北京17年2模第24题汇总

（17年朝阳二模）

24．科学精神的核心是对未知的好奇与探究。小君同学想寻找教科书中“温度是分子平均动能的标志”这一结论的依据。她以氦气为研究对象进行了一番探究。经查阅资料得知：第一，理想气体的模型为气体分子可视为质点，分子间除了相互碰撞外，分子间无相互作用力；第二，一定质量的理想气体，其压强p与热力学温度T的关系式为p=nkT，式中n为单位体积内气体的分子数，k为常数。

她猜想氦气分子的平均动能可能跟其压强有关。她尝试从理论上推导氦气的压强，于是建立如下模型：如图所示，正方体容器静止在水平面上，其内密封着理想气体——氦气，假设每个氦气分子的质量为m，氦气分子与器壁各面碰撞的机会均等；与器壁碰撞前后瞬间，分子的速度方向都与器壁垂直，且速率不变。

请根据上述信息帮助小君完成下列问题：

（1）设单位体积内氦气的分子数为n，且其热运动的平均速率为v. a．求一个氦气分子与器壁碰撞一次受到的冲量大小I； b．求该正方体容器内氦气的压强p；

1

c．请以本题中的氦气为例推导说明：温度是分子平均动能（即mv2）的标志。

2（2）小君还想继续探究机械能的变化对氦气温度的影响，于是进行了大胆设想：如果该

正方体容器以水平速度u匀速运动，某时刻突然停下来，若氦气与外界不发生热传递，请你推断该容器中氦气的温度将怎样变化？并求出其温度变化量ΔT 【解答】

（1）a．对与器壁碰撞的一个氦气分子，由动量定理可得：I=2mv ① （3分） b．设正方体容器某一侧壁面积为S，则t时间内碰壁的氦气分子数为：

1 NnSvt ②

6 由动量定理得：FtNI ③

由牛顿第三定律可得：器壁受到的压力F=F④ 由压强的定义式得： P=F ⑤ S1 联立①②③④⑤得：pnmv2 ⑥ （7分）

3c．由于压强p和温度T的关系式为p=nkT ⑦

13联立⑥⑦得 Ekmv2kT ⑧

22由⑧可得：分子的平均动能Ek与热力学温度T成正比，故温度是分子平均动能的 标志。 （4分）

（2）设正方体容器中有N个氦气分子，当氦气随容器匀速运动时，整个气体机械运动的动

1Nmu2，设此时氦气温度为T1，容器内氦气的内能等于分子热运动的动能之和23即NkT1。

2能为

当氦气随容器突然停止时，气体机械运动的动能为零，设此时氦气温度为T2，则

3该容器内氦气的内能为NkT2。

2根据能量转化与守恒定律有：

133Nmu2NkT1NkT2 ⑨ 222mu2 解得： TT2T1 ⑩

3kmu2 所以氦气温度升高，升高的温度为ΔT=。 （6分）

3k

此题是典型的微观联系宏观情况，第一问的模型在以往的物理竞赛以及高考当中均有过考查，对于北京考生来说并不陌生，但即便如此，也并非白白送分，需要学生的基本概念很清晰，对于中等程度以上的考生来说应该可以入手。第二问考查的却很有新意，定量计算机械能转化为内能，计算量不大，但需要清楚的能量关系。建议在讲解时顺便给学生明确：内能与温度对应的分子动能实际是默认相对质心系的分子动能，不同于平时分析能量问题时总在地面系中去描述能量。另外，第二问可以有不止一种建立模型解决问题的方法，但其中有些方法似是而非，极容易鱼目混珠。比如有的学生会想象容器以某个加速度减速到0，然后考虑此过程中容器壁对气体做功，结果正好也等于答案，但这种做法在原理上是错误的，因为若考虑容器缓慢减速，则气体原来的动能将有大量转移到容器的机械能上，而非生热。所以我们在使用此题时需要仔细斟酌。

（17年海淀二模）

24．光电效应现象中逸出的光电子的最大初动能不容易直接测量，可以利用转换测量量的方法进行测量。

（1）如图10所示为研究某光电管发生光电效应的电路图，当用频率为ν的光照射金属阴极K时，通过调节光电管两端电压U，测量对应的光电流强度I，绘制了如图11所示的I-U图象。根据图象求光电子的最大初动能Ekm和金属K的逸出功W。已知电子所带电荷量为e，图象中Uc、Im、入射光的频率ν及普朗克常量h均为已知量。

r2 B I A K Im A V 电源 O O 1A -Uc O U

U图10 图12 图11

图13

（2）有研究者设计了如下的测量光电子最大初动能的方法。研究装置如图12所示，真空中放置的两个平行正对金属板可以作为光电转换装置。用频率一定的细激光束照射A板中心O，板中心O点附近将有大量的电子吸收光子的能量而逸出。B板上涂有特殊材料，当电子打在B板上时会在落点处留有可观察的痕迹。若认为所有逸出的电子都以同样大小的速度从O点逸出，且沿各个不同的方向均匀分布，金属板的正对面积足够大（保证所有逸出的电子都不会射出两极板所围的区域），光照条件保持不变。已知A、B两极板间的距离为d，电子所带电荷量为e，电子所受重力及它们之间的相互作用力均可忽略不计。

①通过外接可调稳压电源给A、B两极板间加上一定的电压，A板接电源的负极，由O点逸出的电子打在B板上的最大区域范围为一个圆形，且圆形的半径随A、B两极板间的电压变化而改变。通过实验测出了一系列A、B两极板间的电压值U与对应的电子打在B板上的最大圆形区域半径r的值，并画出了如图13所示的r2-1/U图象，测得图线的斜率为k。请根据图象，通过分析计算，求出电子从A板逸出时的初动能；

②若将A板换为另一种金属材料，且将其与可调稳压电源的正极连接，B板与该电源的负极连接，当两极板间电压为U0时，电子打在B板上的最大区域范围仍为一个圆，测得圆的半径为R。改变两极板间的电压大小，发现电子打在B板上的范围也在发生相应的变化。为使B板上没有电子落点的痕迹，试通过计算分析两金属板间的电压需满足什么条件？

【解答】

（1）由题中图11可知，光电效应的反向截止电压为Uc，根据动能定理可得，光电子的最大初动能 Ekm=eUc ………………………………………………………………（3分）

根据爱因斯坦光电效应方程可知，金属K的逸出功W=hν- eUc…………………（3分） （2）①打在电子分布区域边缘的电子，其初速度方向平行于A板表面，做匀变速曲线（类平抛）运动。…………………………………………………………………………（1分）

设两板间的电压为U，电子的质量为m，初速度为v0，在两板间运动的加速度大小为a1，飞行时间为t1，则根据牛顿定律有：a1对于垂直于极板方向的运动有 deU……………………………………（1分） dm12a1t1 ………………………………………（1分） 2电子分布圆形区域的半径为 r=v0t1 …………………………………………………（1分）

4d212mv0……………………………………………（2分）联立上述三式可解得 r eU24d2Ek14d2Ek22

即r，所以r-1/U图象中的 k………………………（1分）

eeUke因此初动能 Ek……………………………………………………………（1分）

4d2eU0②电子在两极板间运动的加速度a2

dm2设打在落点区域边缘的电子从O点向出时沿垂直极板的方向的速度为vy，平行极板方向的速度为vx，电子在两极板间运动的时间为t2，落点区域边缘处电子到达B板上时速度方向平行于B板。则

沿垂直极板方向上有 vy2=2a2d …………………………………………………（1分） vy=a2t2 ……………………………………………………（1分） 沿平行极板方向上有 R= vx t2，……………………………………………………（1分）

从O点逸出光电子的速度vm=vxvy 2212R2)……………（1分） 联立上述4式可解得，电子的初动能Ekm=mvmeU0(1224d设沿垂直极板方向射出的电子刚好不能达到B板时两板间的电压为Um，根据动能定理

有 Ekm=eUm

R2)，……………………………………………………………（1分）解得Um=U0(1 4d2为使B板上没有电子落点的痕迹，则两金属板间的电压应满足的条件是

R2)……………………………………………………………………（1分） U>U0(124d

此题利用光电效应为背景，实际考察了带电粒子在匀强电场中的匀变速运动规律。难点主要在运动学的分析上，需要学生能够准确判断出临界情况，有一定的难度。这种运动轨迹分析的题目近年来在北京高考中比较少见，因此学生在最后一问的分析上会遇到一些困难。建议讲评时引导学生仔细思考并严格证明为什么临界情况如答案所说，不能只是简单告知临界情况，从而导致学生不得甚解。

【17年通州二模】

24.（20分）玻尔的原子结构理论指出，电子环绕原子核做圆周运动，如图1所示。已知某状态下电子绕核运动的轨道半径为r，电子的电量为e，静电力常量为k。试回答以下问题： （1）求电子在轨道半径为r圆周上运动时动能Ek；

（2）氢原子核外电子的轨道是一系列分立、特定的轨道，如图2所示，电子对应的轨道半径关系为rn=n2r1（n=1，2，3…）。图3为氢原子的能级图。已知n=1时，相应的轨道半径r1=0.53×1010 m，静电力常量k=9.0×109 Nm2/C2。计算n=3时，氢原子的势能Ep3；

-

（3）若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为M、m的两个质点相距为r时的引力势能表达式为EpGMm，式中G为引力常量。原子核和它周围的电子运动r模型与太阳和地球、地球和人造卫星运动很相似。如图4所示，设距地球无穷远处万有引力势能为零，已知地球的质量为MD，地球半径为RD。请推导地球的第二宇宙速度表达式。

r

地球

图1 图2 图3 图4

v2【解答】解：（1）（6分）设电子质量为me，根据牛顿第二定律，k2=me

rre2

ke2∴Ek=

2r（2）（6分）根据rn=n2r1，当n=3时，可知r3=9r1

∴Ek3=ke2n22r1

2ke29×109×（1.6×10-19）= =≈2.42×10-19 J≈ 1.51eV -109×2r19×2×0.53×10 又∵E3=Ek3+Ep3 ∴Ep3=-3.02eV

（3）（8分）若要摆脱地球的约束，需从地球表面飞至无穷远,由于地球无穷远处万有引

力势能为零，忽略空气阻力，物体和地球组成的系统机械能守恒， 则

Mm1mv2+（-GD）=0+0 2RD∴v=2GMD RD此题重点考查了平方反比力对应能量问题，其中的势能的知识属于信息给予，有过物理竞赛和高校自主招生考试学习经历的同学完全可以从容应对，但对于没有见过这种模型的同学来说却是难度很大。建议讲评时给物理成绩优秀的考生重点普及一下平方反比力对应的势能知识，保证考生今后遇到此种问题不会慌乱。

（17年西城二模） 24．（20分）简谐运动是我们研究过的一种典型运动形式。 （1）一个质点做机械振动，如果它的回复力与偏离平衡位置的

位移大小成正比，而且方向与位移方向相反，就能判定它 是简谐运动。如图1所示，将两个劲度系数分别为k1和 k2 的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间 接一质量为m的小球，此时两弹簧均处于原长。现将小球 沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置往复运动。 请你据此证明，小球所做的运动是简谐运动。

（2）以上我们是以回复力与偏离平衡位置的位移关系来判断一个运动是否为简谐运动。但其实简谐运动也具有一些其他特征，如简谐运动质点的运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系就都可以表示为v2 = v02 - ax2，其中v0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，a为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数。请你证明，图1 中小球的运动也满足上述关系，并说明其关系式中的a与哪些物理量有关。已知弹簧的弹性势能可以表达为kx2，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量。

k1 O 图1

k2 x 12（3）一质点以速度v0做半径为R的匀速圆周运动，如图2所示。请结合第（2）问中的信

息，分析论证小球在x方向上的分运动是否符合简谐运动这一特征。

【解答】（20分）

（1）（6分）当小球向右运动到任意位置C，离开O的位移为x，此时小球受到两个弹力F1、F2，方向沿x轴负方向，如图1所示。两个力的合力即为小球的回复力，即 F= -（F1+F2）= -（k1x+k2x）= -（k1+k2）x 其中k1+k2为常数，所以F与x成正比。

回复力F沿x轴负方向，位移x沿x轴正方向，

F与x

方向相反。由此证明小球所做的运动是简谐运

k1 O x x k2 x 动。

F1 F2 C （2）（6分）当小球从平衡位置O运动到任意位置C

图1 时，设此时小球的速度为v

1111根据能量守恒mv02mv2k1x2k2x2

2222kk整理后得v2v02(12)x2

mkk其中常数a12与两个弹簧的劲度系数和小球的质量有关。

m（3）（8分）质点从A点运动到B点，在B点将速度分解，如图2所示。

A点速度v0沿x正方向，所以v0即为x方向上经过平衡位置O点的速度 y B点速度沿x方向的分量为vx= v0sinθ①

vA 0 B点在x方向的投影x = Rcosθ②

B vx θ v0 vx将以上两式两边平方并相加sincosx22

Rv02222R θ O x v整理后得vxv002x

R22222v0为一常数，常数与小球做匀速圆周运动的速度和半2R径有关。所以小球在x方向上的分运动符合简谐运动这一特证。

因v0和R均不变，所以式中

此题非常重视对基本概念的考查，没有复杂的计算，简单明了的让学生从定义出发对简谐运动进行证明。简谐运动本身有多种定义方式，题中第一问采取了学生在课本上学来的最基本的方式来判断，即回复力正比于偏离平衡位置的位移；但第二问却给出了一种学生平时不常见的方法来判断简谐运动，需要学生从能量的角度出发给出证明；到了第三问又开放性的让学生去证明匀速圆周运动运动在某方向的投影是简谐运动。题目整体构架非常完整，又对基本的力学规律有多方面考察，而且难度适中。建议在讲评此题的时候尤其对第三问最好给出多种证明方法，比如分析ax∝-x，又比如分析x坐标随时间是正弦规律变化等等，让学生通过对匀速圆周运动在某方向的投影运动情况充分分析后，加深对基本力学规律的理解。

图2

（17年丰台二模）

24.（20分）如图甲所示，光滑的绝缘细杆水平放置，有孔小球套在杆上，整个装置固定于

某一电场中。以杆左端为原点，沿杆向右为x轴正方向建立坐标系。沿杆方向电场强度E随位置x的分布如图乙所示，场强为正表示方向水平向右，场强为负表示方向水平向左。图乙中曲线在0≤x≤0.20m和x≥0.4m范围可看作直线。小球质量m=0.02kg，带电量q=+1×10-6C。若小球在x2处获得一个v=0.4m/s的向右初速度，最远可以运动到x4处。 （1）求杆上x4到x8两点间的电势差大小U；

（2）若小球在x6处由静止释放后，开始向左运动，求：

a. 加速运动过程中的最大加速度am；

．．．．．．

b. 向左运动的最大距离sm；

（3）若已知小球在x2处以初速度v0向左减速运动，速度减为零后又返回x2处，所用总

时间为t0，求小球在x2处以初速度4v0向左运动，再返回到x2处所用的时间（小球运动过程中始终未脱离杆）。你可能不会计算，但小球向左运动过程中受力特点你并不陌生，请展开联想，通过类比分析得出结果。

E (N/C) 3.75 x 104 o 图甲

x -0.4 x 104 -1.2 x 104 o x1 x2 x3 x4 x5 0.50 x6 x7 x8 0.80 0.15 0.20 0.30 0.40 0.60 0.70 x/m 图乙 【解答】24．（20分）解：（1）x4与x8之间为匀强电场E=4×103V/m

U=Ed（2分）

得：U=1600 V（2分）

（2）a．加速运动过程中，经过x3处场强最大

Fm=Emq（2分）

由牛顿第二定律：Fm=mam；（2分）

得：am=0.6m/s2（1分）

b．设x2与x4之间的电势差为U2

由动能定理：-qU20-得：U2=1.6×103V（1分）

设x4与x6之间的电势差为U1：U1=0.8×103V（1分）

设向左运动的最远处距x2处的距离为x′，电场强度大小为Ex′

带电小球由位置x6处到最远处的过程：

1mv2（1分） 2

根据动能定理：qU1qU2q1Ex'x'0（1分）

2E3.75104（1分） ¡0.05x得：x′=0.08m=8cm（1分） 所以：Sm=（0.6-0.2）+ x′=0.48m（1分）

（3）如图：设距x2处左侧距离为x处的电场强度大小为Ex 小球在距x2处左侧距离为x处所受电场力大小为F：F=Exq

由图可知：Ex=Kx（K为常量） 所以：F=qKx

小球在x2处左侧所受电场力方向总指向x2（向右）

小球在x2处左侧相对于x2处的位移总背离x2（向左）

综上可知：电场力F的大小与x成正比，方向与x方向相反。小球向左的运动是简谐运动的一部分，振动周期与振幅无关，小球从x2处向左运动再返回的时间是简谐运动的半个周，因此以4v0为初速度的时间仍为t0。（4分）

（其他做法正确均得分）

此题有一定难度，考查了电场强度、电势差、能量以及简谐运动等知识，综合性强，

且有一定的计算量。前两问重点考察了电场力、电势差和能量关系，只要学生的基本概念清晰，关于电学部分的问题都能顺利解决，主要难点是能量关系，尤其是计算随空间位移线性变化的力做功上，这里建议使用图像法解释更能显现物理本质。第三问很有新意，考查学生的迁移能力，需要学生知道简谐运动的周期是和振幅无关的，然而这个结论中学阶段一般情况并没有给出证明，学生只是在学习单摆时会了解到，小振幅的单摆周期是和摆幅无关的，而且做“单摆测量重力加速度”实验时，单摆摆幅逐渐变小，也可以近似认为周期没变。但毕竟教科书上并没有明确给出简谐运动的周期与振幅无关的结论。所以在这个知识点上，考察学生是否学习过该知识要比考查学生迁移能力的成分更多。

Ex . .x x 2

（17年东城二模） 24．（20分）

我们知道：电流周围有磁场。图1所示为环形电流周围磁场的分布情况。根据电磁学理论可知，半径为R、电流强度为I的环形

I电流中心处的磁感应强度大小B=k，其中k为已知常量。

R⑴正切电流计是19世纪发明的一种仪器，它可以利用小磁针的偏转来测量电流。图2为其结构示意图，在一个竖直放置、半径为r、图1

匝数为N的圆形线圈的圆心O处，放一个可以绕竖直轴在水平面内转动的小磁针（带有分度盘）。线圈未通电流时，小磁针稳定后所指方向与地磁场水平分量的方向一致，调整线圈方位，使其与静止的小磁针处于同一竖直平面内。给线圈通上待测电流后，小磁针偏转了α角。已知仪器所小磁针 线圈 在处地磁场的磁感应强度水平分量大小为Be。求： a．待测电流在圆心O处产生的磁感应强度BO的大小。 b．待测电流Ix的大小。

o ⑵电流的本质是电荷的定向运动，电流可以产生磁场意味图2 着运动的电荷也可以产生磁场。如图3所示，一个电A 荷量为q的点电荷以速度v运动，这将在与速度垂直的方向上、与点电荷相距为d的A点产生磁场。请你利用上面电流产生磁场的规d 律，自己构建模型，求出该点电荷在此时的运动将在A点产生的磁

v 场的磁感应强度大小BA。

q

图3 【解答】24．（20分）

⑴a．地磁场磁感应强度的水平分量Be与BO的关系如图所示。

有 BO=Betan ① b．由题可知 BO=kBe α BO NIx ② rBertan可得 Ix=

kN

⑵电流强度为I、半径为d的环形电流，可以看作是由Z个电荷量为q的点电荷，以相同的速率v沿半径为d的圆周做同方向定向运动而形成。 在Δt时间内通过环上某截面的电荷量 Q=电流强度 I=Zq×vt ③ 2dQvZq= ④ t2dIkvZq= ⑤ d2d2 环心处的磁感应强度大小可以写成：B=k而这个磁场可以看作是由Z个电荷量为q的点电荷共同产生的，且由对称性可知每个点电荷在环心处产生的磁感应强度相同（均为BA），所以有 B=ZBA ⑥

点电荷在A点产生的磁场的磁感应强度大小 BA=说明：其他方法正确同样给分。

kvq 2d2此题模型对于学生而言非常罕见，无论是正切电流计还是环形电流产生磁场的规律（信息给予）都是绝大部分学生没见过的。但实际难度不大，第一问考查了矢量的基本合成法则；第二问则是宏观——微观结合，考查了学生对电流概念的理解以及建立模型的能力，只要学生对洛伦兹力和安培力之间互相推导的方法非常清楚，第二问难度并不算大。值得注意的是，讲评此题时，可以尽可能的列举各种模型对第二问进行计算。比如，除了答案给出的方法之外，还可以假设只有一个电子高速旋转形成电流I，也可以假设定向运动自由电子的数密度为n，或是假设定向运动自由电子数的线密度为λ……这些方法都可以得出正确结果。需要注意的是，此题传达了一个信息：我们不仅要关注教科书上的模型，更重要的是要理解这些模型所涉及的物理思想方法。