2015年高考重庆理科数学试题及答案(word解析版)

数学（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年重庆，理1】已知集合A1,2,3，B2,3，则（ ）

（A）AB （B）AB （C）A【答案】D

【解析】A={1,2,2}，B={2,3}BA且BABA，故选D．

（2）【2015年重庆，理2】在等差数列an中，若a24，a42，则a6（ ）

（A）1 （B）0 （C）1 （D）6 【答案】B

【解析】利用a2+a62a4可求得a60，故选B． （3）【2015年重庆，理3】重庆市2013年各月的平均气温（C）数据的茎叶图如右，则这组

数据的中位数是（ ） （A）19（B）20（C）21.5 （D）23

【答案】B

20+20【解析】这组数据是8,9,12,15,18,20,20,23,23,28,31,32． 中位数是20，故选B．

2（4）【2015年重庆，理4】“x1”是“log1x20”的（ ）

2B （D）BA

（A）充要条件 （B）充分不必要条件 （C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】log1(x2)0x1，故选B．

2（5）【2015年重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

1212 （A） （B） （C）2 （D）2

3333【答案】A

【解析】该立体图形是由一个三棱锥和一个半圆柱拼接而成的，其体积为两部分体积之和：

11(12)21211，故选A． 322322|b|，且ab3a2b，则a与b的夹角为（ ） 33（A） （B） （C）（D）

424

【答案】A

222【解析】(ab)(3a2b)(ab)(3a2b)0，结合|a||b|，可得ab|b|，

33ab2cosa,b,a,b[0,]a,b，故选A．

24|a||b|（6）【2015年重庆，理6】若非零向量a,b满足|a|（7）【2015年重庆，理7】执行如图所示的程序框图，若输入k的值为8，则判断框图可填入的条件

是（ ）

351115（A）s （B）s （C）s （D）s

461224【答案】C

111111【解析】s0,k0是k2，s是，k4，s+是，k6，s++是2242461

111111111k8，s+++否，判断框内应该填s++=，故选C．

246824612xay10aR是圆C：x2y24x2y10的对称轴，（8）【2015年重庆，理8】已知直线l：过点A4,a作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|（ ）

（A）2 （B）42 （C）6 （D）210 【答案】C

22【解析】C:x-2y-14，其圆心坐标为C，半径r2．由题意可知直线l:xay10(aR)是圆的（2,1）直径所在直线，它过圆心C，所以2a110a1A(4,1)AC210．由几何图形可（2,1）知，ABAC2r24046，故选C．

3)10（9）【2015年重庆，理9】若tan2tan，则＝（ ）

5sin()5（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【答案】C

cos(【解析】tan2tan52sinsincos5cos，

53)cos[()]sin()sincoscossincos1052555 sin()sin()sin()sincoscossincos555553cos()103，故选C． 将式带入上式可得：cos(sin()5x2y2（10）【2015年重庆，理10】设双曲线221a0,b0的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线

ab与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D．若D到直线BC的距离小于

aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）

（A）1,0【答案】A

0,1 （B）,11, （C）2,00,2 （D）,22,

b2b2【解析】由题意可得：A(a,0),F(c,0),B(c,)AFca,BF．在RtABD中，由射影定理有：

aab()22BF(ca)2(ca)(ca)2(ca)2aBFAFDFDF．即点D到直线BC的距离为，由题AFcaa2a2(ca)2(ca)b意得：a二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2015年重庆，理11】设复数abia,bR的模为3，则abiabi ． 【答案】3

【解析】复数abi(a,bR)的模为3a2b23a2b23．(abi)(abi)a2b23．

2

18（12）【2015年重庆，理12】x3． 的展开式中x的系数是 （用数字作答）

2x5【答案】

27r151r7r15r35rr1)C5rx2158r2．故(x3【解析】Tr1C5(x)()的展开式中x8的系数为222x2x15C522． 22PABC的角平分线AD3，AB2，（13）【2015年重庆，理13】在ABC中，则AC ． B1200，

5【答案】6

ADAB2sinADBADB45BAD15BAC30， sinBsinADB2ACABC30，再由正弦定理可得：AC6．

sinBsinC考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． （14）【2015年重庆，理14】如图，圆O的弦AB,CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，

若PA6，AE9，PC3，CE:ED2:1，则BE ． 【答案】2

【解析】由切割线定理可得：PA2PCPDPD12CD9CE6,ED3．再由相交弦

定理可得：AEBECEDEBE2．

x1t（15）【2015年重庆，理15】已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极

y1t【解析】由正弦定理可得：

点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos24(0,35)．则直线44l与曲线C的交点的极坐标为 ．

【答案】2,

【解析】直线l的直角坐标方程为yx2．2cos242(cos2sin2)4x2y24.由 yx2x23522．由ysin0及=． xy222xy4y044（2,）故直线l与曲线C的交点的极坐标为．

（16）【2015年重庆，理16】若函数f(x)x1xa的最小值为5，则实数a __．

【答案】4或-6

【解析】分情况讨论：（1）当a1时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：fx在a处取得

最小值5，所以|a1|5a6；（2）当a1时，利用零点分段讨论法分段讨论并结合函数图像可知：

fx在a处取得最小值5，|a1|5a4，综上，可得实数a6或4．

三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2015年重庆，理17】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）端午节吃粽子是我国的传统

习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同， 从中任意选取3个．

（Ⅰ）求三种粽子各取到1个的概率；

（Ⅱ）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．

111C2C3C51． 解：（Ⅰ）令A表示事件“三种粽子各取到一个”，则PA3C1041221C83C2C8C2C771（Ⅱ）X所有可能取值为0,1,2，且PX03，PX13， PX238．

C1015C1015C1015故分布列见表：

X

0 3

1 2

且EX0P 7 157 151 157713． 12（个）

15151552（18）【2015年重庆，理18（】本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）设fxsinxsinx3cosx．

2（Ⅰ）求fx的最小正周期和最大值；

2（Ⅱ）讨论fx在,上的单调性．

633132x解：（Ⅰ）由题fxcosxsinx3cos2xsin2x，故fx的最小正周期 1cos2xsin3222T，最大值为23． 252（Ⅱ）由x,知02x，从而当02x即x时，fx单调递增；当

3326126352552时，fx单调递减．因此，fx在,单调递增，在,单2x即x23123612123调递减．

（19）【2015年重庆，理19】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）如图，三棱锥PABC中，

PC平面ABC，PC3，ACB2，且CDDE2，D,E分别为线段AB,BC上的点，CE2EB2．

（Ⅰ）证明：DE平面PCD；

（Ⅱ）求二面角APDC的余弦值．

解：（Ⅰ）因PC平面ABC，DE平面ABC，故PCDE．又CDDE2，CE2，故CDE

为等腰直角三角形，且CDDE．因PCCDC，PC平面PCD，CD平面PCD， 所以DE平面PCD．

（Ⅱ）如图，取CE的中点F，连DF．由（Ⅰ）知CDE为等腰直角三角形，故DFCE，

DFFB23DFCFFE1．又ACB，故DF//AC，因此，从而AC．

2ACCB32以C为原点，CA,CB,CP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系

zP31Cxyz．则C0,0,0，A,0,0，E0,2,0，D1,1,0，P0,0,3，故DA,1,0，

22FCnDA0DP1,1,3，DE1,1,0．设n1x1,y1,z1为平面APD的法向量，则1 ADnDP0x1x12y10即，取y11得n12,1,1．由（Ⅰ）知DE平面PCD，故DE即为平面PCD的法

xy3z01113nDE3向量．因cosn1,DE1，故所求二面角APDC的余弦值为． 66|n1||DE|2ax（20）【2015年重庆，理20】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问5分）设函数fx3xaR． xEBy（Ⅰ）若fx在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yfx在点1,f1处的切线方程； （Ⅱ）若fx在3,上为减函数，求a的取值范围． 解：（Ⅰ）由题fxe6xaex3x2axexe2x3x26axaex，因fx在x0处取得极值，故f00，

33得a0．因此fx3x2ex，fx6x3x2ex．从而f1，f1，所以曲线yfx在

ee4

33点1,f1处的切线方程为yx1即3xey0．

ee33x1对x3恒成立．显然x1399gx3x1在3,单调递减，故gmaxxg3，所以a，即a的取值范围为

x12292,． （21）【2015年重庆，理21】（本题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，椭圆

22xy1ab0的左右焦点分别为F1,F2，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，且 22abPQPF1． （Ⅱ）由题知fx0对x3恒成立，故3x26axa0即a（Ⅰ）若|PF1|22，|PF2|22，求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若|PF1||PQ|，求椭圆的离心率e．

解：（Ⅰ）由题2a|PF1||PF2|4，故a2．又4c2|PF1|2|PF2|212，故c23，因此b2a2c21，从

x2而椭圆方程为y21．

4（Ⅱ）连F1Q，由题4a|F1P||PQ||QF1|22|F1P|，故|F1P|222a，从而|F2P|2a|F1P|2因此4c2|PF1|2|PF2|24962a2，所以e29621a，

2得e63． 63，

2（22）【2015年重庆，理22】（本题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）在数列an中，a13，

an1anan1an20nN．

（Ⅰ）若0，2，求数列an的通项公式； （Ⅱ）若111k0N,k02，1，证明：2ak012． k03k012k01解：（Ⅰ）由0，2得an1an2an2．因a130，故an0，得an12an．因此an是首项为3公比为

2的等比数列，从而an32n1．

1（Ⅱ）由题an1anan2，因a130，故3a1a2k0an0．

因an1an21ank0k0an111111， ，即an1ank0k0an1k0k0k0an1k0故ak01k011111a1ai1ai31312，

kka1k3k13k1i1i100ii1000因此a1a2综上可知2ak0ak012，从而ak013i1k011112． k02k012k0111ak012． 3k012k015