测试技术课后题答案

atx(t)Ae(a0,t0)的频谱。 1-3 求指数函数

X(f)x(t)ej2ftdtAee0atj2fte(aj2f)tdtA(aj2f)0AA(aj2f)2aj2fa(2f)2X(f)ka(2f)

22

(f)arctanImX(f)2farctanReX(f)a

1-5 求被截断的余弦函数cosω0t(见图1-26)的傅里叶变换。

cosω0tx(t)0tTtT

解：x(t)w(t)cos(2f0t) W(f)2Tsinc(2Tf)

1j2f0tj2f0t11eex(t)w(t)ej2f0tw(t)ej2f0t222 所以

cos(2f0t)根据频移特性和叠加性得：

11X(f)W(ff0)W(ff0)22Tsinc[2T(ff0)]Tsinc[2T(ff0)]

可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

1-6 求指数衰减信号

x(t)eatsinω0t的频谱

解 :

sin(0t)1j0tj0t1j0tj0teex(t)eatee2j2j,所以

1

单边指数衰减信号

x1(t)eat(a0,t0)的频谱密度函数为

1aj2aja2

X1(f)x(t)1ejtdteatejtdt0根据频移特性和叠加性得：

11aj(0)aj(0)X()X1(0)X1(0)2j2ja2(0)2a2(0)20[a2(202)]2a02j[a(0)2][a2(0)2][a2(0)2][a2(0)2]

1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cosω0t(ω0ωm)。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡cosω0t叫做载波。试求调幅信号f(t)cosω0t的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若ω0ωm时将会出现什么情况？

解：x(t)f(t)cos(0t) F()F[f(t)]

1j0tj0t11eex(t)f(t)ej0tf(t)ej0t222 所以

cos(0t)根据频移特性和叠加性得：

X(f)11F(0)F(0)22

可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线

高度减小一半。

2

若ω0ωm将发生混叠。

2-2 用一个时间常数为0.35s的一阶装置去测量周期分别为1s、2s和5s的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？

11H()H(s)1j s1，解：设一阶系统

A()H()11()2

1221()T，T是输入的正弦信号的周期

58.6%T1s32.7%T2s8.5%T5sA1100% 稳态响应相对幅值误差，将已知周期代入得

2-3 求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t−45)通过传递函数为

H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。

11A()H()1(0.005)21j0.005解：，，()arctan(0.005)

该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y(t)，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠

加性得到y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t−45+2)

其中

3

y01A(10)x0111(0.00510)20.50.499，

1(10)arctan(0.00510)2.86

11(0.005100)2y02A(100)x020.20.179

2(100)arctan(0.005100)26.57

所以稳态响应为y(t)0.499cos(10t2.86)0.179cos(100t71.57)

2-5 想用一个一阶系统做100Hz正弦信号的测量，如要求振幅误差在5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？

11j，  是时间常数

解：设该一阶系统的频响函数为

11()2H()A() 则 1A()1100%121(2f) 稳态响应相对幅值误差100%

令≤5%，f=100Hz，解得≤523s。

如果f=50Hz，则相对幅值误差：

4

1121(2f)

1100%1621(25231050)100%1.3%

6()arctan(2f)arctan(25231050)9.33 相角差：

2-7 将信号cost输入一个传递函数为H(s)=1/(s+1)的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输出y(t)的表达式。

ss22，所以

解答：令x(t)=cost，则

X(s)

Y(s)H(s)X(s)1ss1s22

利用部分分式法可得到

1111111()21s2(1j)sj2(1j)sjY(s)



利用逆拉普拉斯变换得到

t111jtjty(t)L[Y(s)]eee1()22(1j)2(1j)1tjtjtjtjt1eej(ee)e1()22[1()2]1t/costsinte21()11()2cos(tarctan)et/1()2

5