2021年新高考数学模拟试卷（18）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z•i＝1+2i，则z的共轭复数为（ ） A．2﹣i
B．2+i
C．l﹣2i
D．i﹣2
2．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0，1，2} C．{0，1}
B．{0，1，2}
D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}
3．（5分）若0＜x＜y＜1，则下列不等式成立的是（ ）
11A．()𝑥＜()𝑦
22B．𝑥
1
−
11
2＜𝑦−2
C．𝑙𝑜𝑔2𝑥2＜𝑙𝑜𝑔2𝑦2
1
D．𝑙𝑜𝑔1𝑥3＜𝑙𝑜𝑔1𝑦3
22→
4．（5分）在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且𝐴𝐷=3𝐴𝐵+2𝐴𝐶，则A．
61
1
→
1
→
𝑆△𝐵𝐶𝐷23
𝑆△𝐴𝐵𝐷
=（ ）
B．
3
1
C． 2
1
D． 5．（5分）函数y＝cos22x﹣sin22x是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数
2𝜋
D．最小正周期为的偶函数
2
𝜋
6．（5分）若圆心坐标为（﹣2，1）的圆，被直线x﹣y﹣1＝0截得的弦长为2，则这个圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4 C．（x+2）2+（y﹣1）2＝9
B．（x+2）2+（y﹣1）2＝4 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9
7．（5分）甲、乙两名农业技术人员，分别到三个乡村进行“帮扶脱贫”，则这两名技术人员到同一乡村的概率是（ ） A．
41
B．
3𝑥2𝑎2
1
C． 5
𝑦2𝑏2
2
D． 2
1
8．（5分）已知双曲线C：−=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2过F2垂
直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若△MF1N为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）
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A．
√21 3
B．√3 C．√13 D．2+√3 二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）要得到𝑦=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−)的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（ ） A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
5
2
𝜋
1
𝜋
5B．向右平行移动
𝜋
10
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
2
12
𝜋5
1
C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动
21
𝜋
10
个单位长度
10．（5分）设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，下列四个命题中真命题是（ ） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α∥β，l⊂α，则l∥β
D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n
11．（5分）对于定义在R上的函数f（x），下列判断错误的有（ ） A．若f（﹣2）＞f（2），则函数f（x）是 R 的单调增函数 B．若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数 C．若f（0）＝0，则函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）在区间 （﹣∞，0]上是单调增函数，在区间 （0，+∞）上也是单调增函数，则f（x）是 R 上的单调增函数
−𝑒𝑥+1，𝑥≤112．（5分）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）={的图
𝑙𝑛𝑥，𝑥＞1象上任意两点，且函数（fx）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ） A．x1＜0 C．
𝑥2𝑥1
B．0＜x1＜1
最小值为e
D．x1x2最大值为e
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），(2，2)，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．
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1
14．（5分）二项式(𝑥−
1
219
)的展开式中的常数项是 ． √𝑥|𝑙𝑜𝑔2𝑥|，𝑥＞0
15．（5分）已知函数𝑓(𝑥)={，关于x的方程f（x）＝m（m∈R）有四个
2
−𝑥−2𝑥，𝑥≤0不同的实数解x1，x2，x3，x4则x1x2x3x4的取值范围为 ．
16．（5分）已知如表所示的是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，那么女性青年观众喜欢戏剧的频率与男性青年观众喜欢戏剧的频率的比值是 ．
男性青年观众 女性青年观众
合计
不喜欢戏剧
40 40 80
喜欢戏剧
10 60 70
合计 50 100 150
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若cos（A﹣B）＝0 （1）证明：tanA•tanB=
1
； 16𝑆𝑎2+𝑏2−𝑐21715
cos（A+B）﹣
（2）记△ABC的面积为S，求的最大值．
18．（12分）已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn．如果a4＝﹣12，a8＝﹣4． （1）求Sn的最小值及其相应的n的值； （2）判断{3𝑎𝑛}是何种数列，并给出证明．
19．（12分）某高等学校自愿献血的50位同学的血型分布情形如下表：
（1）今从这50人中随机选出两人，问两人血型相同的概率是多少？
（2）今有A血型的病人需要输血，从血型为A、O的同学中随机选出2人准备献血，记选出A血型的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
20．（12分）如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC=2CP＝2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．
1
第3页（共17页）
（Ⅰ）若E是PC的中点，求证：AP∥平面BDE； （Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面ABCD； （Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．
21．（12分）已知函数：𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑙𝑛𝑥−𝑎，𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−1 （Ⅰ）当x∈[1，e]时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于任意的x1∈[0，1]都存在唯一的x2∈[1，e]使得g（x1）＝f（x2），求实数a的取值范围．
22．（12分）如图．已知F1，F2分别为椭圆率e=2，且a+c＝3． （1）求椭圆的标准方程；
（2）设A，B分别为椭圆的上、下顶点，过F2作直线l与椭圆交于C、D两点，并与y轴交于点P（异于A，B，O点），直线AC与直线BD交于点Q，则𝑂𝑃•𝑂𝑄是否为定值，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．
→
→
1
2𝑥2𝑎2+
𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，其离心
1
第4页（共17页）
2021年新高考数学模拟试卷（18）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足z•i＝1+2i，则z的共轭复数为（ ） A．2﹣i
B．2+i
C．l﹣2i
1+2𝑖(1+2𝑖)𝑖
==2﹣i， 2𝑖𝑖
D．i﹣2
【解答】解：∵z•i＝1+2i，∴z=∴z的共轭复数为：2+i， 故选：B．
2．（5分）设集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0，1，2} C．{0，1}
B．{0，1，2}
D．{x|﹣1＜x≤2，或x＝3}
【解答】解：∵A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}， ∴A∩B＝{0，1，2}． 故选：B．
3．（5分）若0＜x＜y＜1，则下列不等式成立的是（ ）
11
A．()𝑥＜()𝑦
2211
2C．𝑙𝑜𝑔2𝑥＜𝑙𝑜𝑔2𝑦2
B．𝑥
−
11
2＜𝑦−2
D．𝑙𝑜𝑔1𝑥3＜𝑙𝑜𝑔1𝑦3
22【解答】解：∵0＜x＜y＜1，根据指数函数的单调性可得(2)𝑥＞(2)𝑦，故A错误； 再根据幂函数的单调性可得𝑥
−
11
11
2＞𝑦−2，故
1
B错误；
1
再根据对数函数的单调性可得𝑙𝑜𝑔2𝑥2＜𝑙𝑜𝑔2𝑦2，故C正确；
由x3＜y3，函数y=𝑙𝑜𝑔1𝑥在（0，+∞）上是减函数，可得𝑙𝑜𝑔1𝑥3＞𝑙𝑜𝑔1𝑦3，故D错误，
222故选：C．
4．（5分）在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且𝐴𝐷=3𝐴𝐵+2𝐴𝐶，则A．
61
→
1
→
1
→
𝑆△𝐵𝐶𝐷23
𝑆△𝐴𝐵𝐷
=（ ）
B．
3
1
C． 2
1
D． 【解答】解：由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，
1→1→
且𝐴𝐷=3𝐴𝐵+2𝐴𝐶，
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→
点D在平行于AB的中位线上，且为靠近AC边， 从而有𝑆△𝐴𝐵𝐷=2𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐴𝐶𝐷=3𝑆△𝐴𝐵𝐶，
𝑆△𝐵𝐶𝐷=(1−2−3)𝑆△𝐴𝐵𝐶=6𝑆△𝐴𝐵𝐶，有=．
𝑆△𝐴𝐵𝐷3故选：B．
1
1
1
𝑆△𝐵𝐶𝐷
1
1
1
5．（5分）函数y＝cos22x﹣sin22x是（ ） A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数
2𝜋
D．最小正周期为的偶函数
2
𝜋
【解答】解：函数y＝cos22x﹣sin22x＝cos4x， ∵ω＝4，∴T=4=2， 又y＝cos4x为偶函数，
则函数函数y＝cos22x﹣sin22x是周期为的偶函数．
2𝜋
2𝜋
𝜋
故选：D．
6．（5分）若圆心坐标为（﹣2，1）的圆，被直线x﹣y﹣1＝0截得的弦长为2，则这个圆的方程是（ ）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝4 C．（x+2）2+（y﹣1）2＝9
B．（x+2）2+（y﹣1）2＝4 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝9
|−2−1−1|=2√2， √2
【解答】解：由题意可得圆心到直线的距离d=
22
所以圆的半径为：r2＝d2+（）2＝9，所以圆的方程为：（x+2）2+（y﹣1）2＝9； 故选：C．
7．（5分）甲、乙两名农业技术人员，分别到三个乡村进行“帮扶脱贫”，则这两名技术人
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员到同一乡村的概率是（ ） A．
41
B．
3
1
C． 5
2
D． 2
1
【解答】解：甲、乙两名农业技术人员，分别到三个乡村进行“帮扶脱贫”， 基本事件总数n＝3×3＝9，
这两名技术人员到同一乡村包含的基本事件个数m＝3， ∴这两名技术人员到同一乡村的概率是p=𝑛=9=3． 故选：B．
8．（5分）已知双曲线C：
𝑥2𝑎2
𝑚
3
1
−
𝑦2𝑏2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2过F2垂
直x轴的直线与双曲线C的两渐近线的交点分别是M、N，若△MF1N为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ） A．
√21 3
B．√3 𝑥2𝑎2C．√13
𝑦2𝑏2D．2+√3 【解答】解：双曲线C：x＝c时，y＝±
𝑏𝑐𝑎
−=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，
，
∵△MF1N为正三角形， ∴2c=2×𝑎， ∴a=
√3√32𝑏𝑐
2b，
∴c=2b， ∴e=𝑎=3． 故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）要得到𝑦=𝑠𝑖𝑛(2𝑥−5)的图象，可以将函数y＝sinx的图象上所有的点（ ） A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
5
2
𝜋
1
𝜋
𝑐
√21√7B．向右平行移动
𝜋
10
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
2
12
𝜋5
1
C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
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D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动
2
1𝜋
10
个单位长度
𝜋5
【解答】解：将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度得到y＝sin（x−5），
再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin（2x−5）．
21
𝜋
𝜋
也可以将函数y＝sinx的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍得到y＝sin2x，
2
1
再把所得各点向右平行移动故选：AD．
𝜋
10
个单位长度得到y＝sin2（x−10）＝sin（2x−5）．
𝜋𝜋
10．（5分）设α、β、γ为两两不重合的平面，l、m、n为两两不重合的直线，下列四个命题中真命题是（ ） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β C．若α∥β，l⊂α，则l∥β
D．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n
【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故A错误； 由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故B错误； 由面面平行的性质定理，易得C正确； 由线面平行的性质定理，我们易得D正确； 故选：CD．
11．（5分）对于定义在R上的函数f（x），下列判断错误的有（ ） A．若f（﹣2）＞f（2），则函数f（x）是 R 的单调增函数 B．若f（﹣2）≠f（2），则函数f（x）不是偶函数 C．若f（0）＝0，则函数f（x）是奇函数
D．函数f（x）在区间 （﹣∞，0]上是单调增函数，在区间 （0，+∞）上也是单调增函数，则f（x）是 R 上的单调增函数
【解答】解：A 选项，由f（﹣2）＞f（2），则f（x）在 R 上必定不是增函数； B 选项，根据偶函数的定义可知B正确；C 选项，f（x）＝x2，满足f（0）＝0，但不是奇函数；
D 选项，该函数为分段函数，在 x＝0 处，有可能会出现右侧比左侧低的情况，故错误．
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故选：ACD．
−𝑒𝑥+1，𝑥≤1
12．（5分）若点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是函数f（x）={的图
𝑙𝑛𝑥，𝑥＞1象上任意两点，且函数（fx）在点A和点B处的切线互相垂直，则下列结论正确的是（ ） A．x1＜0 C．
𝑥2𝑥1
B．0＜x1＜1
最小值为e
D．x1x2最大值为e
【解答】解：由导数的几何意义知，点A处的切线的斜率为f′（x1），点B处的切线的斜率为f′（x2），
函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直时，有f′（x1）f′（x2）＝﹣1， 由（1﹣ex）′＝﹣ex，（lnx）′=𝑥，可得﹣ex1•由x2＞1，可得0＜x1≤1，故A，B都错； 由
𝑥2𝑥1
1
1𝑥2
=−1，即x2＝ex1，
=
𝑒𝑥1
，设g（x）=𝑥（0＜x≤1），可得g′（x）=
𝑥1
𝑒𝑥
𝑒𝑥(𝑥−1)
， 𝑥2在x∈（0，1]，g′（x）≤0，可得g（x）在（0，1]递减，可得g（x）有最小值g（1）＝e，故C正确；
x2x1＝x1ex1，设h（x）＝xex（0＜x≤1），可得h′（x）＝（x+1）ex＞0，即h（x）在（0，1]递增，可得h（x）有最大值e， 故D正确． 故选：CD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）若顶点在原点的抛物线经过四个点（1，1），(2，2)，（2，1），（4，2）中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 x2＝8y或y2＝x ．
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1
【解答】解：由题意可得，抛物线方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）． 若抛物线方程为y2＝2px（p＞0），代入（1，1），得p=2， 则抛物线方程为y2＝x，此时（4，2）在抛物线上，符合题意； 若抛物线方程为x2＝2py（p＞0），代入（2，1），得p＝2， 则抛物线方程为x2＝8y，此时（2，）在抛物线上，符合题意．
21
1
∴抛物线的标准方程可以是x2＝8y或y2＝x． 故答案为：x2＝8y或y2＝x．
14．（5分）二项式(2𝑥−𝑥)9的展开式中的常数项是 ．
√2𝑟
【解答】解：二项式(2𝑥−𝑥)9的展开式的通项是𝑇𝑟+1=𝐶9(2𝑥)9−𝑟(−𝑥)𝑟=
√√𝑟
𝐶9(−1)𝑟(2)9−𝑟𝑥9−2𝑟，
1121
11111
3
令9−2𝑟=0，解得r＝6． 故二项式(𝑥−故答案为：
2121
2191216)的展开式中的常数项是𝑇7=𝐶9(−1)6()9−6=．
22√𝑥3
|𝑙𝑜𝑔2𝑥|，𝑥＞0
15．（5分）已知函数𝑓(𝑥)={，关于x的方程f（x）＝m（m∈R）有四个
2
−𝑥−2𝑥，𝑥≤0不同的实数解x1，x2，x3，x4则x1x2x3x4的取值范围为 （0，1） ． |𝑙𝑜𝑔2𝑥|，𝑥＞0
【解答】解：作函数𝑓(𝑥)={的图象如下，
−𝑥2−2𝑥，𝑥≤0结合图象可知，﹣log2x3＝log2x4， 故x3x4＝1，
令﹣x2﹣2x＝0得，x＝0或x＝﹣2， 令﹣x2﹣2x＝1得，x＝﹣1； 故x1x2∈（0，1）， 故x1x2x3x4∈（0，1）． 故答案为：（0，1）．
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16．（5分）已知如表所示的是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，那么女性青年观众喜欢戏剧的频率与男性青年观众喜欢戏剧的频率的比值是 3：1 ．
男性青年观众 女性青年观众
合计
不喜欢戏剧
40 40 80
喜欢戏剧 10 60 70
60100
合计 50 100 150 =0.6，男性青年观
【解答】解：由表中数据可知，女性青年观众喜欢戏剧的频率为众喜欢戏剧的频率为
1050
=0.2，
所以女性青年观众喜欢戏剧的频率与男性青年观众喜欢戏剧的频率的比值是0.6：0.2＝3：1，
故答案为：3：1．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，若cos（A﹣B）＝0
（1）证明：tanA•tanB=16； （2）记△ABC的面积为S，求【解答】（1）证明：由
1715
𝑆𝑎2+𝑏2−𝑐21
1715
cos（A+B）﹣
的最大值．
cos（A+B）﹣cos（A﹣B）＝0，得
17cosAcosB﹣17sinAsinB﹣15cosAcosB﹣15sinAsinB＝0， 即2cosAcosB＝32sinAsinB， ∴tanA•tanB=16；
第11页（共17页）
1
（2）解：∵c2＝a2+b2﹣2ab•cosC，且S=𝑎𝑏⋅𝑠𝑖𝑛𝐶， ∴
𝑆𝑎2+𝑏2−𝑐212=
1
𝑎𝑏⋅𝑠𝑖𝑛𝐶22𝑎𝑏⋅𝑐𝑜𝑠𝐶
=
14
𝑡𝑎𝑛𝐶，
𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵16
=−=−(𝑡𝑎𝑛𝐴+𝑡𝑎𝑛𝐵)≤
1−𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵151−116而tanC＝﹣tan（A+B）=−−
168
×2√𝑡𝑎𝑛𝐴𝑡𝑎𝑛𝐵=−， 1515𝑆𝑎2+𝑏2−𝑐2则=
14
𝑡𝑎𝑛𝐶≤−
215
（当且仅当tanA＝tanB=时取等号）．
1
418．（12分）已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn．如果a4＝﹣12，a8＝﹣4． （1）求Sn的最小值及其相应的n的值； （2）判断{3𝑎𝑛}是何种数列，并给出证明．
𝑎+3𝑑=−12【解答】解：（1）设公差为d，由题意可得{1，
𝑎2+7𝑑=−4解得a1＝﹣18，d＝2，
故可得an＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣20， 令an＝2n﹣20≥0，解得n≥10，
故数列{an}的前9项均为负值，第10项为0，从第11项开始全为正数， 故当n＝9或n＝10时，Sn取得最小值， 故S9＝S10＝10a1+（2）bn=3𝑎𝑛=32n∴
𝑏𝑛+1𝑏𝑛
10×9
𝑑=−90； 2﹣20
，
=
32𝑛−1832𝑛−20=9，
∴{3𝑎𝑛}是等比数列．
19．（12分）某高等学校自愿献血的50位同学的血型分布情形如下表：
（1）今从这50人中随机选出两人，问两人血型相同的概率是多少？
（2）今有A血型的病人需要输血，从血型为A、O的同学中随机选出2人准备献血，记选出A血型的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ． 【解答】解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的所有事件是从50人选出两人的方法数为C502＝1225
而满足条件的事件是选出两人同血型的方法数为C202+C102+C52+C152＝190+45+10+105
第12页（共17页）
＝350，
∴两人血型相同的概率是
3501225
=．
7
2
（2）从血型为A、O的同学中随机选出2人准备献血选出A血型的人数为ξ ξ的取值为0，1，2，
2
𝐶20𝐶15𝐶2036038
𝑃(𝜉=0)=2=；𝑃(𝜉=1)==；𝑃(𝜉=2)==． 22119𝐶3517𝐶35𝐶35119𝐶15211
∴ξ的分布列为
∴Eξ=17×0+119×1+119×2=119=7．
20．（12分）如图1，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB＝BC=2CP＝2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥CD．
1
3
60
38
136
8
（Ⅰ）若E是PC的中点，求证：AP∥平面BDE； （Ⅱ）求证：平面PCD⊥平面ABCD； （Ⅲ）求二面角A﹣PB﹣C的大小．
【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接OE， 在正方形ABCD中，O为AC的中点，又因为E为PC的中点， 所以OE为△PAC的中位线， 所以OE∥AP，
又因为OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE， 所以AP∥平面BDE．
（Ⅱ）由已知可得AD⊥PD，AD⊥CD， 又因为PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，
第13页（共17页）
所以AD⊥平面PCD， 又因为AD⊂平面ABCD， 所以平面PCD⊥平面ABCD．
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）知AD⊥平面PCD，所以AD⊥PD，又因为PD⊥CD，且AD∩CD＝D，
所以PD⊥平面ABCD，
所以以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）， 所以𝐴𝑃=(−2，0，2)，𝐴𝐵=(0，2，0)， 设平面APB的一个法向量为𝑚=(𝑎，𝑏，𝑐)， ⋅𝐴𝑃=0即{2𝑏=0所以{𝑚 →→−2𝑎+2𝑐=0
𝑚⋅𝐴𝐵=0令a＝1，则c＝1，从而𝑚=(1，0，1)，
同理可求得平面PBC的一个法向量为𝑛=(0，1，1)， 设二面角A﹣PB﹣C的大小为θ，易知𝜃∈(，𝜋)，
𝑚⋅𝑛12𝜋
所以𝑐𝑜𝑠𝜃=−|𝑐𝑜𝑠＜𝑚，𝑛＞|=−→→=−，所以𝜃=，
23|𝑚|⋅|𝑛|
→
→
→
→
→
→
→
→
→
𝜋2→→
所以二面角A﹣PB﹣C的大小为
2𝜋3
．
21．（12分）已知函数：𝑓(𝑥)=2𝑥2−𝑎𝑙𝑛𝑥−𝑎，𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥−1 （Ⅰ）当x∈[1，e]时，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）对于任意的x1∈[0，1]都存在唯一的x2∈[1，e]使得g（x1）＝f（x2），求实数a的取值范围．
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1
【解答】解：（I）𝑓′(𝑥)=
𝑥2−𝑎
， 𝑥1
−𝑎． 210．a≤1时，x∈[1，e]f'（x）≥0f（x）递增，𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(1)=2．a≥e时，x∈[1，e]f'（x）≤0，f（x）递减，𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛
0
2
𝑒2
=𝑓(𝑒)=2−2𝑎，
30.1＜a＜e2时，𝑥∈[1，√𝑎]时，f'（x）＜0，f（x）是减函数， 𝑥∈[√𝑎，𝑒]时𝑓′(𝑥)＞0，𝑓(𝑥)递增， 所以𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(√𝑎)=−2−2𝑙𝑛𝑎， 综上，当𝑎≤1时，𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=当1＜𝑎＜𝑒2时，𝑓(𝑥)当𝑎≥𝑒2时，𝑓(𝑥)
𝑚𝑖𝑛
𝑎𝑎
1
−𝑎； 2𝑎2𝑎2=−−𝑙𝑛𝑎
𝑒2
−2𝑎． 2𝑚𝑖𝑛
=
（II）因为g'（x）＝ex﹣1，x∈[0，1]时g'（x）≥0，g（x）递增， g（x）的值域为[g（0），g（1）]＝[0，e﹣2]． （i）当a≤1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
1
−𝑎≤012又𝑓(1)=−𝑎，𝑓(𝑒)=−2𝑎，所以{2，
22𝑒
−2𝑎≥𝑒−221
𝑒2
即≤𝑎≤1．
2
（ii）当1＜a＜e2时，因为𝑥∈[1，√𝑎]时，f（x）递减，𝑥∈[√𝑎，𝑒]时，f（x）递增， 且𝑓(1)＜0，𝑓(√𝑎)＜0，所以只需f（e）≥e﹣2， 即
𝑒2
−2𝑎≥𝑒−2，所以1＜𝑎≤4−2+1， 2
1
𝑒2
𝑒
（iii）当a≥e2时，因为f（x）在[1，e]上单调递减，且𝑓(𝑥)≤𝑓(1)=2−𝑎＜0， 所以不合题意．
综合以上，实数a的取值范围是[2，1
𝑒2−2𝑒+4
)． 4𝑥2𝑎222．（12分）如图．已知F1，F2分别为椭圆率e=2，且a+c＝3． （1）求椭圆的标准方程；
1
+
𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，其离心
（2）设A，B分别为椭圆的上、下顶点，过F2作直线l与椭圆交于C、D两点，并与y
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轴交于点P（异于A，B，O点），直线AC与直线BD交于点Q，则𝑂𝑃•𝑂𝑄是否为定值，若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．
→→
【解答】解析：（1）由题意得，e=∴b2＝a2﹣c2＝3， 故所求椭圆的标准方程为
→
→
𝑐1
=，又a+c＝3，解得a＝2，c＝1， 𝑎2𝑥24
+
𝑦23
=1．
（2）𝑂𝑃•𝑂𝑄是为定值3．证明如下：
方法一：易知，直线l不垂直于x轴，由（1），得F2（1，0）， 可设直线l的方程为x＝my+1（m≠0），则P（0，−）． 将直线x＝my+1代入
𝑥24
1
𝑚+
𝑦23
=1中，整理，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，有△＞0．
6𝑚9
，y1y2=−2． 23𝑚+43𝑚+4设C（x1，y1），D（x2，y2），由韦达定理，得y1+y2=−直线AC的方程为y−√3=
𝑦1−√3𝑦2+√3x，直线BD的方程为y+3=x， √𝑥1𝑥2𝑦−√3𝑦+√3联立两直线方程，消去x，得=
𝑥2(𝑦1−√3)𝑥1(𝑦2+√3)，
22
√√𝑦−√32𝑥2(3−𝑦2(𝑦1−√3)(𝑦2−√3)2(𝑦1−3)2)(𝑦1−3)∴（）=== 22)(𝑦−√3)2√3)(𝑦+√3)𝑦+√3(𝑦+√3)𝑥2(𝑦−(3−𝑦12122196𝑚
√3𝑚+12𝑦1𝑦2−√3(𝑦1+𝑦2)+3−3𝑚2+4−√3(−3𝑚2+4)+3===（）．
√3(−6𝑚)+3𝑦1𝑦2+√3(𝑦1+𝑦2)+3−93𝑚−1√+223𝑚+4
3𝑚+4
∵−√3＜y1，y2＜√3，∴𝑦−√3𝑦+√3与𝑥2𝑥1
异号，
96𝑚4(1−√3𝑚)(1+√3𝑚)）+m（−）+1=，
3𝑚2+43𝑚2+43𝑚2+4
∵x1x2＝m2y1y2+m（y1+y2）+1＝m2（−∴
𝑥2𝑥1
与𝑦−√3√3𝑚+1𝑦−√3√3𝑚+1√3𝑚+1异号，∴与同号，∴=，
𝑦+√3√3𝑚−1𝑦+√3√3𝑚−1√3𝑚−1第16页（共17页）
解得y＝﹣3m，因此，可设点Q的坐标为（xQ，﹣3m），
→
→
故𝑂𝑃•𝑂𝑄=（0，−）（xQ，﹣3m）＝3（定值）•． 解法二：设直线l的方程为y＝k（x﹣1），P（0，﹣k），代入整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），由韦达定理，得x1+x2=
12√𝑘+13+4𝑘
22
1
𝑚𝑥24
+
𝑦23
=1中，
8𝑘
2
2，x1x2=
4𝑘−123+4𝑘
22
3+4𝑘
，
从而|𝑥1−𝑥2|=
．…①
𝑦1−√3𝑦2+√3直线AC的方程为y−√3=𝑥𝑥，直线BD的方程为y+√3=𝑥𝑥，
12
联立两直线方程，消去x，得由合分比定理，得2𝑦𝑦−√3𝑦+√3=
𝑥2(𝑦1−√3)𝑥1(𝑦2−√3)=
𝑘𝑥1𝑥2−(𝑘+√3)𝑥2𝑘𝑥1𝑥2−(𝑘−√3)𝑥1，
2√3=
2𝑘𝑥1𝑥2−𝑘(𝑥1+𝑥2)−√3(𝑥2−𝑥1)𝑘(𝑥2−𝑥1)+√3(𝑥1+𝑥2)3
𝑘，
将①代入上式中，化简，得y=−，
故𝑂𝑃•𝑂𝑄=（0，﹣k）（xQ，−）＝3（定值）•．
→
→
3
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