2019年全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知集合M{x4x2}，N{xx2x60，则MA．{x4x3

N=

D．{x2x3

B．{x4x2 C．{x2x2

2．设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A．(x+1)y1

22B．(x1)y1 C．x(y1)1 D．x(y+1)1

222222alog20.2，b20.2，c0.20.3，则 3．已知 A．abc

B．acb

C．cab

D．bca

4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

512（

51

≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人2

51．若某人满足上述两个黄金2体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是

A．165 cm 5．函数f(x)=

B．175 cm C．185 cm D．190 cm

sinxx在[,]的图像大致为 2cosxxA． B．

C． D．

6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A．

5 16B．

11 32C．

21 32D．

11 167．已知非零向量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为

A．

π 6B．

π 3C．

2π 3D．

5π 68．如图是求

121212的程序框图，图中空白框中应填入

A．A=

1 2AB．A=21 AC．A=

1

12AD．A=11 2A9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则

A．an2n5

an3n10 B． D．SnC．

Sn2n28n12n2n 210．已知椭圆C的焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若

|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为

x2y21 A．2x2y21 B．32x2y21 C．43x2y21 D．11．关于函数f(x)sin|x||sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（

2,）单调递增

③f(x)在[,]有4个零点 ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是 A．①②④

B．②④

C．①④

D．①③

12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正

三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为

A．86 B．46 C．26 D．6

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．曲线y3(xx)e在点(0，0)处的切线方程为____________．

2x214．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1，a4a6，则S5=____________．

1315．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛

结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．

x2y216．已知双曲线C：221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与

abC的两条渐近线分别交于A，B两点．若F，F1BF2B0，则C的离心率为1AAB____________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分)

22B，C的对边分别为a，b，c，设(sinBsinC)sinAsinBsinC． △ABC的内角A，

（1）求A；

（2）若2ab2c，求sinC． 18．（12分）

如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值． 19．（12分）

已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

3的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交2（2）若AP3PB，求|AB|． 20．（12分）

已知函数f(x)sinxln(1x)，f(x)为f(x)的导数．证明：

（1）f(x)在区间(1,)存在唯一极大值点；

2（2）f(x)有且仅有2个零点．

21．（12分）

为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机

选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分

为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，

piapi1bpicpi1(i1,2,,7)，其中aP(X1)，bP(X0)，

cP(X1)．假设0.5，0.8．

(i)证明：{pi1pi}(i0,1,2,,7)为等比数列；

(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

1t2x，21t在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点Oy4t1t2为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为

2cos3sin110．

（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）

111a2b2c2； abc333（2）(ab)(bc)(ca)24．