小，故D错误， 故选：AC. 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念和运算，结合复数的运算法则进行判断是解决本题的关键．属于中档题．

24．AD 【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简，得出，从而判断D. 【详解】 ，则A正确；

虚数不能比较大小，则B错误； ，则，

解析：AD 【分析】

根据复数的运算判断A；由虚数不能比较大小判断B；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C；由模长公式化简z1z1，得出x0，从而判断D. 【详解】

ii2i3i4i1i10，则A正确； 虚数不能比较大小，则B错误；

z12i14i4i234i，则z34i，

其对应复平面的点的坐标为(3,4)，位于第三象限，则C错误；

21， 令zxyi,x,yR，|z1||z∣(x1)2y2(x1)2y2，解得x0

则z在复平面内对应的点的轨迹为直线，D正确； 故选：AD 【点睛】

本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.

25．AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确； 对于B选项，对应的

解析：AD 【分析】

利用复数的概念及几何有意义判断A、B选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算z1z2及z1z2，并计算出模长，判断C、D是否正确. 【详解】

利用复数的相关概念可判断A正确；

对于B选项，z1z223i对应的点位于第四象限，故B错； 对于C选项，z1z22i，则z1z222125，故C错；

对于D选项，z1z22i2i24i，则z1z2故选：AD 【点睛】

本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.

224225，故D正确.

26．AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数，可判断C选项的正误；计算出，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，，则，可得

解析：AC 【分析】

利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数z，可判断C选项的正误；计算出z4，可判断D选项的正误. 【详解】

对于A选项，zrcosisin，则zr22cos2isin2，可得

2z2r2cos2isin2r2，zrcosisinr2，A选项正确；

2对于B选项，当r1，33时，

z3cosisincos3isin3cosisin1，B选项错误；

对于C选项，当r1，项正确；

3时，zcos3isin31313i，C选i，则z2222对于D选项，zcosisincosnisinncosnnnnisin， 44取n4，则n为偶数，则z4cosisin1不是纯虚数，D选项错误. 故选：AC. 【点睛】

本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.

27．ACD 【分析】

先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】

由可得，，所以，虚部为； 因为，所以，． 故选：ACD． 【

解析：ACD 【分析】

先利用题目条件可求得z，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假． 【详解】

由zi1i可得，z1i21i，所以z12i2215，z虚部为i1；

因为z2i,z2，所以z2020z4故选：ACD． 【点睛】

本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题．

24250521010，z2z2i1i1iz．

28．AB 【分析】

利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解. 【详解】

解：，且，

复数在复平面内对应的点位于第二象限 选项A:

选项B: 的虚部是 选项C:

解析：AB 【分析】

利用复数z2的模长运算及za3i在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解. 【详解】 解：

za3i，且z2a2(3)24，a=1

复数za3i在复平面内对应的点位于第二象限a1 选项A: (13i)3(1)3+3(1)23i+3(1)(3i)2(3i)38 选项B: z13i的虚部是3

选项C: z13i的共轭复数为z13i

选项D: (13i)2(1)2+2(1)3i+(3i)2223i 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:

复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a+bi(a，bR)的形式，再根据题意求解．

29．ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可. 【详解】 因为，

对于A：的虚部为，正确； 对于B：模长，正确； 对于C：因为，故为纯虚数，

解析：ABC 【分析】

首先利用复数代数形式的乘除运算化简z后得：z1i，然后分别按照四个选项的要求逐

一求解判断即可. 【详解】

21i222i1i， 因为z1i1i1i2对于A：z的虚部为1，正确； 对于B：模长

z2，正确；

对于C：因为z2(1i)22i，故z2为纯虚数，正确； 对于D：z的共轭复数为1i，错误. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.

30．AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确； 对于选项B，

解析：AB 【分析】

利用复数相等可选A，利用虚数不能比较大小可选B，利用特值法可判断C错误，利用复数的运算性质可判断D错误． 【详解】

对于选项A，∵x,yR，且xyi1i，根据复数相等的性质，则xy1，故正确；

对于选项B，∵虚数不能比较大小，故正确；

20，则z1z20，故不正确； 对于选项C，∵若复数z1=i，z2=1满足z12z2对于选项D，∵复数i=1，故不正确； 故选：AB． 【点睛】

本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题.

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