指数的运算与指数函数

4.1指数的运算

【知识梳理】

1. 整数指数幂

1）定义：我们把an叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数。 在上述定义中，n为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。 2）整数指数幂的运算法则：

（1）aman= （2）(am)n am （3）n （4）(ab)m

a3)此外，我们作如下规定：

零次幂：a01(a0)； 负整数指数幂：a2. 根式：

1）n次方根：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*。 注：

①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为na，na；负数的偶次方根在实数范围内不存在；

②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为

③0的任何次方根都是0，记作

nnn1(a0,nN)； ana；

00。

2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。 当 注：

当n是奇数时， 当n是偶数时，

nna有意义时，na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

ana；

a(a0)； an|a|a(a0)n 1 / 16

3. 有理指数幂

1）我们进行如下规定： a1nna （a0）

那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。 此外，下面定义也成立： a amnnam(a0,m,nN*,n1)

mn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。

2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。 3)有理指数幂的运算性质：

rrs(a0,r,sQ)； （1）ar·aa（2）(ar)sars

(a0,r,sQ)；

（3）(ab)raras(a0,b0,rQ) 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：

（1）322322 （2）526642743

【例2】.计算下列各式的值： （1）0.0

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137()028433160.753 （2）38230.002210152132

0【例3】.化简下列各式：

（1）

ab2ba3a1a1aa0,b0 （2） 111b3a2a21a2112

【过关练习】

1.求值：（1）325325 （2）

b33a 1222a3334b2abaa8ab4313

2.化简：（1）

x1xx12313x1x113xx1313

x1

(a3a3)(a3a3)a2(1a4)a2(1a4)2 （2）4

aa41aa1aa1aa1

3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.

(1)xx(x0);(2)6yy(y0);(3)x21213433134()(x0)(4)aaa4(a0)

x

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题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若39ab1，则下列等式正确的是（ ） 3 A. ab1 B. ab1 C. a2b1 D.a2b1

282721122728（2）若xxx1,则xxxx1xxxx的值是_____.

32

【例2】（1）已知xxyxy12的值； ,y,求

23xyxy2 （2）已知a,b是方程x6x40的两个根，且ab0，求

【过关练习】 1.已知22

1212xxab的值.

aba(常数），求8x8x的值.

2.已知aa3，求

aaaa12323212的值.

3. 已知a

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2xa3xa3x21，求x的值 xaa题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 （1）2

x211()x （2）4x2x130 4111222【例2】已知axbycz，且1，求证(axbycz)3a3b3c3

xyz3341111

【过关练习】 1. 解下列方程

1（1）8132x9

x2 （2）22x232x10

2.设a,b,c都是正数，且346，求证

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abcc21. 2ab4.2 指数函数及其性质

【知识梳理】

1. 指数函数 函数 ya(a0,a1)叫做指数函数. 2. 指数函数的性质

（1）定义域 :实数集合R； （2）值域 ：y0 ;

（3） 奇偶性：指数函数是非奇非偶函数

（4）单调性：a1时，函数 ya(a0,a1)在(,)上为增函数；0a1时，函数

xxyax(a0,a1)在(,)上为减函数；

（5）函数值：x0时，y1,图象恒过点（0，1）；

（6）当a1,x0时y1；a1,x0时，0y1.当0a1,x0时，

0y1;0a1,x0时，y1.

题型一 指数函数的概念

例1 .已知指数函数ya(a2)(a3)的图像经过点（2,4），求a的值.

【过关练习】.若指数函数f(x)的图像经过点（2,9），求f(x)的解析式及f(1)的值.

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题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 （1） y13 （2）y2（3）y()

x1x4

x22x323x （4）y12

11【例2】.求函数y32,x2,2的值域.

42

【例3】.如果函数ya

【过关练习】

2xxx2ax1(a0,且a1)在-1,1上有最大值14，试求a的值.

11.求函数y1的定义域和值域.

2

2.已知集合Ayy()xx1221,xR,则满足ABB的集合B可以是（ ）

1 C.x1x1 D.xx0 2A. 0, B. x0x12

3.函数y22x2x12的定义域为M，值域P1,2，则下列结论一定正确的个数是（ ）。

①M0,1；②M,1；③0,1M；④M,1；⑤1M；⑥1M A.2 个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

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题型三 指数函数的图像及应用

【例1】.如图是指数函数：①ya，②yb，③yc，④yd的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是（ ）。 A:ab1cd B:ba1dc C:1abdc D:ab1dc xxxx【例2】.二次函数y=ax2+bx与指数函数y=(bx)的图象只能是下图中的（） a 【例3】.函数yax33（a0，且a1）的图象恒过定点P，则定点P的坐标是_____. 【例4】.画出函数y=2|x-1|的图像，并根据图象指出这个函数的一些重要性质. 【例5】.定义：区间x1,x2(x1x2) 的长度为x2x1 .已知函数y2 的定义域为xa,b ，值域为1,2 ，则区间a,b 的长度的最大值与最小值的差为_________.

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【过关练习】

1. 已知函数f(x)a(a0,a1) 在0,2 内的值域是1,ax2 ，则函数yf(x) 的图像大致是 （ ）

2.已知y1=() ,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一坐标系内,它们的图象为… ( ) 13x

3.设x＞0，且1＜b x＜a x，则（ ）

A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1 C.1＜b＜a D.1＜a＜b

4.已知函数f(x)a

xb 的图象如图所示，其中a,b 为常数，则下列结论正确的是（ ）

A. B． C． D．

5.已知a1,b1，函数f(x)ab的图象不经过（ ）。

xA: 第一象限 B: 第二象限 C: 第三象限 D: 第四象限

6.若函数yab1(a0,a1)的图像不经过第二象限，则有（ ）

xa1,b1 B. 0a1,b1 C. 0a1,b0 D.a1,b0

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题型四 指数及指数型复合函数的单调性的应用 【例1】.函数f(x)=ax（a>0，且a≠1）在[1，3]上的最大值比最小值大

【例2】.比较下列各题中两个值的大小：

a，则a=____。 25（1）71.85,72.52 （2）30.53,40.5 （3）0.2,0.30.30.2 【例3】.求满足下列条件的x的取值范围 （1）3x19x （2）0.2x25 （3）a5xax7(a0,a1)

【例4】.求函数y

13x22x3的单调区间； 2x【例5】判断函数f(x)在区间（0,1）上的单调性，并证明 14x

【过关练习】

1.比较下列各值的大小：,2,

13312432323, 341x()7,x02.已知函数f(x)2，若f(a)1，则实数a的取值范围是_____. x,x0

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3.已知函数f(x)

12x22(a1)x2在区间(,4上单调递增，求实数a的取值范围. 114.讨论函数y42

5.已知函数f(x)

xx1的单调性 (13a)x10a,x7ax7,x7，是定义在R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是_____.

题型五 指数型复合函数的奇偶性

【例1】设函数f(x)=kax-a-x（a＞0，且a≠1）是奇函数. （1）求常数k的值；

（2）若a＞1，试判断函数f(x)的单调性（不需要证明），并求不等式f(x2x)f(4x)的解集.

22

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2x【例2】.已知f(x)是定义在（-1,1）上的奇函数，当x(0,1)时，f(x)x 41（1）求f(x)在（-1,1）上的解析式； （2）求f(x)的值域. 【过关练习】 2x11.若函数f(x)x是奇函数，则使f(x)>3成立的的x的取值范围是____. 2a2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间,0上单调递增.若实数a满足f(2的取值范围是____. a11)f(2)则ax15,x03.函数f(x)则该函数为（ ） x51,x0A.单调递增函数,奇函数 B.单调递减函数，偶函数 C.单调递增函数，偶函数 D单调递减函数，奇函数 12 / 16

【题型六】 指数函数模型的实际应用 【例1】.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为ppm，继续排气4分钟，又测得浓度为32ppm，1经检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与棑气时间t(分钟)存在函数关系：y＝c (c，m为常数). 2(1)求c，m的值； (2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含童才能达到正常状态？ mt 【过关练习】 1.某工厂2016年12月份的产值是这年1月份产值的k倍，则该厂在2016年度产值的月平均增长率为_____

2. 我国2010年底的人口总数为M,人口的年平均自然增长率为p,到2020年我国人口总数是_____.

【补救练习】

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1.下列各式正确的是（ ） A.a3513a15 B.23xx232 C. aaa121418a111()248

14D.2x(x32x3)1 2x132.求下列各式的值：

（1）25 （2）

3.化简下列各式 （1）32252725 （3）9432130 3211511126326623 （2）ab3ababaaa3 4.设a,b,c，则a，b，c的大小关系是_____。 231313231313

【巩固练习】 1.已知函数f(x)a

x1(x0)的图像经过点（2,4），其中a0,a1，求a的值以及f(x)的值域.

2.已知函数f(x)5,g(x)ax2x(aR)，若f(g(1))1，则a=_____. x3.定义运算ab为：aba,abxx，如121，则函数f(x)22的值域为______. b,abxax4. 函数y(a1)的图象的大致形状是( ) x 14 / 16

A. B.

1 C. D.

5.设0x2，求函数y4x232x5的最大值和最小值．

6. 已知函数

ya2x2ax1a1，在区间1,1上的最大值是14，求a的值

【拔高练习】

cx1,0xcc91.已知函数f(x)，满足． f()x228c21,cx1（1）求常数c的值；

（2）解关于x的不等式f（x）＞2+1． 8 2.已知指数函数yg(x)满足g(3)8，定义域为R的函数f(x)ng(x)是奇函数。 m2g(x) 15 / 16

（1）确定yg(x),yf(x)的解析式；

（2）求m、n的值；

（3）若对任意的t1,4，不等式f(2t3)f(tk)0恒成立，求实数k的取值范围。

3.设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是奇函数． （1）求常数k的值； （2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3-2x）＞0，求x的取值范围； （3）若f(1)8，且函数g（x）=a2x+a-2x-2mf（x），在上的最小值为-2，求m的值 3 16 / 16