一．选择题（共10小题）.
1．设集合S＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{3，5，9}，B＝{1，3，7，9}，则（∁SA）∩B＝（ ） A．{1，7} 2．若z＝1+2i，则A．i 3．若x，y满足A．0
B．{3，9} ＝（ ） B．﹣i
C．1
D．﹣1
C．{1，5，7}
D．{1，7，9}
，则2x+y的最大值为（ ） B．3
C．4
D．5
4．一个圆锥的母线与其轴所成的角为60°，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ） A．5．函数
B．π
C．
π
D．
π
的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“m∥n”是“α⊥β”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
7．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 8．已知双曲线
的右焦点为F（c，0），右顶点为A，过F作AF
的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a+c，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．
B．（﹣1，0）∪（0，1） D．
9．已知a，b∈R，且ab≠0，若（lnx﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0在x＞0上恒成立，则（ ） A．a＜0，b＜0
B．a＜0，b＞0
C．a＞0，b＜0
D．a＞0，b＞0
10．设集合S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对任意x，y∈S，若x≠y，则x+y∈T；②对任意x，y∈T，若x≠y，则x﹣y∈S．下列说法正确的是（ ） A．若S有2个元素，则S∪T有4个元素 B．若S有2个元素，则S∪T有3个元素 C．存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素 D．存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素 二、填空题：本大题共7小题，共36分.
11．《九章算术》商功中有如下问题：今有阳马，广三尺，袤四尺，高五尺，问积如何？“阳马”这种几何体三视图如图所示，则体积为 ，最长棱长为 ．
12．若
和是 ．
的展开式的常数项为2，则a＝ ，所有项系数的绝对值之
13．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若则B＝ ，S△ABC＝
，，c＝2，
14．设直线l：mx+ny+1＝0（m＞﹣1，n＞﹣1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，若直线l与圆相切，则m+3n的最小值为 ．
15．六个人排成一排，若甲、乙、丙均互不相邻，且甲、乙在丙的同一侧，则不同的排法有 ．
16．甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2个黑球；乙袋装有一个白球，3个黑球；现从甲、乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的个数为ξ，则P（ξ＝2）＝ ，E（ξ）＝ ． 17．已知足
是空间单位向量，（x，y∈R），||＝2，则|
，若空间向量满
|的最大值是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．已知函数变，再向左平移最大值为
．
，将y＝f（x）的图象横坐标变为原来的，纵坐标不
个单位后得到g（x）的图象，且y＝g（x）在区间
内的
（1）求m的值； （2）在锐角△ABC中，若
，求tanA+tanB的取值范围．
19．如图，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AA1＝CC1＝2，BB1＝1，AD＝DD1＝4． （Ⅰ）证明：A1C1⊥平面CDD1C1；
（Ⅱ）求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．
20．已知正项数列{an}，{bn}满足{an}是首项为1，公差为d的等差数列，
．
（Ⅰ）求{bn}的通项公式； （Ⅱ）若数列{cn}满足c1＝1+明：
+
+…+
＜
，（cn﹣cn﹣1）
．
，证
21．已知椭圆
C1右焦点F，且与直线x＝﹣1相切．
的长轴长为4，离心率为，一动圆C2过椭圆
（1）求椭圆C1的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；
（2）过F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C1于P，Q两点，交曲线C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值．
22．设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）ex，其中a∈R． （Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若0＜a＜，
（ⅰ）证明f（x）恰有两个零点；
（ⅱ）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．
参
一．选择题（共10小题）.
1．设集合S＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{3，5，9}，B＝{1，3，7，9}，则（∁SA）∩B＝（ ） A．{1，7}
B．{3，9}
C．{1，5，7}
D．{1，7，9}
解：∵S＝{1，3，5，7，9}，A＝{3，5，9}，B＝{1，3，7，9}， ∴∁SA＝{1，7}，（∁SA）∩B＝{1，7}． 故选：A． 2．若z＝1+2i，则A．i
解：z＝1+2i， z•＝12+22＝5， 则
＝
＝＝﹣i，
＝（ ） B．﹣i
C．1
D．﹣1
故选：B． 3．若x，y满足A．0
解：作出不等式组设z＝2x+y得y＝﹣2x+z， 平移直线y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大， 此时z最大． 由
，解得
，即A（1，2），
，则2x+y的最大值为（ ） B．3
C．4
D．5
对应的平面区域如图：（阴影部分）．
代入目标函数z＝2x+y得z＝1×2+2＝4． 即目标函数z＝2x+y的最大值为4． 故选：C．
4．一个圆锥的母线与其轴所成的角为60°，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（A．
B．π
C．
π
D．
π
解：如图所示，
设圆锥的母线为l，底面圆半径为r，
因为∠ABO＝60°，所以＝sin60°，解得r＝l，
所以底面圆的周长为2πr，
所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 θ＝
＝
＝
π．
故选：D． 5．函数
的大致图象是（ ）
A． B．
） C． D．
解：f（﹣x）＝
＝当x→0，故选：D．
•→1，
，
＝＝f（x），则f（x）是偶函数，排除A，C，
→1，则f（x）→1，排除B，
6．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊥α，n⊂β，则“m∥n”是“α⊥β”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解：若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，所以α⊥β，即“m∥n”是“α⊥β”的充分条件；
若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m⊂β，又n⊂β，所以m，n的关系不确定， 即“m∥n”是“α⊥β”的不必要条件； 所以“m∥n”是“α⊥β”的充分不必要条件． 故选：A．
7．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a1＜a2，则a2
D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；若a1+a3＜0，则a1+a2＝2a1+d＜0，a2+a3＝2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；
{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2＝a1+a3＞2
，∴a2＞
，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝﹣d2≤0，即D不正确． 故选：C． 8．已知双曲线
的右焦点为F（c，0），右顶点为A，过F作AF
的垂线与双曲线交于B、C两点，过B、C分别作AC、AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a+c，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．
解：由题意，A（a，0），B（c，
B．（﹣1，0）∪（0，1） D．
），C（c，﹣
），
由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x，0）， 则由BD⊥AB，得
•
＝﹣1，∴c﹣x＝
，
∵D到直线BC的距离小于a+c，∴|c﹣x|＝||＜a+c，
∴＜c2﹣a2＝b2，∴0＜＜1，
∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）． 故选：B．
9．已知a，b∈R，且ab≠0，若（lnx﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0在x＞0上恒成立，则（ ） A．a＜0，b＜0
B．a＜0，b＞0
C．a＞0，b＜0
D．a＞0，b＞0
解：令lnx﹣a＝0，得x＝ea，
假设b＜0时，则（lnx﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0， 所以（lnx﹣a）（x﹣a﹣b）≥0，
当x＞ea时，lnx﹣a＞0，而ea＞a，故x﹣a﹣b＞0，在x＞ea成立， 当0＜x＜ea时，lnx﹣a＜0，此时需成立x﹣a﹣b≤0，即x≤a+b， 而x≤a+b对x∈（0，ea）恒成立，所以ea≤a+b， 又已知b＜0，故ea＜a与ea＜a矛盾，故b＞0不成立， 因为lnx﹣a的正负性与x﹣ea的正负性一致，
所以任意x＞0，（lnx﹣a）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0⇔任意x＞0，（x﹣ea）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0，
假设a＞0，则ea，b，a+b均大于0，且a+b＞b，
下证当a＞0，b＞0时，任意x＞0，（x﹣ea）（x﹣b）（x﹣a﹣b）≥0恒成立， ①ea≥a+b，令x＝，则（﹣ea）（﹣b）（﹣a﹣b）＜0， ②b≤ea＜a+b，令x＝﹣b）＜0，
③ea＜b，令x＝b+，（+b﹣ea）（b+﹣b）（b+﹣a﹣b）＜0， 综上，可知a＞0不成立，故a＜0， 所以a＜0，b＞0， 故选：B．
10．设集合S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对任意x，y∈S，若x≠y，则x+y∈T；②对任意x，y∈T，若x≠y，则x﹣y∈S．下列说法正确的是（ ） A．若S有2个元素，则S∪T有4个元素 B．若S有2个元素，则S∪T有3个元素 C．存在3个元素的集合S，满足S∪T有5个元素 D．存在3个元素的集合S，满足S∪T有4个元素
解：由条件②可知集合S中的元素必成对出现，他们互为相反数，
若S有2个元素，不妨设S＝{a，﹣a}（a≠0），由条件①可知集合T中必含有元素0，若T的另一个元素为a（或﹣a），显然符合条件②， 若T的另一个元素不是a或﹣a，不妨设为c（c≠±a），
，则（
﹣ea）（
﹣b）（
﹣a
则由条件②可知c，﹣c也是S的元素，与S只有2个元素矛盾， ∴S∪T＝{a，﹣a，0}，故A错误，B正确；
若S有3个元素，则0必然是S的元素，设S＝{a，0，﹣a}，则由条件①可知S⊆T， 再由条件②可知2a∈S，﹣2a∈S，与S有3个元素矛盾，
故不存在3个元素的集合S，满足条件①，②，故C错误，D错误． 故选：B．
二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题6分
11．《九章算术》商功中有如下问题：今有阳马，广三尺，袤四尺，高五尺，问积如何？“阳马”这种几何体三视图如图所示，则体积为 10 ，最长棱长为
．
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体； 如图所示：
所以：V＝
，
故答案为：20；512．若
．
，
的展开式的常数项为2，则a＝ 1 ，所有项系数的绝对值之和
是 32 ． 解：∵
的通项公式为Tr+1＝
﹣
•（﹣1）r•x2r，
∴的展开式的常数项为×（﹣1）+a•＝2，则a＝1．
所有项系数的绝对值之和，即（x+a）• 的各项系数和，
令x＝1，可得为（x+a）•故答案为：1；32．
的各项系数和（1+a）•24＝32，
13．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若则B＝ 解：因为可得sinB＝
，S△ABC＝ 2
，
，，c＝2，
，又由正弦定理可得
cosB，即tanB＝
，
因为B∈（0，π）， 所以B＝又所以
， ，c＝2， ＝
，可得sinC＝，
由c＜b，可得C为锐角，可得C＝所以S△ABC＝bc＝故答案为：
，2
．
＝2
，可得A＝π﹣B﹣C＝．
，
14．设直线l：mx+ny+1＝0（m＞﹣1，n＞﹣1），圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，若直线l与圆相切，则m+3n的最小值为
﹣4 ．
解：圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1的圆心坐标为C（1，1），半径为1， ∵直线l与圆C相切，∴
，
整理得，2mn+2m+2n+1＝0，即m＝∴m+3n＝＝3（n+1）+
．
， ＝3n﹣1+
∵m＞﹣1，n＞﹣1，∴n+1＞0， 则m+3n＝3（n+1）+当且仅当
∴m+3n的最小值为故答案为：
．
，即n＝﹣1+
．
，m＝
．
时等号成立．
15．六个人排成一排，若甲、乙、丙均互不相邻，且甲、乙在丙的同一侧，则不同的排法有 96 ．
解：将除甲、乙、丙的三人全排列，再将甲乙丙插入所成的空中，
因为甲、乙和丙的顺序有A33＝6种，其中在甲、乙在丙的同一侧的顺序4种， 故不同的排法有A33A43＝96种， 故答案为：96．
16．甲、乙两袋装有除颜色外其余均相同的白球和黑球若干个，其中甲袋装有2个白球，2个黑球；乙袋装有一个白球，3个黑球；现从甲、乙两袋中各抽取2个球，记取到白球的个数为ξ，则P（ξ＝2）＝
，E（ξ）＝
．
解：由题意可得：ξ＝0，1，2，3， P（ξ＝0）＝
＝
，P（ξ＝1）＝
＝
，P（ξ＝2）＝
＝
可得其分布列： ξ P（ξ） E（ξ）＝0×
0 +1×
，P（ξ＝3）＝＝，
1
+2×
+3×
＝，
2
3
故答案为：17．已知足
，．
是空间单位向量，（x，y∈R），||＝2，则|
|的最大值是
，若空间向量满 ．
，
解：空间向量满足由||＝2， 整理得
即x2+y2+xy＝4， 又
由于x2+y2≥2xy，
，
（x，y∈R），
＝，
所以由x2+y2+xy＝4，整理得3xy≤4， 即
，
＝
，
所以|x+y|2＝x2+y2+2xy＝x2+y2+xy+xy故所以故答案为：
． ，
＝
．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18．已知函数变，再向左平移最大值为
．
，将y＝f（x）的图象横坐标变为原来的，纵坐标不
个单位后得到g（x）的图象，且y＝g（x）在区间
内的
（1）求m的值； （2）在锐角△ABC中，若解：（1）再向左平移
，求tanA+tanB的取值范围． 的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，
个单位后得到g（x）的图象，
则∴（2）
，∵，∴
，∴m＝0． ∴
，
，
∴
＝
∵△ABC是锐角三角形， ∴
，
即 tanA+tanB的取值范围为（4+2
，+∞）．
，
19．如图，已知多面体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1，BB1，CC1，DD1均垂直于平面ABCD，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AA1＝CC1＝2，BB1＝1，AD＝DD1＝4． （Ⅰ）证明：A1C1⊥平面CDD1C1；
（Ⅱ）求直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，连接AC， ∵AA1∥CC1，且AA1＝CC1，
∴四边形ACC1A1为平行四边形，即A1C1∥AC．
又底面ABCD为等腰梯形，且AB＝BC＝CD＝2，AD＝4，∴AC⊥CD． ∵CC1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴CC1⊥AC．
又CD∩CC1＝C，∴AC⊥平面CDD1C1，
∴A1C1⊥平面CDD1C1； （Ⅱ）解：法一、由题意得点M，连接BM，AC．
∵BM∥AC∥A1C1，BM⊄平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1， ∴BM∥平面A1B1C1，
∴点B到平面A1B1C1的距离和点M到平面A1B1C1的距离相等． 由（Ⅰ）知A1C1⊥平面CDD1C1， 又A1C1⊂平面A1B1C1， ∴平面A1B1C1⊥平面CDD1C1．
过点M作MH⊥GD1于点H，则MH⊥平面A1B1C1， 即点M到平面A1B1C1的距离为
．
，延长DC，D1C1，AB，A1B1交于点G，取CG中
设直线BC1与平面A1B1C1所成的角为θ， 则
，
即直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为；
解法二、以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，过点D且垂直于平面ADD1A1的直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则
，
设平面A1B1C1的法向量
，
．
，
由，令x＝1，得．
设直线BC1与平面A1B1C1所成的角为θ， 则
，
即直线BC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为．
20．已知正项数列{an}，{bn}满足{an}是首项为1，公差为d的等差数列，
．
（Ⅰ）求{bn}的通项公式； （Ⅱ）若数列{cn}满足c1＝1+明：
+
+…+
＜
，（cn﹣cn﹣1）
．
，证
解：（Ⅰ）∵＝，①
∴，
当n≥2时，，②
①②作差得，
检验b1也符合，又{bn}为正项数列， 故
；
，
证明：（Ⅱ）由得∴
， ，
.....．
．
累加得∵c1＝1+故
，
，c1也符合，
， ，
，
则
又{an}为正项数列，故d＞0， ∴
+
+
…
+
，
＝
＜＜．
21．已知椭圆
C1右焦点F，且与直线x＝﹣1相切．
的长轴长为4，离心率为，一动圆C2过椭圆
（1）求椭圆C1的方程及动圆圆心轨迹C2的方程；
（2）过F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C1于P，Q两点，交曲线C2于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值． 解：（1）由已知可得
，
则所求椭圆方程．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线C的
焦点为（1，0），准线方程为x＝﹣1，则动圆圆心轨迹方程为（2）当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝4， 此时PQ的长即为椭圆长轴长，|PQ|＝4， 从而
．
．
设直线MN的斜率为k，则k≠0，直线MN的方程为：y＝k（x﹣1）， 直线PQ的方程为
，
设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）， 由
，消去y可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
由抛物线定义可知：，
由，消去y得（3k2+4）x2﹣8x+4﹣12k2＝0，
从而，
∴
令1+k2＝t， ∵k＞0，则t＞1， 则
，
，
所以，
所以四边形PMQN面积的最小值为8．
22．设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）ex，其中a∈R．
（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若0＜a＜，
（ⅰ）证明f（x）恰有两个零点；
（ⅱ）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2． 【解答】（I）解：f′（x）＝﹣[aex+a（x﹣1）ex]＝a≤0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增． （II）证明：（i）由（I）可知：f′（x）＝
，x∈（0，+∞）．
，x∈（0，+∞）．
令g（x）＝1﹣ax2ex，∵0＜a＜，可知：g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1﹣ae＞0． 且g（ln）＝1﹣a
＝1﹣
＜0，
∴g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．
即函数f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减． ∴x0是函数f（x）的唯一极值点．
令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝
，
可得h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1． f（ln）＝ln（ln）﹣a（ln﹣1）∵f（x0）＞f（1）＝0．
∴函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点． 又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1． 因此函数f（x）恰有两个零点；
（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a
＝1，lnx1＝a（x1﹣1）
，
＝ln（ln）﹣（ln﹣1）＜0．
∴lnx1＝，即＝，
∵x＞1，可得lnx＜x﹣1． 又x1＞x0＞1，
故＜＝，
取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1）， 化为：3x0﹣x1＞2．
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