FFT 谐波分析

电能质量作业

学生姓名： 王朝斌 李洋 刘佳滢 王诗清 学 号： 23、58、93、123 作业题目： FFT谐波分析

2013 年 6月6日

1.作业内容：

通过构建谐波源，对系统中出现的谐波电流进行分析，计算0~63次谐波电流含有率THDi。

2.理论分析

2.1傅立叶变换

设有周期信号分f(t)，它的周期是T，角频率=2F2，它可分解为 Tf(t)a0a1cos(t)a2cos(2t)b1sin(t)b2sin(2t) 2a0ancos(nt)bnsin(nt) （1） 2n1n1式中的系数an，bn称为傅立叶系数。考虑到正、余弦函数的正交条件，可得傅立叶系数：

2Tan2Tf(t)cos(nt)dt， n=0，1，2

T22Tbn2Tf(t)sin(nt)dt, n=1，2

T2傅立叶系数an和bn都是n（或n）的函数，其中an是n的偶函数，即anan；而bn是n的奇函数，即bnbn。

将式（1）中同频率项合并，可写成如下形式：

f(t)A0A1cos(t1)A2cos(2t2) 2A0Ancos(ntn) （2） 2n1式中 A0a0

2Ananbn2， n=1，2

narctan(bn) an将式（2）的形式化为式（1）的形式，它们系数之间的关系为 a0A0

anAncosn， n=1，2 bnAnsinn

式（2）表明，任何满足狄里赫利条件的周期函数可分解为直流和许多余弦（或正弦）分量。其中第一项

A0是常数项，它是周期信号中所包含的直流分量；2式中第二项A1cos(t1)称为基波，它的频率与原周期信号相同，A1是基波振幅，1是基波初相角；式中第三项A2cos(2t2)称为二次谐波，它的频率是基波频率的二倍，A2是基波振幅，2是基波初相角。以此类推，还有三次、四次、

谐波。

2.2时域取样定理

一个频谱在区间（m，m）以外为零的频带有限信号f(t)，可唯一的由其在均匀间隔Ts(Ts1)上的样点值f(nTs)确定。 2fm为了能从取样信号fs(t)中恢复原信号f(t)，需满足两个条件： ① f(t)必须是带限信号，其频谱函数在m各处为零；

② 取样频率不能过低，必须满足fs2fm（即s2m），或者说取样间隔不能

太长，必须满足Ts1，否则将会发生混叠。 2fm通常把最低允许取样频率fs2fm称为奈奎斯特（Nyquist）频率，把最大允

许取样间隔Ts

1称为奈奎斯特间隔。 2fm2.3各次谐波电流有效值计算

傅立叶算法是以傅立叶级数为基础的，对于任何输入量为周期函数的信号

u(t)、i(t)都可以分解为含有直流分量U0、I0及各种谐波分量的傅氏级数：

i(t)I0Inccos(n1t)Inssin(n1t)

n1n1u(t)U0Unccos(n1t)Unssin(n1t)

n1n1式中 n—n次谐波，n=1，2；

Inc、Unc、Ins、Uns—n次谐波的余弦分量、正弦分量电流、电压值。

由cosnt、sinnt （n=1，2）组成的正交函数组做样品函数，分别用

cost、sint、cos2t、sin2t正交函数集中的各项与i(t)或u(t)想成，可相应1、得到各次谐波分量。例如，需要得到基波分量电流，则用sinnt和cosnt分别与i(t)相乘，从任一时刻t0积分一周期T，利用正交函数的特性即可消去直流分量和各次谐波，从而得到：

2t0TIri(t)sintdt

Tt0Ii2t0Ti(t)costdt t0T2t0TUru(t)sintdt

Tt0Ui2t0Tu(t)costdt tT0设每个工频周期采样N次，对上式用梯形数值积分来代替，从而可求得

2IrN2IiNiksinkk1NN2 N2 Nikcoskk12UrN2UiNuk1NNksink2 N2 Nukcoskk1从而可以求出电流、电压有效值为

Ir2Ii2 I2Ur2Ui2 U2Iitan iIrUitan uUrui

也可以简单求得功率为

1UrIrUiIi 21QUiIrUrIi

2P1/2来自于：式中的

UrUiIrIi都是幅值，而计算功率时，应该用有效值这就出现

了2*2，出现1/2。

3.构造谐波源

图1 测试实验主电路

非线性负载是典型的谐波源，所采用实验主电路由电源变压器，二极管整流桥电路，电容滤波电路及电阻负载组成，如图1所示。在电源变压器二次侧采集谐波电流信号。

4.搭建实验实物图

图2 测试实验实物图

5.程序

//均方根算法计算全波有效值 float urms_GETUb(void) { float u1,u2;

unsigned char i;

//计算全波有效值 u1=0; u2=0;

for(i=0;i<128;i++)

{ u1=Result_ADC[0][i]*4.091/4096; u2=u2+u1*u1; }

u2=sqrt(u2/128);

return u2; }

//FFT算法计算基波有效值 float FFT_GETUb(void) { unsigned int k,j; unsigned int t; float Ur,Ui; float Ux,Ub;

Ih[0]=urms_GETUb(); Ih[0]*=2.637;

for(j=1;j<;j++)

{//计算各次谐波电压正弦分量和电压余弦分量 Ux=0; Ur=0; Ui=0;

for(k=0;k{ Ux=Result_ADC[0][k]*4.091/4096; Ur=Ur+Ux*sin(j*(k+1)*0.0490625); Ui=Ui+Ux*cos(j*(k+1)*0.0490625); }

Ur = Ur/; Ui = Ui/;

Ih[j]=sqrt( (Ur*Ur+Ui*Ui)/2.0 ); Ih[j]*=2.637; }

Ub=Ih[1]; return Ub; }

6.波形图像

图3 所采集的谐波电流波形图

7.采样数据

1. 采样一个周波，获得的离散序列如下： 采样点 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 采样值 807 780 744 703 660 617 574 533 493 453 419 385 3 320 298 274 255 231 213 196 182 167 采样点 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 55 56 57 58 59 60 采样值 56 52 51 49 48 47 45 41 35 26 13 -11 -47 -97 -1 -250 -353 -469 -585 -691 -756 采样点 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 采样值 -237 -213 -188 -163 -146 -130 -112 -98 -83 -73 -63 -52 -42 -28 -27 -20 -18 -9 -7 1 4 7 采样点 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 采样值 174 240 322 419 526 628 731 793 825 831 821 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 1 143 132 128 114 108 100 94 87 83 78 74 71 67 63 61 58 61 62 63 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 -792 -803 -796 -775 -744 -706 -665 -619 -574 -529 -485 -443 -402 -365 -329 -296 -266 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 12 14 19 20 22 24 26 27 29 26 32 36 41 52 67 88 120 2. 应用Excel自动生成曲线图4，以验证采样结果正确。

图4 Excel还原的谐波电流曲线图

8.各次谐波有效值计算

各次谐波含有率：

HRInIn100% I1 式中，In为第n次谐波电流有效值；I1为基波电流有效值。

序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 采样各次谐波电流值 1.0295142 0.88863194 0.0025807081 0.449468 0.003155177 0.20993836 0.008122063 0.10001105 0.00032768477 0.047669861 0.00053381431 0.024903949 0.00090986281 0.01416723 0.00094676553 0.0075619742 0.0009923405 0.0039221509 0.00087856996 0.0034888261 0.00127231 0.0025812031 0.00066568208 0.00133204 0.000390622 0.0014226132 0.00031459911 0.0016883095 0.00079236075 0.0017698407 0.000377184 0.00076657481 各次谐波含有率 0.002904136 0.505822107 0.0035506 0.2362447 0.009139963 0.11249 0.000368752 0.05341 0.000600715 0.028025044 0.0010232 0.015942742 0.0010619 0.008509681 0.001116706 0.004413696 0.000988677 0.0039260 0.001431852 0.002904693 0.000749109 0.001524051 0.001005935 0.001600903 0.0003026 0.00197 0.00016 0.0019917 0.000724453 0.0008626 百分值（%） 0.29041361 50.58221067 0.355060049 23.624469 0.913996294 11.2493 0.036875196 5.3410039 0.060071475 2.802504375 0.10231 1.594274228 0.106192 0.850968085 0.111670587 0.441369562 0.0988677 0.3926026 0.1431851 0.290469314 0.074910888 0.1524051 0.100593528 0.160090262 0.0302634 0.19739 0.0166359 0.1991651 0.072445274 0.0862602 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 55 56 57 58 59 60 61 62 63

总谐波畸变率：

0.00078245281 0.00068134285 0.0012187131 0.0012787981 0.00067236921 0.00032188231 0.0011257387 0.00101192434 0.00076050078 0.000971711 0.0016110881 0.00211004 0.00081517734 0.0011529176 0.0010620973 0.0011613045 0.00070260069 0.000919063 0.001512867 0.0012284407 0.00151801 0.00038071163 0.0013847599 0.0011133081 0.0010676773 0.00171234 0.0011048539 0.0012153626 0.0011145195 0.0015814792 0.0011267324 0.00073636317 0.000880514 0.000766732 0.001371449 0.0014390 0.000756634 0.000362222 0.001266822 0.001138744 0.000855811 0.000618611 0.001812998 0.002374487 0.00091734 0.001297407 0.001195205 0.001306845 0.0007906 0.001034252 0.001702468 0.001382395 0.001709347 0.000428424 0.001558305 0.001252834 0.001201484 0.001926946 0.00124332 0.001367678 0.0012197 0.001779679 0.00126794 0.0008288 0.088051394 0.076673234 0.137144868 0.143906385 0.075663408 0.036222231 0.126682223 0.113874406 0.085581076 0.061861057 0.181299819 0.237448746 0.091733968 0.129740734 0.119520496 0.130684533 0.0790633 0.103425151 0.17024675 0.138239539 0.170934673 0.042842443 0.155830534 0.125283377 0.120148427 0.192694559 0.124332004 0.136767828 0.1219699 0.177967855 0.126794047 0.082881 ITHDih100%I12I0I12I11.029514220.888631942100%100%58.499%0.8886319422IhI2I32InI02I1222IhI2I32In0.5094

THDiIh100%57.324% 确实存在误差！！I1

9.问答

问：

（1）本实验中采样过程中，为了得到63次谐波，一共采了128个点，为什么？ （2）各次谐波含有率加在一起，和为什么大于100%？ （3）谐波源中的电容C1的作用是什么？

（4）整流桥中二极管的门槛电压是0.7V，这对实验波形有什么影响？ 答：

（1）取样定理

（2）无意义

（3）滤波，储能，稳压，减小纹波 （4）交越失真