广东省佛山市第一中学2023-2024学年高一上学期第二次教学质量检测(12月)数学试题

教学质量检测（12月）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题1．命题“\"xÎ[-1,3],x2-3x+2<0”的否定为（ ）A．$xÎ[-1,3],x2-3x+2³0000C．\"xÎ[-1,3],x2-3x+2³0B．$xÎ[-1,3],x2-3x+2>0D．$xÏ[-1,3],x2-3x+2³00002．已知全集U=R，A=x20在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）12A．m>B．014D．m>1试卷第11页，共33页

x6．函数f(x)=e-1×lnx的部分图象大致为（ ）ex+1A．B．C．D．7．已知f(x)=ex-1+1，若函数g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）A．(-2,-1)B．(-1,0)C．(0,1)D．(1,2)y18．已知函数f(x)=2x-(x<0)与g(x)=log2(x+2a)的图象上存在关于轴对称的点，2则a的取值范围是（ ）æ2ö-¥,-÷A．çç÷2èøæ2ö-¥,÷B．çç÷2èøC．(-¥,2)D．æ-2,2öç÷ç÷4èø二、多选题æ1ö9．若函数 f(x)=ç÷è3øx2+ax-3 的图像经过点(31，) ， 则（ ）试卷第21页，共33页

A．a=-2C．f(x) 的最大值为 8110．下列结论正确的是（ ）A．若x>0B．f(x) 在(-¥，1) 上单调递减1D．f(x) 的最小值为81，则y=x+21的最小值为xB．若a>0，b>0，则ab£æa+böç÷è2ø2C．若a>0，b>0，且a+4b=1911，则+的最大值为abD．若xÎ(0，2)，则y=x(2-x)的最大值为211．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是q（单0位：℃），环境温度是q1（单位：℃），其中q0>q1、则经过t分钟后物体的温度q将满足q=f(t)=q1+(q0-q1)×e-kt（kÎR且k>0）．现有一杯100oC的热红茶置于10oC的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值ln2»0.7,ln3»1.1）A．若f(3)=40oC，则f(6)=20oCo155，则红茶下降到C所需时间大约为6分钟10B．若k=C．5分钟后物体的温度是40oC，k约为0.22D．红茶温度从80oC下降到60oC所需的时间比从60oC下降到40oC所需的时间多12．已知定义域为R的函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，试卷第31页，共33页

1ö且fæç÷=0，则以下结论正确的有（ ）è2øA．f(0)=-1B．f(x)是偶函数D．f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=01öC．f(x)关于æç,0÷中心对称è2ø三、填空题1æ3ö313．计算1-3--ç3÷+(7-103)0= ．2+3è8ø121abm=1114．若2=3=m，且+=2，则 ．ab15．已知x>1，则x-1的最大值为 ．2x-2x+416．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C、C、C3依次为y=2log2x，21y=log2x，y=klog2x的图像，其中k为常数，0试卷第41页，共33页

2217．集合A=x-6x-x+2>0，B=xx-5x+6³0．{}{}（1）求AÈB，(ðA)ÇB；R（2）若集合C={x2m0时，f(x)的解析式；(2)如图，请补出函数f(x)的完整图象，根据图象直接写出函数f(x)的单调递减区间；(3)结合函数图象，求当xÎ[-3,1]时，函数f(x)的值域．2f(x)=(2x-1)*(x-1)19．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=ìa-ab,a£b，设.í2îb-ab,a>b(1)求f(x)的解析式；(2)关于x的方程f(x)=m(mÎR)恰有三个互不相等的实数根，求m的取值范围.20．漳州市某研学基地，因地制宜划出一片区域，打造成“生态水果特色区”.经调研发现：某水果树的单株产量W(单位：千克)与施用肥料x(单位：千克)满足如下关系：20x+10ì2x2+17,0£x£2ï，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这W(x)=í8,2f(x)(单位：元).(1)求函数f(x)的解析式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？21．已知定义域为(1)求实数a的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的xÎR，不等式fx2-x+fx2-m>0恒成立，求实数m的取值范围．()()xf(x)422．已知函数f(x)=log4(4+1)+kx与g(x)=log4(a×2x-a)，其中是偶函数．3R的函数f(x)=2x1是奇函数．-2x+a2（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）求函数g(x)的定义域；（Ⅲ）若函数F(x)=f(x)-g(x)只有一个零点，求实数a的取值范围．试卷第61页，共33页

参：1．A【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为$xÎ[-1,3],x2-3x+2³0.000故选：A2．A【分析】根据图确定阴影部分表示的集合为(ð，根据集合的补集以及交集运算，即UA)IB可求得答案.【详解】由图可知阴影部分表示的集合为(ð，UA)IB而ð或x³6}，故(ðA)ÇB={x1a0.700.8<0.8=1，，然后根据40.7>1即可得出结果.0.7a=4，，【详解】因为b=æ1öç÷è4ø所以b>a，-0.8=40.8因为c=0.80.7<0.80=1，a=40.7>40=1，所以b>a>c，故选：B4．B【分析】根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证，即可判断出选项.答案第11页，共22页

【详解】对于A，当c=0时，ac2＞bc2不成立，故A错误；a3＞，＞b3ab0对于B，若，则a>b>0或b0,b>011时，＞不成立，故C错误；ab对于D，当c<0时，a0在R上恒成立”，所以当m=0时，原不等式为x>0在R上不是恒成立的，所以m¹0，mx2+x+m>0所以“不等式在Rm>0m>1.上恒成立”，等价于ì，解得í22îD=1-4m<0A选项是充要条件，不成立；B选项中，m>0111m>1，故m>1是m>1的必要不充分m>m>可推导，且不可推导222444条件，正确；D选项中，m>1m>111m>1m>1可推导m>，且m>不可推导，故是2的充分不必要条22件，D不正确.故选：C.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：答案第21页，共22页

（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；（2）p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集；（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；（4）p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与p对应集合互不包含．6．B【分析】由解析式判断图象问题借助排除法，先借助函数奇偶性，再借助特殊点的正负即可得到.xe【详解】f(x)=-1×lnx的定义域为(-¥,0)U(0,+¥)，ex+1-xxe-11-e又f(-x)=×ln-x=lnx=-f(x)，e-x+11+ex则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A、C，2又f(2)=e-1×ln2>0，所以排除D．e2+1故选：B.7．A【分析】利用十字相乘法解g(x)=0，得f(x)=2或f(x)=-a，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可．【详解】解：若g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a=[f(x)-2][f(x)+a]有三个零点，即g(x)=[f(x)-2][f(x)+a]=0有三个根，即f(x)=2或f(x)=-a．当f(x)=2时，由|ex-1|+1=2，即|ex-1|=1，则ex-1=1或ex-1=-1，答案第31页，共22页

即ex=2或ex=0，则x=ln2或x无解，此时方程只有一个解，则f(x)=-a．有两个不同的根，作出f(x)的图象如图：由图象知，则1<-a<2，即-20)，则它与2y在x>0有交点，在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，观察图象可得答案.f(x)【详解】函数y1关于轴对称的解析式为y=2-x-(x>0)，2函数g(x)=log2(x+2a)(x>0)，两个函数的图象如图所示：答案第41页，共22页

若g(x)=log2(x+2a)yæ1ö20,过点ç÷时，得a=，但此时两函数图象的交点在轴上，è2ø2所以要保证在x轴的正半轴，两函数图象有交点，则g(x)的图象向右平移均存在交点，所以a<2，2故选：B.9．AC【分析】利用函数经过点(31，),可求出a,再应用函数性质每个选项分别判断即可.A3a+6【详解】对于:由题意得 f(3)=æ1öç÷è3ø=1， 得a=-2 ,故A正确;对于B:令函数u=x2-2x-3 ， 则该函数在(-¥,1)上单调递减，在[1,+¥) 上单调递增．u1æö因为y= 是减函数， 所以f(x)在(-¥,1)上单调递增， 在[1,+¥) 上单调递减， 故ç÷è3øB错误;对于CD:因为f(x)在(-¥,1)上单调递增， 在[1,+¥) 上单调递减,所以f(x)=f(1)=81 ,f(x)无最小值．故C正确, D错误;max答案第51页，共22页

故选:AC.10．AB【分析】根据基本不等式依次求解判断各选项即可．x>0【详解】对于A：因为x=11，所以y=x+1…，当且仅当时取等号，2x·2=xx即y=x+2A1的最小值为.故正确；x对于B：a>0，b>0æa+bö，当且仅当，则a+b…2abÞab„ç÷è2ø2a=b时取等号.故B正确；对于C：a>0，b>0且a+4b=1，则1111a4ba4bæ11öa=，b=，当且仅当时取等+=(a+4b)ç+÷=5++…5+2·=+9=36abbabaèabø911号，所以+的最小值为.故C错误；ab2)，则2)，则2-xÎ(0，æx+2-xö对于D：因为xÎ(0，，当且仅当y=x(2-x)£ç÷=12èø2x=2-x，即x=1时取等号，故y=x(2-x)的最大值为1.故D错误．故选：AB．11．AC【分析】由题知q=f(t)=10+90e-kt，根据指对数运算和指数函数的性质依次讨论各选项求解．答案第61页，共22页

【详解】解：由题知q=f(t)=10+90e-kt，-3ko140=10+90ef3=40C()A选项：若，即，所以e-3k=，则31f(6)=10+90e-6k=10+90(e-3k)2=10+90´()2=20°C，A正确；3B选项：若k=111-t-t11010，则10+90×e=55，则e=，两边同时取对数得102ot=10ln2»71155-t=ln=-ln2，所以，所以红茶下降到C所需时间大约为7分钟，B102错误；-5ko1C选项：5分钟后物体的温度是40C，即10+90×e=40，则e-5k=，得311-5k=ln=-ln3，所以k=ln3»0.22，故C正确；35D选项：f(t)为指数型函数，如图，可得红茶温度从80oC下降到60oC所需的时间（t2-t1）比从60oC下降到40oC所需的时间（t3-t2）少，故D错误．故选：AC．答案第71页，共22页

12．BCD【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义判断ABC，利用BC中的结论，结合赋值法得到f(x)=f(x-2)，从而得解.【详解】因为定义域为R的函数f(x)，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f(0)f(0)Þf(0)=0或f(0)=1，故A错误，若f(0)=1时，令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(y)f(0)Þf(-y)=f(y)，此时f(x)是偶函数；若f(0)=0时，令y=0，则f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0Þf(x)=0，此时f(x)既是偶函数又是奇函数；因此B正确，1，则2令x=æ1öæ1öfç+y÷+fç-y÷=2fè2øè2øæ1öæ1ç÷f(y)=0Þfç+è2øè2öæ1öy÷+fç-y÷=0，øè2ø1ö所以f(x)关于æç,0÷中心对称，故C正确，è2ø1öf(x)=-f(1-x)，结合f(x)是偶函数，由f(x)关fæ中心对称可得,0ç÷è2ø所以f(x)=-f(1-x)=-f(x-1)=-(-f(x-2))=f(x-2)，所以f(x)=f(x-2)，所以f(3)=f(1),f(4)=f(2)=f(0)，令x=y=1，则f(1)+f(0)=2f2æ1öç2÷èøf(1)+f(2)=f(1)+f(0)=0，æ1öfç÷=0，故è2ø进而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2éf(1)+f(2)ù=0，故D正确.ëû故选：BCD.答案第81页，共22页

13．-32【分析】利用指数幂运算与分母有理化即可得解.13【详解】1-3-121æ3ö-ç3÷+(7-103)02+3è8ø13=1-3-((æ27ö-ç÷+12+32-3è8ø2-3)()æ3ö=1-3-2-3-ç÷è2ø)3´13+1=1-3-2+3-33+1=-.223故答案为：-.214．6【分析】由2a=3b=m，可得a=log2m，b=log3m，m>0，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.ab11a=log2mb=log3mm>0【详解】解：因为2=3=m，所以，，，又+=2，ab所以1111+=+=logm2+logm3=logm(2´3)=2，ablog2mlog3m所以m2=6，所以m=6，故答案为：6.答案第91页，共22页

15．36【分析】利用基本不等式求算式的最大值.【详解】由x>1，得x-1>0，x-1x-11==£则x2-2x+4(x-1)2+33x-1+2x-11(x-1)×3x-1=36，当且仅当x-1=x-13，即x=1+3时取等号，此时2取得最大值3.x-2x+4x-16故答案为：36116．2【分析】设点A(t,2logt)，其中t>1，可求出点B、D的坐标，进一步求出点D的坐标，2再将点D的坐标代入函数y=klog2x的解析式可求出实数k的值.【详解】设点A(t,2log2t)，其中t>1log2x=2log2t，，设点B(x,2log2t)、D(t,y)，则ìíîy=log2tB(t2,2log2t)、D(t,log2t)，则点D的坐标为(t2,log2t)，x=t2解得ì，所以，点íîy=log2t将点D的坐标代入函数y=klog2x的解析式，得log2t=klog2t2\\2k=11，，解得k=.2故答案为2.1【点睛】本题考查对数的运算，解题的关键就是由点A的坐标计算出点D的坐标，考查计答案第101页，共22页

算能力，属于中等题.m³-117．（1）{xx³3或x£2}，{xx³3或x£-2ü.ý；（2）3þ【分析】（1）先求出集合A、B，再根据集合的交并补运算即可求解；（2）分C=Æ和C¹Æ两种情况进行讨论，然后借助数轴即可求解.21ü【详解】解：（1）因为A=x-6x2-x+2>0=x6x2+x-2<0=ìíx-0)(2)函数图像见解析，f(x)的单调递减区间为：(-¥,-1],[1,+¥)(3)[-1,3]【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求解，（2）根据奇函数图象关于原点对称即可作出图象，进而可得单调区间，答案第111页，共22页

（3）结合函数图象以及单调性，即可求解.【详解】（1）依题意，设x>0，则-x<0，于是f(-x)=(-x)2-2x=x2-2x，

因为f(x)为R上的奇函数，因此f(x)=-f(-x)=-x2+2x，所以当x>0时，f(x)的解析式f(x)=-x2+2x．（2）由已知及（1）得函数f(x)的图象如下：

观察图象，得函数f(x)的单调递减区间为：(-¥,-1],[1,+¥)．

（3）当xÎ[-3,1]时，由（1），（2）知，函数f(x)在[-3,-1]上单调递减，在[-1,1]上单调递增，

当x=-1时，f(x)有最小值f(-1)=(-1)2+2´(-1)=-1，当x=-3时，f(x)有最大值f(-3)=(-3)2+2´(-3)=3，而当x=1时，有f(1)=1，

所以，当xÎ[-3,1]时，函数f(x)的值域为[-1,3]219．(1)f(x)=ì2x-x,x„0í2îx-x,x>0答案第121页，共22页

æ1ö(2)ç0,÷è4ø【分析】（1）根据代数式2x-1和x-1之间的大小关系，结合题中所给的定义，用分段函数的形式表示函数f(x)的解析式；（2）画出函数f(x)的图象，将方程f(x)=m(mÎR)的解的个数转化为y=f(x)与y=m的交点个数问题，利用数形结合求出m的取值范围．【详解】（1）解：由2x-1„x-1可得x„0，由2x-1>x-1可得x>0，2ì(2x-1)-(2x-1)(x-1),x„0，所以根据题意得f(x)=í2î(x-1)-(2x-1)(x-1),x>02ì2x-x,x„0．即f(x)=í2îx-x,x>0（2）解：作出函数f(x)的图象如图，答案第131页，共22页

当x>021f(x)=x-x时，开口向下，对称轴为x=，2所以当x>02时，函数的最大值为f()=-()=，12121214因为方程f(x)=m(mÎR)恰有三个互不相等的实数根，所以函数y=f(x)的图象和直线y=m(mÎR)有三个不同的交点，可得m1ö的取值范围是æ0,ç÷．4èøì20x2-20x+330,0£x£220．(1)f(x)=ï；í80490--20x,22\\当0£x£2时，f(x)£f(2)=370，22-x11-2xf(-x)=-x-==-f(x)，x2+122(2+1)所以a=1.x（2）f(x)=2+1-1-1=1-1-1=1-1，2x+122x+1222x+1函数在定义域内单调递增，证明如下：设x1>x2x1x2112-2，所以f(x1)-f(x2)=x，-=22+12x1+1(2x2+1)(2x1+1)因为2x1>2x2，所以f(x)>f(x)，所以函数f(x)在R上单调递增.12（3）∵f(x)是奇函数，由已知可得f(x2-x)+f(x2-m)>0，所以f(x2-x)>-f(x2-m)=f(-x2+m)，所以x2-x>-x2+m,\\m<2x2-x，2g(x)=2x-x，当设g(x)min=2´111-=-.181所以m<-.81ö.∴实数m的取值范围为æ-¥,-ç÷8øè122．（Ⅰ）k=-；（Ⅱ）分类讨论，答案见解析；（Ⅲ）{-3}È(1,+¥)．2【解析】（Ⅰ）由偶函数的性质，运算即可得解；4a>0a<0（Ⅱ）转化条件为a×2x-a>0，按照、分类，即可得解；3答案第161页，共22页

（Ⅲ）由对数的运算性质转化条件得方程2x()2+1=a2x()2-4ax×2有且只有一个实根，换3元后，结合一元二次方程根的分布即可得解.【详解】（Ⅰ）∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)，∴log(4x+1)+kx=log(4-x+1)-kx，44xxx4+14(4+1)∴log4，∴log4=-2kx=x=-2kx，-xx4+14+1即(2k+1)x=0对一切xÎR恒成立，1∴k=-； 2（Ⅱ）要使函数g(x)4有意义，需a×2x-a>0，3当a>0时，2x>44，解得x>log2，33当a<0时，2x<44，解得x0时，g(x)4的定义域为æçlog2,+¥3èö；÷ø当a<0时，g(x)4ö的定义域为æç-¥,log2÷； 3øè（Ⅲ）∵F(x)=f(x)-g(x)=log4(4x+1)-14öæx-log4ça×2x-a÷只有一个零点，23øè∴方程log4(4x+1)=14öæx+log4ça×2x-a÷有且只有一个实根， 23øèx2é4ö4öùxxæx即方程log4(4+1)=log44+log4æça×2-3a÷=log4êa×2ç2-3÷ú有且只有一个实根，èøèøûëx答案第171页，共22页

亦即方程2x()2+1=a2x()2-4ax×2有且只有一个实根，3令t=2x（t>0），则方程(a-1)t2-4at-1=0有且只有一个正根， 3①当a=13时，t=-，不合题意；4②当a¹1时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由D=023-34aæö可得，解得a=或ç÷+4(a-1)=04è3ø若a=t=-23，则不合题意，舍去；4若a=-3，则t=1满足条件；22a>1ìæ4aöïD=ç÷+4(a-1)>0è3ø若方程有两根异号，则ï，∴，íï-1<0ïîa-1综上所述，实数a的取值范围是{-3}È(1,+¥).【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.答案第181页，共22页