广东省佛山市禅城区2024届数学高一下期末统考模拟试题含解析

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的

1．已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（ ） A．x﹣y+2＝0

B．x2y+2＝0

C．x3y+2＝0

D．x﹣2y+2＝0

2．数列an只有5项，分别是3，5，7，9，11，an的一个通项公式为（ ） A．ann2

B．an2n1

C．ann1

D．an2n1

3．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）

A．三棱锥 B．三棱柱

2C．四棱锥 D．四棱柱

4．设点P是函数y4x1图象上的任意一点，点Qx,y满足

x2y60，则PQ的最小值为（）

A．524

B．52

C．5 D．54

5．为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验，先将500件产品编号为000，001，002，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读取（为了便于说明，下面摘取了随机数表附表1的第6行至第8行)，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是（ )

A．8 B．443 C．379 D．217

6．在区间[–1，1]上任取两个数x和y，则x2+y2≥1的概率为（ ） A．1C．14

B．128

81D．

24

7．已知向量a(3,1)，b(3,1)，则a在b方向上的投影为（） A．

1 5B．

1 4C．

1 3D．1

8．已知向量OAa，OBb，OCc，且AC4CB，则( ).

13ab 2213C．cab

22A．c31ab 2214D．cab

33B．

cˆ0.4x7.6，且变量x，y之间的一组9．已知变量x，y之间的线性回归方程为y相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）

x 6 6 8 10 3 12 2 y m A．变量x，y之间呈现负相关关系 B．m的值等于5

C．变量x，y之间的相关系数r0.4 D．由表格数据知，该回归直线必过点(9,4)

10．若一个人下半身长（肚脐至足底）与全身长的比近似为

（

，称为黄

金分割比），堪称“身材完美”，且比值越接近黄金分割比，身材看起来越好，若某人着装前测得头顶至肚脐长度为72

，肚脐至足底长度为103

，根据以上数据，作为形

象设计师的你，对TA的着装建议是（ ） A．身材完美，无需改善 C．可以穿一双合适高度的增高鞋

B．可以戴一顶合适高度的帽子 D．同时穿戴同样高度的增高鞋与帽子

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 11．函数yarccos(2x1)的定义域为________

12．已知ab2，向量a,b的夹角为

2，则ab的最大值为_____. 313．函数y2cosx1的最小正周期是______．

14．已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PBPC)的最小值为__________．

15．若扇形的周长是16cm，圆心角是

360度，则扇形的面积（单位cm2）是__________.

16．已知点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知长方体ABCDA1B1C1D1中, |AB||BC|2,|D1D|3，点N是AB的中点，点M是B1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出点D,N,M的坐标； （2）求线段MD,MN的长度；

（3）判断直线DN与直线MN是否互相垂直，说明理由．

18．如图，在△ABC中，已知AB=4，AC=6，点E为AB的中点，点D、F在边BC、AC上，且AC6AF，BC3BD，EF交AD于点P.

(Ⅰ)若∠BAC=(Ⅱ)求

，求AD与EF所成角的余弦值； 3AP的值. AD3,b2. 519．设ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c，且cosB（Ⅰ）当A30时，求a的值；

（Ⅱ）当ABC的面积为3时，求ac的值．

20．如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，DAB90，AB2DC4，

AD3，记ABa，ADb.

（1）用a，b表示AC和BD； （2）求ACBD的值.

21．如图，在平面四边形ABCD中，已知A22点E，使得BE1，连接EC,ED，若CED，CE7 。

3，B2π，AB6,在AB上取3

（1）求sinBCE 的值； （2）求CD的长。

参

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D

【解题分析】

由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，继而可以求得结果． 【题目详解】

由已知可得|AB|＝|BC|＝5，

所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，

402 131则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2x2，

2又线段AC中点坐标为（2，2），kAC即x﹣2y+2＝1． 故选：D． 【点评】

本题考查直线的位置关系，考查垂直的应用，由|AB|＝|BC|＝5转化为求直线的AC的垂直平分线是关键，属于中档题． 2、B 【解题分析】

根据题意，得到数列an为等差数列，通过首项和公差，得到通项. 【题目详解】

因为数列an只有5项，分别是3，5，7，9，11， 所以an是以3为首项，2为公差的等差数列，

an3n122n1.

故选：B. 【题目点拨】

本题考查求等差数列的通项，属于简单题. 3、B 【解题分析】

试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综合可判断为三棱柱． 考点：由三视图还原几何体. 4、B 【解题分析】

函数y4x1表示圆x1+y24位于x轴下面的部分．利用点到直线的

22距离公式，求出最小值． 【题目详解】

函数y4x1化简得x1+y24，y0．圆心坐标(1,0),半径为2.

22所以PQmin【题目点拨】

1065252

本题考查点到直线的距离公式，属于基础题． 5、D 【解题分析】

利用随机数表写出每一个数字即得解. 【题目详解】

第一个号码为439，第二个号码为495，第三个号码为443，第四个号码为217. 故选：D 【题目点拨】

本题主要考查随机数表，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 6、A 【解题分析】

由题意知，所有的基本事件构成的平面区域为(x,y)|1x1，其面积为

1y122224．设“在区间[-1,1]上任选两个数x和y，则xy1”为事件A，则事件A包

1x1含的基本事件构成的平面区域为(x,y)|1y1，其面积为224．

22xy1由几何概型概率公式可得所求概率为P(A)7、D 【解题分析】

直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案． 【题目详解】

由题意，向量a(3,1)，b(3,1)，

41．选A． 44则a在b方向上的投影为：故选D． 【题目点拨】

abb311． 2本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8、D 【解题分析】

运用平面向量的加法的几何意义，结合等式AC4CB，把其中的向量都转化为以O为起点的向量的形式，即可求出c的表示. 【题目详解】

14AC4CBAOOC4(COOB)3OCOA4OBOCOAOB33,

14cab,故本题选D.

33【题目点拨】

本题考查了平面向量加法的几何意义，属于基础题. 9、C 【解题分析】

分析：根据平均数的计算公式，求得样本中心为(9,11m)，代入回归直线的方程，4即可求解m5，得到样本中心(9,4)，再根据x,y之间的变化趋势，可得其负相关关系，即可得到答案.

详解：由题意，根据上表可知x即数据的样本中心为(9,6810126m3211m9,y，

44411m)， 411m0.497.6，解得m5， 4把样本中心代入回归直线的方程，可得则

11m1154，即数据的样本中心为(9,4)， 44 由上表中的数据可判定，变量x,y之间随着x的增大，y值变小，所以呈现负相关关系，

ˆ0.4，而不是r0.4，所以C是错误的，故选C. 由于回归方程可知，回归系数b点睛：本题主要考查了数据的平均数的计算公式，回归直线方程的特点，以及相关关系

的判定等基础知识的应用，其中熟记回归分析的基本知识点是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 10、C 【解题分析】

对每一个选项逐一分析研究得解. 【题目详解】 A.

,所以她的身材不完美，需要改善，所以该选项是错误的；

，显然不符合实际，

B.假设她需要戴上高度为x厘米的帽子，则所以该选项是错误的;

C．假设她可以穿一双合适高度为y的增高鞋，则是正确的；

D.假设同时穿戴同样高度z的增高鞋与帽子,则际，所以该选项是错误的. 故选：C 【题目点拨】

本题主要考查学生对新定义的理解和应用，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 11、[0,1] 【解题分析】

，所以该选项

，显然不符合实

根据反余弦函数的定义，可得函数yarccos(2x1)满足12x11，即可求解. 【题目详解】

由题意，根据反余弦函数的定义，可得函数yarccos(2x1)满足12x11， 解得0x1，即函数yarccos(2x1)的定义域为[0,1]. 故答案为：[0,1] 【题目点拨】

本题主要考查了反余弦函数的定义的应用，其中解答中熟记反余弦函数的定义，列出不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12、

43 3【解题分析】

将ab2两边平方，化简后利用基本不等式求得ab的最大值. 【题目详解】

将ab2两边平方并化简得abab4，由基本不等式得

2ababab24ab223ab，故424，即ab216，即34343. ，所以ab的最大值为33【题目点拨】

本小题主要考查平面向量模的运算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 13、 【解题分析】

由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得fxcos2x，根据三角函数的周期性及其求法即可得解． 【题目详解】

fx2cos2x11cos2x1cos2x．

由周期公式可得：T故答案为. 【题目点拨】

本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查． 14、-1. 【解题分析】

分析：可建立坐标系，用平面向量的坐标运算解题．

详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,23)，设P(x,y)，

∴PA(PBPC)PA2PO2(x,23y)(x,y)2(x2y223y)

2． 22[x2(y3)23]，

易知当x0,y3时，PA(PBPC)取得最小值6. 故答案为－1．

点睛：求最值问题，一般要建立一个函数关系式，化几何最值问题为函数的最值，本题通过建立平面直角坐标系，把向量的数量积用点P的坐标表示出来后，再用配方法得出最小值，根据表达式的几何意义也能求得最大值． 15、16 【解题分析】

根据已知条件可计算出扇形的半径，然后根据面积公式S面积. 【题目详解】

设扇形的半径为rcm，圆心角弧度数为所以r2r16即4r16，所以r4， 所以S1r2即可计算出扇形的23602， 180121r21616. 22故答案为：16. 【题目点拨】

本题考查角度与弧度的转化以及扇形的弧长和面积公式，难度较易.扇形的弧长公式：

11lr，扇形的面积公式：Slrr2.

2216、7a0 【解题分析】

试题分析：若点A（3，1）和点B（4，6）分别在直线3x-2y+a=0两侧，则将点代入直3-2×1+a]×[3×4-2×6+a]＜0，即（a+7）a＜0，解得-7＜a＜0，故填写线中是异号，则[3×-7考点：本试题主要考查了二元一次不等式与平面区域的运用．

点评：解决该试题的关键是根据A、B在直线两侧，则A、B坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式．

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

M(1,2,3)； 17、（1）D(0,0,0)，N(2,1,0)，（2）线段MD,MN的长度分别为14,11；

（3）不垂直，理由见解析 【解题分析】

（1）由已知条件，利用长方体的结构特征，能求出点D,N,M的坐标． （2）直接利用两点间距离公式公式求解．

（3）求出DN，MN，计算数量积即可判断是否垂直. 【题目详解】

解：（1）两直线垂直，证明：由于D为坐标原点，所以D(0,0,0)， 由|AB||BC|2,|D1D|3得：

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),B1(2,2,3),C1(0,2,3)，

因为点N是AB的中点，点M是B1C1的中点，

N(2,1,0)，M(1,2,3)；

（2）由两点距离公式得：

|MD|(10)2(20)2(30)214， |MN|(21)2(12)2(03)211；

（3）直线DN与直线MN不垂直， 理由：由（1）中各点坐标得：

DN(2,1,0)，MN(1,1,3) DNMN(2,1,0)(1,1,3)1， DN与MN不垂直，

所以直线DN与直线MN不垂直. 【题目点拨】

本题考查空间中点的坐标的求法，考查线段长的求法，以及利用向量的坐标运算判断垂

直，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 18、 (Ⅰ)AP32111 (Ⅱ)

AD1037【解题分析】

(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系,得到

A(2,0)，F(1,0)，E(1,3)，D(4,43)，再由向量数量积的坐标表示，即可

33得出结果；

(Ⅱ)先由A、P、D三点共线，得到APAD本定理，列出方程组，即可求出结果. 【题目详解】

(Ⅰ)以AC所在直线为x轴，过B且垂直于AC的直线于AC的直线为y轴建系如图， 则A(2,0)，F(1,0)，E(1,3)，D(,2ABAC，再由平面向量的基33443)，

33

1043∴AD3,3，EF(0,3)

∴cosADEFADEF2111 372ABAC 33t1tAC 同理，可设APtAE(1t)AFAB26 (Ⅱ)∵A、P、D三点共线，可设APAD32t3210 由平面向量基本定理可得，解得1t2t635∴AP3AP3AD，. 10AD10【题目点拨】

本题主要考查平面向量的夹角运算，以及平面向量的应用，熟记向量的数量积运算，以及平面向量基本定理即可，属于常考题型. 19、（Ⅰ）a5 4（Ⅱ）ac27 【解题分析】 （Ⅰ）由cosB可得ac341,得sinB，再利用正弦定理即可求出（Ⅱ）由SABCacsinB55215，再利用余弦定理即可求出ac27. 2【题目详解】

34,∴sinB,， 55a55 ，∴a 由正弦定理可知：

sinA241（Ⅱ）∵SABCacsinB,

2215∴ac3,ac 52（Ⅰ）∵cosB由余弦定理得：b2a2c22accosB ∴4ac2226aca2c29，即a2c213 52则：ac2ac13,ac28, 故：ac27 【题目点拨】

本题主要考查了正弦定理与余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 20、（1）AC【解题分析】

（1）根据向量的线性运算可直接求解得到结果； （2）将所求数量积转化为【题目详解】 （1）

1ab，BDba；（2）1 21abba，根据数量积运算性质求得结果. 2AB2DC DC1AB 2ACADDCAD11ABab，BDADABba 2221211abbabaab981

222（2）由（1）得：ACBD【题目点拨】

本题考查利用基底表示向量、平面向量数量积的求解问题；关键是能够熟练掌握平面向量的线性运算和数量积运算的性质. 21、（1）21；（2）CD7. 14【解题分析】

试题分析：（1）在BEC中，直接由正弦定理求出sinBCE；（2）在RtAED中，

A2，AE5，可求出ED27，在CED中，直接由余弦定理可求得CD.

试题解析：（1）在BEC中，据正弦定理，有∵BBECE.

sinBCEsinB2，BE1，CE7， 3∴sinBCEBE•sinB221. CE147（2）由平面几何知识，可知DEABCE，在RtAED中，∵A∴cosDEA1sin2DEA12 ，AE5，

357. 2814∴

EDEA527. cosDEA5714在CED中，据余弦定理，有

1CD2CE2DE22CE?DE•cosCED728272749

2∴CD7

点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了

三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在ABC中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.