2022年高考数学大一轮复习精品卷及答案20

班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

π5π

－，上的图象，1．(精选考题·天津)下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在区间为了66得到这个函数的图象，只要将y＝sinx(x∈R)的图象上所有的点( )

π1

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

32π

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

3π1

C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

62π

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

6π2π

－＋φ解析：观察图象可知，函数y＝Asin(ωx＋φ)中A＝1，ω＝π，故ω＝2，ω×6πππ

2x＋，故只要把y＝sinx的图象向左平移个单位，再把＝0，得φ＝，所以函数y＝sin3331

各点的横坐标缩短到原来的即可．

2

答案：A

π2x＋π的2x－的图象，2．(精选考题·全国Ⅱ)为了得到函数y＝sin只需把函数y＝sin36图象( )

π

A．向左平移个长度单位

4π

B．向右平移个长度单位

4π

C．向左平移个长度单位

2π

D．向右平移个长度单位

2

1

πx→x＋φ2(x＋φ)＋π＝sin2x－π，即2x＋2φ＋π＝2x－π，2x＋―解析：由y＝sin―→y＝sin66363ππ

解得φ＝－，即向右平移个长度单位．故选B.

44

答案：B

π

ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，3．(精选考题·重庆)已知函数y＝sin(ωx＋φ)则( ) 2

ππ

A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－

66π

C．ω＝2，φ＝

6解析：依题意得T＝ππ

＝，φ＝－，选D. 26

答案：D

4．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]上的图象如图所示，那么ω＝( )

π

D．ω＝2，φ＝－

6

7πππ2ππ2π－＝π，ω＝2，sin2×＋φ＝1.又|φ|<，所以＋φ＝41233ω23

A．1 B．2 1

C. 2

1D. 3

2π

解析：由函数的图象可知该函数的周期为π，所以＝π，解得ω＝2.

ω答案：B

ππ

x－cosx－，则下列判断正确的是( ) 5．已知函数y＝sin1212π

，0 A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是12

2

π，0 B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是12π

C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是6，0 πD．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是6，0 πx－π＝1sin2x－π， x－·解析：∵y＝sincos612122∴T＝

2ππ

＝π，且当x＝时，y＝0. 212

答案：B

π

6．如果函数y＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，则实数a的值为( )

8A.2 B．－2 C．1 D．－1

π分析：函数f(x)在x＝－时取得最值；或考虑有

8ππ

－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立． f88

π

解析：解法一：设f(x)＝sin2x＋acos2x，因为函数的图象关于直线x＝－对称，所以

8ππ

－＋x＝f－－x对一切实数x都成立， f88

ππ

－＋x＋acos2－＋x 即sin288ππ

－－x＋acos2－－x ＝sin288ππ

－＋2x＋sin＋2x 即sin44

π＋2x－cos－π＋2x， ＝acos44

ππ∴2sin2x·cos＝－2asin2x·sin，

44

即(a＋1)·sin2x＝0对一切实数x恒成立，而sin2x不能恒为0， ∴a＋1＝0，即a＝－1，故选D.

π

解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x关于直线x＝－对称．

8ππ

－＋x＝f－－x对一切x∈R恒成立． ∴有f88π

特别，对于x＝应该成立．

8

3

ππ

－， 将x＝代入上式，得f(0)＝f48ππ

－＋acos－ ∴sin0＋acos0＝sin22∴0＋a＝－1＋a×0. ∴a＝－1.故选D.

解法三：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ的终边经过点(1，a)．其图象π

的对称轴方程为2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)，

2

kππφ

即x＝＋－(k∈Z)．

242令

kππφπ

＋－＝－(k∈Z)． 2428

3π

得φ＝kπ＋(k∈Z)．

4

π

但角φ的终边经过点(1，a)，故k为奇数，角φ的终边与－角的终边相同，∴a＝－1.

2解法四：y＝sin2x＋acos2x＝1＋a2sin(2x＋φ)，其中角φ满足tanφ＝a.因为f(x)的对称π轴为y＝－，

8

π

∴当x＝－时函数y＝f(x)有最大值或最小值，

8ππ－或－1＋a2＝f－， 所以1＋a2＝f88ππ－＋acos－即1＋a2＝sin44ππ－＋acos－. 或－1＋a2＝sin44解之得a＝－1.故选D. 答案：D

评析：本题给出了四种不同的解法，充分利用函数图象的对称性的特征来解题．解法一是运用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了数形结合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的图象关于直线x＝m对称的性质，取特殊值来求出待定系数a的值．解法三利π

kπ＋－φ

2π

用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴是方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)的解x＝(k∈Z)，然

ω2π

后将x＝－代入求出相应的φ值，再求a的值．解法四利用对称轴的特殊性质，在此处函

8ππ－＝[f(x)]max或f－＝[f(x)]min.从而转化为解方程问数f(x)取最大值或最小值．于是有f88题，体现了方程思想．由此可见，本题体现了丰富的数学思想方法，要从多种解法中悟出

4

，

其实质东西．

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) π

ωx－(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的7．(精选考题·福建)已知函数f(x)＝3sin6π

0，，则f(x)的取值范围是________． 对称轴完全相同．若x∈2

解析：∵f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同，∴f(x)与g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，πππππ5π1

2x－，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin2x－≤1，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin6626662π33

2x－≤3，即f(x)的取值范围为－，3. ∴－≤3sin622

3

－，3 答案：2

1

8．设函数y＝cosπx的图象位于y轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2，…，An，….

2则A50的坐标是________．

解析：对称中心横坐标为x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得． 答案：(99,0)

π

x＋的图象向左平移m个单位(m>0)，所得图象关于y轴对称，则9．把函数y＝cos3m的最小值是________．

πππ

解析：由y＝cos(x＋＋m)的图象关于y轴对称，所以＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－，

3332

当k＝1时，m最小为π.

3

2

答案：π

3

10．定义集合A，B的积A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．已知集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，则M×N所对应的图形的面积为________．

解析：如图所示阴影面积可分割补形为ABCD的面积即BC×CD＝π·2＝2π.

答案：2π

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步

5

骤．)

11．若方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解x1、x2，求a的取值范围，并求x1＋x2的值．

分析：设函数y1＝3sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形结合解答即可．

π

x＋，x∈[0,2π]． 解：设f(x)＝3sinx＋cosx＝2sin6π13ππ

令x＋＝t，则f(t)＝2sint，且t∈6，6.在同一平面直角坐标系中作出y＝2sint及y6＝a的图象，从图中可以看出当1＜a＜2和－2＜a＜1时，两图象有两个交点，即方程3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有两个不同的实数解．

当1＜a＜2时，t1＋t2＝π， ππ

即x1＋＋x2＋＝π，

662π

∴x1＋x2＝；

3

当－2＜a＜1时，t1＋t2＝3π， ππ

即x1＋＋x2＋＝3π，

668π

∴x1＋x2＝. 3

综上可得，a的取值范围是(1,2)∪(－2,1)． 当a∈(1,2)时，x1＋x2＝

2π； 38π. 3

当a∈(－2,1)时，x1＋x2＝

评析：本题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思想、数形结合的思想及换元法．解答本题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围，仍把t当成在[0,2π]中处理，从而出错．

12．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其图象经过点π1M3，2.

(1)求f(x)的解析式；

π312

0，，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值． (2)已知α，β∈2513解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1. π1

∵f(x)的图象经过点M3，2，

6

π1＋φ＝. ∴sin32π

∵0＜φ＜π⇒φ＝，

2π

x＋＝cosx. ∴f(x)＝sin2

π312

0，，所以 (2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝，f(β)＝cosβ＝，已知α，β∈2513sinα＝

324

1－5＝5，sinβ＝1225

1－13＝13.

故f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 3124556

＝×＋×＝.

51351365

π11

＋φ(0<φ<π)，其图13．(精选考题·山东)已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin222π1象过点6，2.

(1)求φ的值；

1

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)

2π

0，上的最大值和最小值． 的图象，求函数g(x)在4

π11

＋φ(0<φ<π)， 解：(1)因为f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin2221＋cos2x11

所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ

22211

＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ 221

＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ) 21

＝cos(2x－φ)， 2π1又函数图象过点6，2， π11

2×－φ， 所以＝cos622π即cos3－φ＝1， 又0<φ<π， π

所以φ＝.

3

7

π112x－，将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，(2)由(1)知f(x)＝cos322纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，可知

π1

4x－， g(x)＝f(2x)＝cos32π0，， 因为x∈4所以4x∈[0，π]， π2ππ

－，， 因此4x－∈333π1

4x－≤1. 故－≤cos32

π11

0，上的最大值和最小值分别为和－. 所以y＝g(x)在424

8