安徽省滁州市全椒县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题及答案

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题

1．抛物线y3x18的顶点坐标为（ ） A．1,8 2．反比例函数yA．k2

C．当x0时，y随x的增大而增大

B．1,8

C．1,8

D．1,8

2k

经过点(2,1)，则下列说法错误的是（ ） ．．x

B．函数图象分布在第一、三象限 D．当x0时，y随x的增大而减小

3．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP△△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）

A．△ABP=△C C．

APAB ABACB．△APB=△ABC D．

ABAC BPCB4．如图，已知A为反比例函数y

k

（x<0）的图像上一点，过点A作AB△y轴，x

垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）

A．2 B．-2 C．4 D．-4

5．如图，树AB在路灯O的照射下形成影子AC，已知路灯高PO5m，树影AC3m，树AB与路灯O的水平距离AP4.5m，点C、A、P在同一水平线上，则树的高度AB长是（ ）

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A．3m B．2m

2C．m

3D．

10m 36．如图，已知AB和CD是△O的两条等弦，OM△AB、ON△CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：△AB=CD；△OM=ON；△PA=PC；△△BPO=△DPO；正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE//BC，

EF//AB，若AD2BD，则

CF的值为（ ） BF

A．

121B．

31C．

42D．

38．如图是一架人字梯，已知ABAC2米，AC与地面BC的夹角为，则两梯脚之间的距离BC为（ ）

试卷第2页，共7页

A．4cos米 B．4sin米 C．4tan米 D．

4

米 cos9．如图，矩形纸片ABCD，AD:AB2:1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A，B，连接AA并延长交线段CD于点

G，则

EF的值为（ ） AG

A．2 22B．

3C．

12D．5 310．在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF//AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BPx，OEF的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象为（ ）

A． B．

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C． D．

二、填空题 11．若

xy3y，则________． x2x12．如图，OA、OB是O的半径，点C在O上，AOB30，OBC40，则

OAC______．

13．如图，在矩形ABCD中，DEAC，垂足为点E．若sinADEAB的长为______．

4，AD4，则5

14．如图（1），四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，将正方形AEFG绕点A旋转，连接BE、CF．

（1）FC:BE的值为______．

（2）当G、F、C三点共线时，如图（2），若AB5、AE5，则BE ______． 三、解答题

15．计算：2cos304tan603

16．如图，在ABC和DEC中，AD，BCEACD．

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0

（1）求证：△ABC△DEC； （2）若SABC:SDEC4:9，BC6，求EC的长．

17．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y12x56． 6

(1)求落水点C、D之间的距离；

(2)若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，EFOD，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．

18．△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示

（1）以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使ABC与△A1B1C1的位似比为1：2，且△A1B1C1位于点C的异侧；

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（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形A2B2C；

19．如图，一艘快艇A在小岛B的西南方向上相距202海里处，另-艘快艇C在快艇A的正东方向上，而小岛B在快艇C的北偏东32°的方向上，已知快艇A的速度是402海里/时，若快艇A、C同时出发且同时到达小岛B，求快艇C的速度（精确到个

位，参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.6）

20．如图，AB为△O的直径，点C在△O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．

（1）求证：AE=AB；

（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．

21．如图，已知一次函数y1kxb与反比例函数y2于A(6,1)，B(a,3)两点，连接OA，OB．

m的图象在第一、三象限分别交x试卷第6页，共7页

（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）AOB的面积为______； （3）直接写出y1y2时x的取值范围．

22．在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数yx2pxq的图象过点(1,0)，

(2,0)．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当2x1时，y的最大值与最小值的差；

（3）一次函数y(2m)x2m的图象与二次函数yx2pxq的图象交点的横坐标分别是a和b，且a3b，求m的取值范围．

23．如图，E是矩形ABCD边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，连接PC，过点A作AQ∥PC交PD于点Q．

(1)求证：PC2AQ；

(2)已知AD2PDDE，AB10，AD12，求BF的长； (3)当F是BC的中点时，求AP:PF的值；

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参考答案：

1．A 【解析】 【分析】

根据抛物线的顶点式即可求解． 【详解】

解：抛物线y3x18的顶点坐标为1,8，

2故选：A 【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h． 2．C 【解析】 【分析】

将点（2,1）代入y【详解】

将点（2,1）代入y

k

中，解得：k=2， x

k

中求出k值，再根据反比例函数的性质对四个选项逐一分析即可． x

A．k=2，此说法正确，不符合题意；

B．k=2﹥0,反比例函数图象分布在第一、三象限，此书说法正确，不符合题意； C．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法错误，符合题意；

D．k=2﹥0且x﹥0，函数图象位于第一象限，且y随x的增大而减小，此说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】

本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，理解函数图象上的点与解析式的关系是解答的关键． 3．D 【解析】

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【详解】

试题分析：A．当△ABP=△C时，又△△A=△A，△△ABP△△ACB，故此选项错误； B．当△APB=△ABC时，又△△A=△A，△△ABP△△ACB，故此选项错误； C．当

APAB时，又△△A=△A，△△ABP△△ACB，故此选项错误； ABACD．无法得到△ABP△△ACB，故此选项正确． 故选D．

考点：相似三角形的判定． 4．D 【解析】 【分析】

设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案. 【详解】

设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n， △S△ABO=△

1ABOB=2， 2mn2， 2△mn=-4，

又△点A在反比例函数y△n=

k， mk(x<0)的图象上， x△k=mn=-4， 故选D. 【点睛】

本题考查了反比例函数y内容是解题的关键. 5．B 【解析】 【分析】

k(k≠0)图象上点的坐标特征以及k的几何意义，熟练掌握相关x答案第2页，共21页

结合题意，根据相似三角形的性质，通过证明△ACB∽△PCO，得计算，即可得到答案． 【详解】

根据题意，得：AB//OP △CABCPO △ACBPCO △△ACB∽△PCO △

ABAC，根据相似比POCPABAC POCP△AC3m，AP4.5m △CPACAP7.5m △ABACPO352m CP7.5故选：B． 【点睛】

本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 6．D 【解析】 【分析】

如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB△Rt△OND，Rt△OPM△Rt△OPN即可解决问题． 【详解】

解：如图连接OB、OD；

△AB=CD，

△AB=CD，故△正确；

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△OM△AB，ON△CD， △AM=MB，CN=ND， △BM=DN， △OB=OD，

△Rt△OMB△Rt△OND， △OM=ON，故△正确； △OP=OP，

△Rt△OPM△Rt△OPN，

△PM=PN，△OPB=△OPD，故△正确； △AM=CN，

△PA=PC，故△正确， 综上，四个选项都正确， 故选：D． 【点睛】

本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题． 7．A 【解析】 【分析】

根据平行线分线段成比例定理得出【详解】

△DE//BC，EF//AB，AD2BD，

ADAEBF2， 即可得出答案． BDECCFADAEAEBF2， 2，

ECCFBDECCF1． △

BF2△

故选：A． 【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解题的关键是掌握一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． 8．A

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【解析】 【分析】

根据等腰三角形的性质得到BDDC【详解】

过点A作ADBC，如图所示：

1BC，根据余弦的定义即可，得到答案． 2

△ABAC，ADBC， △BDDC， △coDC， AC△DCACcos2cos， △BC2DC4cos， 故选：A． 【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用，明确等腰三角形的性质是解题的关键． 9．A 【解析】 【分析】

根据折叠性质则可得出EF是AA的垂直平分线，则由直角三角形性质及矩形性质可得△AEO=△AGD，△FHE＝△D＝90°，根据相似三角形判定推出△EFH△△GAD，再利用矩形判定及性质证得FH＝AB，即可求得结果． 【详解】

解：如图，过点F作FH△AD于点H，

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△点A，B的对应点分别为A，B， △EAEA，FBFB， △EF是AA＇的垂直平分线． △△AOE=90°．

△四边形ABCD是矩形， △△BAD＝△B＝△D＝90°． △△OAE＋△AEO=△OAE＋△AGD， △△AEO=△AGD． △FH△AD，

△△FHE＝△D＝90°． △△EFH△△GAD． △

EFFH． AGAD△△AHF＝△BAD＝△B＝90°， △四边形ABFH是矩形． △FH＝AB． △

EFFHAB12； AGADAD22故选：A． 【点睛】

本题考查了矩形的折叠问题，掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．B 【解析】 【分析】

分析EF与x的关系，他们的关系分两种情况：△当P在OB上时；△当P在OD上时依情

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况来判断抛物线的开口方向． 【详解】

解：△四边形ABCD是正方形， △AC＝BD＝2，OB＝OD＝

12BD1，

△当P在OB上时，即0≤x≤1， △EF△AC， △△BEF△△BAC， △EF：AC＝BP：OB， △EF＝2BP＝2x，

△y＝EF•OP＝×2x·1x＝-x2+x； △当P在OD上时，即1＜x≤2， △EF△AC， △△DEF△△DAC， △EF：AC＝DP：OD， 即EF：2=2x：1， △EF＝2（2﹣x），

11?x1＝-x23x2， △y＝EF•OP＝22x221212这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：

二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数． 当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下． 根据题意可知符合题意的图象只有选项B． 故选B． 【点睛】

本题主要考查了动点问题的函数图象、二次函数的性质等知识点，利用三角形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键. 11．2 【解析】 【分析】

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1直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案． 【详解】 xy3， x22x2y3x，

故2y=x， 则y1， x21故答案为．

2【点睛】

本题考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键． 12．25 【解析】 【分析】

连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到△BOC=100°，求出△AOC，根据等腰三角形的性质计算． 【详解】 解：连接OC，

△OC=OB，

△△OCB=△OBC=40°， △△BOC=180°-40°×2=100°， △△AOC=100°+30°=130°， △OC=OA，

△△OAC=△OCA=25°， 故答案为：25． 【点睛】

本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和

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等于180°是解题的关键． 13．3 【解析】 【分析】

在Rt△ADE中，由正弦定义解得AE16，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角5相等，得到sinADEsinECD，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题． 【详解】

解：在Rt△ADE中，

sinADEAD4

AEDEAE4 AD516 5AD2AE242(16212) 55DEAC

ADEEDCEDCECD90 ADEECD

sinADEsinECDCDDE53 4DE4 CD5在矩形ABCD中，

ABCD3

故答案为：3． 【点睛】

本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14． 【解析】 【分析】

△连接AF，AC，根据正方形及直角三角形的性质可得：

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ACAF2，ABAE2 10 BACEAF45，结合图形利用各角之间的数量关系得出BAECAF，依据相似

三角形的判定定理及性质即可得出结果； △连接AC，则

ACG为直角三角形，由正方形的四条边相等及勾股定理得出AC52，

CG35，结合图形得出FC25，利用△中结论代入求解即可得．

【详解】

解：△如图所示，连接AF，AC，

根据正方形及直角三角形的性质可得： ACAF2，BACEAF45， ABAE∴BACEACEAFEAC，即BAECAF， 在∵

ABE与ACF中，

ACAF2， ABAEBAECAF，

∴∴

ABE~ACF，

FCAC2； EBAB△如图所示：连接AC，则ACG为直角三角形，

∵FGAGAE5，ABBC5， ∴ACAB2BC252，

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∴CGAC2AG25225235，

∴FCCGGF25， 由结论△可得： BE2FC10， 2故答案为：△2；△10． 【点睛】

题目主要考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 15．31 【解析】 【分析】

先求特殊角三角函数值、0指数和绝对值，再计算即可． 【详解】 解：原式23133 23133 31

【点睛】

本题考查了特殊角三角函数值、0指数和绝对值，解题关键是熟记特殊角三角函数值，熟练求0指数和绝对值，准确进行计算． 16．（1）证明见解析；（2）9． 【解析】 【分析】

（1）先根据角的和差可得ACBDCE，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】

证明：（1）BCEACD，

BCEACEACDACE，即ACBDCE，

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ACBDCE在ABC和DEC中，，

ADABCDEC；

（2）由（1）已证：△ABC△DEC，

SSSABCDECBC， EC:S2DEC2ABC4:9，BC6，

46， EC9解得EC9或EC9（不符题意，舍去）， 则EC的长为9． 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 17．(1)22米 (2)雕塑EF的高为【解析】 【分析】

（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；

（2）代入x＝10求出y值即可． (1)

解：当y＝0时，012x56， 611米 6解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11， ∴点D的坐标为（11，0）， ∴OD＝11m．

∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同， ∴OC＝OD＝11m， ∴CD＝OC+OD＝22m．

答案第12页，共21页

(2)

解：△OE10，EFOD， 当x＝10时，y∴点F（10，

11121056=， 6611） 611米． 6△雕塑EF的高为【点睛】

本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标．

18．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据位似的性质，结合正方形网格和位似比作图，即可得到答案；

（2）结合正方形网格，根据勾股定理逆定理、旋转的性质，得ACA2C、ACA290，再根据位似的性质作图，即可得到答案． 【详解】 （1）如下图：

答案第13页，共21页

△A1B1C1即为所求；

（2）如下图：

△边长为1的正方形网格

△ACA2C222222，AA24

222△AA2ACA2C

△ACA290

A2B2C即为所求．

【点睛】

本题考查了位似、旋转、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．

19．快艇C的速度为47海里/时 【解析】 【分析】

先求出快艇A到达B用的时间，作BDAC垂足为D，在Rt△ABD中由正弦求出BD长，再在Rt△BCD中由正弦求出BC长即快艇C的路程，即可求解. 【详解】

解：作BDAC垂足为D，

答案第14页，共21页

△AB202 vA402，

△快艇A到达B的时间为2024020.5（小时） 在Rt△ABD中 sin45BD， AB220， 2△BDABsin45202在Rt△BCD中 sin58BCBD BCBD2023.5， sin580.85vC23.50.547（海里/时）

答：快艇C的速度为47海里/时． 【点睛】

此题考查解直角三角形.求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 20．（1）见解析；（2）CD【解析】 【分析】

(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得△OCB＝△E,即可推出△ABE＝△E,AE=AB． (2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC△△ECA得出相似比,求出CD即可． 【详解】

24． 5答案第15页，共21页

（1）证明：连接OC △CD与△O相切于C点 △OC△CD 又△CD△AE △OC//AE △△OCB＝△E △OC=OB △△ABE＝△OCB △△ABE＝△E △AE=AB （2）连接AC △AB为△O的直径 △△ACB＝90° △AC102628 △AB=AE，AC△BE △EC=BC=6

△△DEC＝△CEA, △EDC＝△ECA △△EDC△△ECA △

DCEC ACEA△CDEC624AC8． EA105【点睛】

答案第16页，共21页

本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解． 21．（1）y1【解析】 【分析】

（1）把A代入反比例函数，根据待定系数法即可求得m，得到反比例函数的解析式，然后将B(a,3)代入，求得a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与x轴交点坐标，再利用面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的x取值范围． 【详解】

解：（1）把A(6,1)代入反比例函数y2m=6，

△反比例函数的解析式为y26， xm图像上， xm得： x16x2，y2；（2）8；（3）-2＜x＜0或x＞6.

x2△B(a,3)点在反比例函数y2△-3a=6，解得a=-2， △B（-2，-3），

△一次函数y1=kx+b的图象经过A和B，

116kbk△2， ，解得：32kbb21△一次函数的解析式为y1x2；

2（2）△A(6,1)，B(2,3)，一次函数的解析式为y11x2， 2令y=0，解得：x=4，即一次函数图像与x轴交点为（4，0），

1△S△AOB=4138，

2故答案为：8； （3）由图象可知：

y1y2时，即一次函数图像在反比例函数图像上方，

x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞6.

答案第17页，共21页

【点睛】

此题是考查一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用． 22．（1）yx2x2；（2）【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法将点(1,0)，(2,0)代入解析式中解方程组即可； （2）根据（1）中函数关系式得到对称轴x最大值，当x1，从而知在2x1中，当x=-2时，y有225；（3）m1． 41时，y有最小值，求之相减即可； 2（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出>0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据a3b，整理得出m的取值范围． 【详解】

解：（1）△yx2pxq的图象过点(1,0)，(2,0)，

1pq0△ 42pq0p1 解得q2△yx2x2

（2）由（1）得，二次函数对称轴为x1 2△当2x1时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,

911y的最小值为2 422925△y的最大值与最小值的差为4；

442（3）由题意及（1）得

y2mx2m yx2x2答案第18页，共21页

2整理得x3mx4m0

即(x1)x4m0

△一次函数y(2m)x2m的图象与二次函数yx2pxq的图象交点的横坐标分别是

a和b，

△3m44m0 化简得m210m250 即m50 解得m≠5

△a，b为方程(x1)x4m0的两个解 又△a3b △a=-1，b=4-m 即4-m>3 △m<1

综上所述，m的取值范围为m1． 【点睛】

本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识．解题的关键是熟记二次函数图象的性质． 23．(1)见解析 (2)BF(3)

25 622AP2 PF3【解析】 【分析】

（1）判断出AEQCDP，AQECPD进而得△AEQ～△CDP，即可得出结论； （2）先判断出△ADP～△EDA，得出DAPDEA，进而判断出DEAAFB，再判断出

△DAE～△ABF，即可得出结论；

（3）先判断出△ADE≌△BGE，得出ADBG，进而判断出GCBGBC2AD，再判

答案第19页，共21页

断出AD2BF，BG2BF，进而判断出 AD2BF2，判断出△ADP～△FGP，即可得出结论． (1)

证明：△AQ∥PC △AQECPD △AE∥CD △AEDCDE △△AEQ～△CDP △

AQAEPCCD △E为AB中点 △AE1CD2 △

AQ1PC2 △PC2AQ (2)

解：△AD2PDDE △

ADDEPDAD 又△EDAADP △△ADP～△EDA △DAPDEA △DAPAFB △DEAAFB

又△DAEABF △△DAE～△ABF △

AD125ABAEBF， 10BF △BF256 故答案为：256 (3)

GF3BF3答案第20页，共21页

解：延长DE交CB的延长线于点G

△E为AB中点

△AEBE， DAEGBE， AEDBEG △△ADE≌△BGE △ADBG △AD∥BC △△ADP～△FGP APADAD2△PFGF3

AD322故答案为：．

3【点睛】

此题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．

答案第21页，共21页