2020年高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ卷)及答案

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x,yx,yN*,yx，B=x,yxy8，则AB中元素个数为（A.22.复数B.3C.4D.6）1

的虚部是（13i310）A.B.

110C.110D.3103.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（A.p1p40.1,p2p30.4C．p1p40.2,p2p30.3

）p

i14i1，则B．p1p40.4,p2p30.1D．p1p40.3,p2p30.2

4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数It（t的单位：天）的Logistic模型：It

K1e

0.23t53，其中K为的最大确诊病例数.当It0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t约为（ln193）（A.60）B.63C.66D.695.设O为坐标原点，直线x2与抛物线C:y22px(p0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为（）1www.mxtiku.cnA.（14，0）B.（1

2

，0）C.（1，0）D.（2，0）6.已知向量a，b满足|a|5，|b|6，ab6，则cosa，ab=（）A.

31

191935

B.

35

C.1735

D.35

7.在△ABC中，cosC=

2

3

，AC4，BC3，则cosB（）A.1B.1193C.2D.238.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.442C.623D.4239.已知2tantan(4)7，则tan（）A.﹣2B.﹣1C.1D.210.若直线l与曲线y

x和圆x2y215

都相切，则l的方程为（）A.y2x1B.y2x112C.y2x1D.y112x22www.mxtiku.cnx2y2

11.已知双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是abC上的一点，且F1PF2P.若△PF1F2的面积为4，则a=（A．1）D．8）D.c＜a＜bB．2C．412.已知58，13485，设alog53，blog85，clog138，则（A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。xy013.若x，y满足约束条件2xy0，则z=3x+2y的最大值为x1214.(x2)6的展开式中常数项是x（用数字作答）..15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为16.关于函数f(x)sinx

.1

有如下四个命题：sinx②f(x)的图像关于原点对称.④f(x)的最小值为2.①f(x)的图像关于y轴对称.③f(x)的图像关于直线x其中所有真命题的序号是对称.2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）设数列an满足a13，an13an4n.（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn.3www.mxtiku.cn18.（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次空气质量等级1（优）2（良）3（轻度污染）4（中度污染）2567161072251280[0，200]（200，400]（400，600]（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400空气质量好空气质量不好人次>400附：，4www.mxtiku.cn19.（12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.（1）证明：点C1在平面AEF内；（2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A-EF-A1的正弦值.20.（12分）已知椭圆C:右顶点.（1）求C的方程；15x2y2

，A，B分别为C的左、21(0m5)的离心率为25m4（2）若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP||BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积.5www.mxtiku.cn21.（12分）设函数f(x)x3bxc，x∈R，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴重直.22（1）求b；（2）若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）x2tt2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程，(t为参数且t≠1)，C与坐标轴2y23tt交于A，B两点.（1）求|AB|；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.6www.mxtiku.cn23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）设a,b,cR，abc0，abc=1.（1）证明：abbcca0；（2）用maxa,b,c表示a,b,c的最大值，证明：maxa,b,c

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参

一、选择题题号答案1C2D3B4C5B6D7A8C9D10D11A12A二、填空题13.7；14.240；15.23；16.②③.三、解答题17.（1）an2n1；（2）Sn(2n1)2n12.解：（1）由a13，an13an4n，a23a145，a33a2427，……猜想{an}的通项公式为an2n1.证明如下：当n=1，2，3时，显然成立；①假设n=k时，即ak2k1成立；其中(kN*)，由ak13ak4k3(2k1)4k2(k1)1②故假设成立，综上①②，所以an2n1(nN*)（2）令bn2nan(2n1)2n，则前n项和Snb1b2bn321522(2n1)2n③由③两边同乘以2得：2Sn322523(2n1)2n(2n1)2n1④由③－④得Sn(2n1)2n12.18.解：（1）根据上面的统计数据，可得8www.mxtiku.cn该市一天的空气质量等级为1的概率为21623，1001005101227，10010067821，1001007209；100100该市一天的空气质量等级为2的概率为该市一天的空气质量等级为3的概率为该市一天的空气质量等级为4的概率为（2）由题意，计算得x1000.203000.355000.45350（3）列表如下：人次≤400空气质量好空气质量不好总计2人次＞40037845总计7030100332255100(3383722)2由表中数据可得：K5.820＞3.841，70305545所以有95％的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.19.（1）证明：在AA1上取一点M，使得A1M=2AM，分别连接EM，B1M，EC1，FC1.在长方体AECD-A1B1C1D1中，有DD1//AA1∥BB1，且DD1=AA1=BB1，又2DE=ED1，A1M=2AM，BF=2FB1，所以DE=AM=FB1，所以四边形B1FAM和四边形EDAM都是平行四边形.所以AF∥MB1且AF=MB1，AD//ME且AD=ME，又在长方体ABCD-A1B1C1D1中，有AD∥B1C1且AD=B1C1，所以B1C1∥ME且B1C1=ME，则四边形B1C1EM为平行四边形，所以EC1∥MB1且EC1=MB1，又AF∥MB1且AF=MB1，所以AF∥EC1且AF=EC1，则四边形AFC1E为平行四边形，所以点C1在平面AEF内.9www.mxtiku.cn解：（2）在长方形ABCD-A1B1C1D1中，以C1为原点，C1D1所在直线为y轴，C1B1的直线为y轴，C1C所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C1-xyz，因为AB=2，AD=1，AA1=3，2DE=ED1，BF=2FB1，所以A(2，1，3)，E(2，0，2)，F(0，1，1)，A1(2，1，0)，则EF=(-2，1，-1)，AE=(0，-1，-1)，A1E=(0，-1，2)，设平面AEF的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，nEF02x1y1z101，1)，则1，取法向量n1(1，yz011n1AE0设平面A1EF的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)，2x2y2z20nEF0则2，取法向量n2(1，4，2)，n2A1E0y22z20n1n2|n1||n2|1423217，7所以cosn1，n2设二面角A-EF-A1为，则sin=1142，77即二面角A-EF-A1的正弦值为42.725cb215m2220.解：（1）由e，得e12，即1，所以m2.a162516ax216y2故C的方程为1.2525（2）设点P的坐标为(s，t)，点Q的坐标为(6，n)，根据对称性，只需考虑n＞0的情形，此时5＜s＜5，0＜t5.4因为|BP|=|BQ|，所以有(s5)2t2n21，①.10www.mxtiku.cn又因为BP⊥BQ，所以s5nt0②.s216t2又1③.2525s3s3联立①、②、③，可得，t1或t1.n2n8s3当t1时，AP（8，1），AQ（11，2）.n2∴S△APQ=22115APAQ(APAQ)2|82111|.222s35同理可得，当t1时，S△APQ=.2n8综上所述，可得△APQ的面积为5.211321.解：（1）f'(x)3x2b，∴f'()3()2b0，即b.224（2）设x0为f(x)的一个零点，根据题意，f(x0)x0则cx0333x0c0，且|x0|1，4331112由|x0|1，c'3x0，显然c(x0)在[1，x0，]单调递减，[，]单调442221111111递增，[，1]单调递减，易得c(1)，c(1)，c()，c()，2442424∴11c.4431313x1c0，即cx1x1，44443设x1为f(x)的零点，则必有f(x1)x134x13x11(x11)(2x11)20∴3，24x3x1(x1)(2x1)01111∴1x11，即|x1|≤1.11www.mxtiku.cn所以f(x)的所有零点的绝对值都不大于1.22.（1）410；（2）3cossin120.23.证明：（1）∵abc0，(abc)20.∴a2b2c22ab2ac2ca0，即2ab2bc2ca(a2b2c2)∴2ab2bc2ca＜0，abbcca＜0.（2）不妨设ab＜0＜c＜34，则ab11c＞34，abc34，而34＞ab2ab＞2211334矛盾，所以命题得证.12