一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列互为倒数的是( )A. 3和31B. −2和2
C. 3和−31D. −2和212. 下列等式正确的是( )A. |−3|+𝑡𝑎𝑛45°=−2C. (𝑎−𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏23. 估算 10的值在( )A. 1和2之间
B. 2和3之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
B. (𝑥𝑦)5÷(𝑦)5=𝑥10D. 𝑥3𝑦−𝑥𝑦3=𝑥𝑦(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)
𝑥4. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人
类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题，以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，𝐴、𝐵两点在数轴上表示的数分别是𝑎、𝑏，则下列式子中成立的是( )
A. 𝑎+𝑏<0B. −𝑎<−𝑏C. 1−2𝑎>1−2𝑏D. |𝑎|−|𝑏|>0
6. 定义新运算𝑎∗𝑏，对于任意实数𝑎，𝑏满足𝑎∗𝑏=(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)−1，其中等式右边是通常
的加法、减法、乘法运算，例如4∗3=(4+3)(4−3)−1=7−1=6，若𝑥∗𝑘=𝑥(𝑘为实数)是关于𝑥的方程，则它的根的情况是( )
A. 有一个实根C. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
7. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐴=𝐶𝐵=4，∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，将△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转2𝛼，得到△𝐴
𝐵′𝐶′，连接𝐵′𝐶并延长交𝐴𝐵于点𝐷，当𝐵′𝐷⊥𝐴𝐵时，𝐵𝐵′的长是( )
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2 3A. 3𝜋B. 433𝜋 8 3C. 9𝜋10 3D. 9𝜋
8. 如图，等边△𝐴𝐵𝐶、等边△𝐷𝐸𝐹的边长分别为3和2.开
始时点𝐴与点𝐷重合，𝐷𝐸在𝐴𝐵上，𝐷𝐹在𝐴𝐶上，△𝐷𝐸𝐹沿𝐴𝐵向右平移，当点𝐷到达点𝐵时停止．在此过程中，设△𝐴𝐵𝐶、△𝐷𝐸𝐹重合部分的面积为𝑦，△𝐷𝐸𝐹移动的距离为𝑥，则𝑦与𝑥的函数图象大致为( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的顶点𝐴在第一象限，𝐵，𝐷分别在𝑦轴上，𝐴𝐵交
𝑥轴于点𝐸，𝐴𝐹⊥𝑥轴，垂足为𝐹.若𝑂𝐸=3，𝐸𝐹=1.以下结论正确的个数是( )①𝑂𝐴=3𝐴𝐹；②𝐴𝐸平分∠𝑂𝐴𝐹；
③点𝐶的坐标为(−4,− 2)；④𝐵𝐷=6 3；⑤矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为24 2．第2页，共26页
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
10. 如图，在平面直角坐标系中，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷在第一象限内，边𝐵𝐶与𝑥轴平行，𝐴，𝐵两点的
纵坐标分别为4，2，反比例函数𝑦=(𝑥>0)的图象经过𝐴，𝐵两点，若菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为2
𝑘𝑥5，则𝑘的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若(2𝑥+𝑦−5)2+ 𝑥+2𝑦+4=0，则𝑥−𝑦的值是______．
12. 数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说法正确
的是______ (只填写序号)．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直线”；②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”；④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
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13. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，将𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴逆时针旋转30°后
得到𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸，点𝐵经过的路径为弧𝐵𝐷，则图中阴影部分的面积为 ．
714. 分式𝑥−2与2−𝑥的和为4，则𝑥的值为______．
𝑥15. 如图，将矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷折叠(𝐴𝐷>𝐴𝐵)，使𝐴𝐵落在𝐴𝐷上，𝐴𝐸为折痕，然后将矩形纸片
展开铺在一个平面上，𝐸点不动，将𝐵𝐸边折起，使点𝐵落在𝐴𝐸上的点𝐺处，连接𝐷𝐸，若𝐷𝐸=𝐸𝐹，𝐶𝐸=2，则𝐴𝐷的长为______ ．
16. 已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)图象的一部分如图所示，
𝑥=−.对于下列结论：①𝑎该函数图象经过点(−2,0)，对称轴为直线𝑏𝑐<0；②𝑏2−4𝑎𝑐>0；③𝑎+𝑏+𝑐=0；④𝑎𝑚2+𝑏𝑚<(𝑎−2𝑏)(其中𝑚≠−)；⑤若𝐴(𝑥1,𝑦1)和𝐵(𝑥2,𝑦2)均在该函数图象上，且𝑥1>𝑥2>1，则𝑦1>𝑦2.其中正确结论的个数共有______个．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
12141217. (本小题6.0分)
计算：|1− 3|+327−2𝑐𝑜𝑠30°+(−)−1−(2023−𝜋)0．
13第4页，共26页
18. (本小题8.0分)
先化简(𝑎2−4+
𝑎2𝑎+41)÷2，再求值，其中𝑎=
𝑎+4𝑎+42−𝑎3+2．
19. (本小题8.0分)
为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是______，圆心角𝛽=______度；(2)补全条形统计图；
(3)已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？(4)若在这次竞赛中有𝐴，𝐵，𝐶，𝐷四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到𝐴，𝐶两人同时参赛的概率．
20. (本小题8.0分)
如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“𝑌”字形设计．某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：
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活动内容成员测量工具
测量主塔顶端到桥面的距离
组长：×××组员××××××××××××测角仪，皮尺等
说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，点𝐴，测量示意图
𝐶，𝐷，𝐵在同一条直线上，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，点𝐴，𝐶分别与点𝐵，𝐷关于直线𝐸𝐹对称．
∠𝐴的大小
测量数据
𝐴𝐶的长度𝐶𝐷的长度
28°84𝑚12𝑚
请利用表中提供的信息，求主塔顶端𝐸到𝐴𝐵的距离(参考数据：𝑠𝑖𝑛28°≈0.47，𝑐𝑜𝑠28°≈0.88，𝑡𝑎𝑛28°≈0.53)．
21. (本小题10.0分)
如图，正比例函数𝑦=𝑥与反比例函数𝑦=的图象交于𝐴，𝐵两点．(1)求𝐴，𝐵两点的坐标；
(2)将直线𝑦=𝑥向下平移𝑎个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点𝐶，与𝑥轴交于点𝐷，与𝑦轴交于点𝐸，若
𝐶𝐷1=，求𝑎的值．𝐷𝐸34𝑥第6页，共26页
22. (本小题10.0分)
如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝐸为⊙𝑂上的一点，∠𝐴𝐵𝐸的平分线交⊙𝑂于点𝐶，过点𝐶的直线交𝐵𝐴的延长线于点𝑃，交𝐵𝐸的延长线于点𝐷.且∠𝑃𝐶𝐴=∠𝐶𝐵𝐷．(1)求证：𝑃𝐶为⊙𝑂的切线；
(2)若𝑃𝐶=2 2𝐵𝑂，𝑃𝐵=12，求⊙𝑂的半径及𝐵𝐸的长．
23. (本小题10.0分)
【阅读理解】如图①，𝑙1//𝑙2，△𝐴𝐵𝐶的面积与△𝐷𝐵𝐶的面积相等吗？为什么？解：相等.在△𝐴𝐵𝐶和△𝐷𝐵𝐶中，分别作𝐴𝐸⊥𝑙2，𝐷𝐹⊥𝑙2，垂足分别为𝐸，𝐹．∴∠𝐴𝐸𝐹=∠𝐷𝐹𝐶=90°，∴𝐴𝐸//𝐷𝐹．∵𝑙1//𝑙2，
∴四边形𝐴𝐸𝐹𝐷是平行四边形，∴𝐴𝐸=𝐷𝐹．
又𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐶⋅𝐴𝐸，𝑆△𝐷𝐵𝐶=𝐵𝐶⋅𝐷𝐹．∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐷𝐵𝐶．
【类比探究】如图②，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的右侧作等腰△𝐶𝐷𝐸，𝐶𝐸=𝐷𝐸，𝐴𝐷=4，连接𝐴𝐸，求△𝐴𝐷𝐸的面积．
解：过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，连接𝐴𝐹．请将余下的求解步骤补充完整．
【拓展应用】如图③，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的右侧作正方形𝐶𝐸𝐹𝐺，点𝐵，𝐶，𝐸在同一直线上，𝐴𝐷
1212第7页，共26页
=4，连接𝐵𝐷，𝐵𝐹，𝐷𝐹，直接写出△𝐵𝐷𝐹的面积．
24. (本小题12.0分)
如图，已知直线𝑦=𝑥+4与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐶，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐴，𝐶两点，且与𝑥轴的另一个交点为𝐵，对称轴为直线𝑥=−1．
43(1)求抛物线的表达式；
(2)𝐷是第二象限内抛物线上的动点，设点𝐷的横坐标为𝑚，求四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积𝑆的最大值及此时𝐷点的坐标；
(3)若点𝑃在抛物线对称轴上，是否存在点𝑃，𝑄，使以点𝐴，𝐶，𝑃，𝑄为顶点的四边形是以𝐴𝐶为对角线的菱形？若存在，请求出𝑃，𝑄两点的坐标；若不存在，请说明理由．
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答案和解析
1.【答案】𝐴
【解析】解：𝐴、∵3×=1，∴3和互为倒数，符合题意；B、∵(−2)×2=−4，
∴−2和2不互为倒数，不符合题意；C、∵3×(−)=−1，
∴3和−不互为倒数，不符合题意；D、∵(−2)×=−1，
∴−2和不互为倒数，不符合题意．故选：𝐴．
根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键．
1212131313132.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.|−3|+𝑡𝑎𝑛45°=3+1=4，故A不符合题意；B.(𝑥𝑦)5÷(𝑦)5=𝑥5𝑦5÷𝑦5=𝑥5𝑦5⋅
𝑥𝑥5𝑦5=𝑦10，故5𝑥B不符合题意；
C.(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2，故C不符合题意；
D.𝑥3𝑦−𝑥𝑦3=𝑥𝑦(𝑥2−𝑦2)=𝑥𝑦(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)，故D符合题意；故选：𝐷．
利用分式的乘除法、提公因式法与公式法分解因式、特殊角的三角函数求解即可．
此题考查了分式的乘除法，熟记分式的乘除法、提公因式法与公式法分解因式的综合运用是解题的关键．
3.【答案】𝐶
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【解析】解：∵ 9< 10< 16，∴3< 10<4，即 10在3和4之间．故选：𝐶．
根据二次根式的性质得出 9< 10< 16，即可求出答案．本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是确定出 10的范围，题目比较典型，难度不大．
4.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意；𝐵选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故B选项不符合题意；𝐶选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；𝐷选项中的图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：𝐷．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的知识，熟练掌握中心对称和轴对称的知识是解题的关键．
5.【答案】𝐶
【解析】解：𝑎、𝑏两点在数轴上的位置可知：−2<𝑎<−1，𝑏>2，∴𝑎+𝑏>0，−𝑎<𝑏，故A、B错误；∵𝑎<𝑏，∴−2𝑎>−2𝑏，
∴1−2𝑎>1−2𝑏，故C正确；∵|𝑎|<2，|𝑏|>2，∴|𝑎|−|𝑏|<0，故D错误．故选：𝐶．
根据𝑎、𝑏两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是数轴的特点，根据𝑎、𝑏两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．
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6.【答案】𝐵
【解析】解：根据题意得(𝑥+𝑘)(𝑥−𝑘)−1=𝑥，整理得𝑥2−𝑥−𝑘2−1=0，
∵𝛥=(−1)2−4×1×(−𝑘2−1)=4𝑘2+5>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：𝐵．
先根据新定义得到(𝑥+𝑘)(𝑥−𝑘)−1=𝑥，再把方程化为一般式，接着计算根的判别式的值得到𝛥=4𝑘2+5>0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当𝛥>0时，方程有两个不相等的实数根；当𝛥=0时，方程有两个相等的实数根；当𝛥<0时，方程无实数根．
7.【答案】𝐵
【解析】【分析】
本题主要考查了弧长的计算及旋转的性质，熟练掌握弧长的计算及旋转的性质进行求解是解决本题的关键．
先根据等腰三角形的性质推出∠𝐴𝐵′𝐷=30°，进而得到𝛼=30°，再在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，根据勾股定理求出𝐴𝐵的长度，最后根据弧长公式即可得出答案．【解答】
解：∵𝐶𝐴=𝐶𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=𝐵′𝐴，
∴在𝑅𝑡△𝐵′𝐴𝐷中，∠𝐴𝐵′𝐷=30°，∴∠𝐵′𝐴𝐷=60°，∴2𝛼=60°，∴𝛼=30°，∵𝐴𝐶=𝐶𝐵=4，
∴在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中，𝐶𝐷=2，𝐴𝐷=2 3，∴𝐴𝐵=4 3，1212第11页，共26页
∴𝐵𝐵′的长度𝑙=180=60×𝜋×4180𝑛𝜋𝑟 3=4 33𝜋.
故选：𝐵．
8.【答案】𝐶
【解析】解：如图所示，当𝐸和𝐵重合时，𝐴𝐷=𝐴𝐵−𝐷𝐵=3−2=1，
∴当△𝐷𝐸𝐹移动的距离为0≤𝑥≤1时，△𝐷𝐸𝐹在△𝐴𝐵𝐶内，𝑦=𝑆△𝐷𝐸𝐹=
3×22= 43，当𝐸在𝐵的右边时，如图所示，设移动过程中𝐷𝐹与𝐶𝐵交于点𝑁，过点𝑁坐𝑁𝑀垂直于𝐴𝐸，垂足为𝑀，
根据题意得𝐴𝐷=𝑥，𝐴𝐵=3，∴𝐷𝐵=𝐴𝐵−𝐴𝐷=3−𝑥，∵∠𝑁𝐷𝐵=60°，∠𝑁𝐵𝐷=60°，∴△𝑁𝐷𝐵是等边三角形，∴𝐷𝑁=𝐷𝐵=𝑁𝐵=3−𝑥，∵𝑁𝑀⊥𝐷𝐵，
∴𝐷𝑀=𝑀𝐵=(3−𝑥)，∵𝑁𝑀2+𝐷𝑀2=𝐷𝑁2，∴𝑁𝑀=
123(3−𝑥)，21212 33(3−𝑥)=(3−𝑥)2，
42∴𝑆△𝐷𝐵𝑁=𝐷𝐵×𝑁𝑀=(3−𝑥)×∴𝑦=
3333(3−𝑥)2=𝑥2−3𝑥+9，4442∴当1≤𝑥≤3时，𝑦是一个关于𝑥的二次函数，且开口向上，∵当0≤𝑥≤1时，𝑦=
3×22= 43，当𝑥=3时，𝑦=0，
第12页，共26页
故选：𝐶．
当△𝐷𝐸𝐹在△𝐴𝐵𝐶内移动时，△𝐴𝐵𝐶、△𝐷𝐸𝐹重合部分的面积不变，当△𝐷𝐸𝐹移出△𝐴𝐵𝐶时，计算出𝑆△𝐷𝐵𝑁，得到𝑦=
323 33𝑥+9，从而得到答案．𝑥−
442本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．
9.【答案】𝐶
【解析】解：∵∠𝑂𝐸𝐵=∠𝐴𝐸𝐹，∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐵𝑂𝐸=90°，∴△𝐴𝐸𝐹∽△𝐵𝐸𝑂，∴
𝐵𝑂𝑂𝐸3===3，∠𝐸𝐴𝐹=∠𝑂𝐵𝐸，𝐴𝐹𝐸𝐹1∴𝐵𝑂=3𝐴𝐹，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴𝐴𝐶=𝐵𝐷，𝐴𝑂=𝐶𝑂，𝐵𝑂=𝐷𝑂，∴𝐴𝑂=𝑂𝐵，
∴𝐴𝑂=3𝐴𝐹，∠𝑂𝐵𝐴=∠𝑂𝐴𝐵，故①正确；∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐹，
∴𝐴𝐸平分∠𝑂𝐴𝐹，故②正确；∵𝑂𝐸=3，𝐸𝐹=1，∴𝑂𝐹=4，
∵𝑂𝐴2−𝐴𝐹2=𝑂𝐹2，∴8𝐴𝐹2=16，
∴𝐴𝐹= 2(负值舍去)，∴点𝐴坐标为(4, 2)，∵点𝐴，点𝐶关于原点对称，∴点𝐶(−4,− 2)，故③正确；∵𝐴𝐹= 2，𝑂𝐴=3𝐴𝐹，∴𝐴𝑂=3 2，∴𝐵𝑂=𝐷𝑂=3 2，∴𝐵𝐷=6 2，故④错误；
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∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=×6 2×4=12 2，∴矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积=2×𝑆△𝐴𝐵𝐷=24 2，故⑤正确，故选：𝐶．
通过证明△𝐴𝐸𝐹∽△𝐵𝐸𝑂，可得𝐵𝑂=3𝐴𝐹，由矩形的性质可得𝑂𝐴=𝑂𝐵=3𝐴𝐹，故①正确；由等腰三角形的性质和相似三角形的性质可得∠𝑂𝐵𝐴=∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐹，可得𝐴𝐸平分∠𝑂𝐴𝐹，故②正确；由勾股定理可求𝐴𝐹的长，即可求点𝐴坐标，由矩形是中心对称图形，可得点𝐶(−4,− 2)，故③正确；由𝐵𝐷=2𝐴𝑂=6 2，故④错误，由面积公式可求矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积=2×𝑆△𝐴𝐵𝐷=24 2，故⑤正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
1210.【答案】𝐶
【解析】解：过点𝐴作𝑥轴的垂线，交𝐶𝐵的延长线于点𝐸，
∵𝐴，𝐵两点在反比例函数𝑦=(𝑥>0)的图象，且纵坐标分别为4，2，∴𝐴(,4)，𝐵(,2)，
∴𝐴𝐸=2，𝐵𝐸=𝑘−𝑘=𝑘，∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为2 5，∴𝐵𝐶×𝐴𝐸=2 5，即𝐵𝐶= 5，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶= 5，在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐵中，𝐵𝐸= 𝐴𝐵2−𝐴𝐸2=1∴𝑘=1，∴𝑘=4．故选：𝐶．
14121414𝑘4𝑘2𝑘𝑥第14页，共26页
过点𝐴作𝑥轴的垂线，交𝐶𝐵的延长线于点𝐸，根据𝐴，𝐵两点的纵坐标分别为4，2，可得出横坐标，即可求得𝐴𝐸，𝐵𝐸的长，根据菱形的面积为2 5，求得𝐵𝐶，𝐴𝐵的长，在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐵中，即可得出𝑘的值．
本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
11.【答案】9
【解析】解：根据题意可得，
{2𝑥+𝑦−5=0①𝑥+2𝑦+4=0②，
由①−②得，𝑥−𝑦=9．故答案为：9．
2𝑥+𝑦−5=0
根据非负数的性质可得𝑥+2𝑦+4=0，应用整体思想①−②即可得出答案．
本题主要考查了非负数的性质及解二元一次方程组，熟练掌握非负数的性质及解二元一次方程组的方法进行求解是解决本题的关键．
{12.【答案】①③
【解析】解：①在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标，应用了“两点确定一条直线”，故符合题意．
②因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，故不符合题意．
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直平分”，故符合题意；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形四个内角都是直角”的性质，故不符合题意．故答案是：①③．
①根据两点确定一条直线进行判断．
②利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断．③根据菱形的性质进行判断．④根据矩形的性质进行判断．
本题主要考查了圆的认识，菱形的性质，矩形的性质等知识点，属于基础题，熟记相关的性质或
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定理即可．
13.【答案】3
【解析】【分析】
先根据勾股定理得到𝐴𝐵=2 2，再根据扇形的面积公式计算出𝑆扇形𝐴𝐵𝐷，由旋转的性质得到𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸≌𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶，于是𝑆阴影部分=𝑆△𝐴𝐷𝐸+𝑆扇形𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆扇形𝐴𝐵𝐷．
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形𝐴𝐵𝐷的面积是解题的关键．【解答】
解：∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐴𝐶=𝐵𝐶=2，∴𝐴𝐵=2 2，∴𝑆扇形𝐴𝐵𝐷=30𝜋×(2360 2𝜋2)2=
2𝜋．3又∵𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶绕𝐴点逆时针旋转30°后得到𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸，∴𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸≌𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶，
∴𝑆阴影部分=𝑆△𝐴𝐷𝐸+𝑆扇形𝐴𝐵𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆扇形𝐴𝐵𝐷=故答案为：．
2𝜋32𝜋．314.【答案】3
【解析】【分析】
此题主要考查了解分式方程问题，要熟练掌握，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．首先根据分式为多少即可．【解答】解：∵分式∴
𝑥7与2−𝑥的和为4，𝑥−2𝑥𝑥77+2−𝑥=4，然后根据解分式方程的方法，求出𝑥的值与2−𝑥的和为4，可得：
𝑥−2𝑥−2𝑥7+2−𝑥=4，𝑥−2第16页，共26页
去分母，可得：7−𝑥=4𝑥−8，解得：𝑥=3，
经检验𝑥=3是原方程的解，∴𝑥的值为3．故答案为3．
15.【答案】4+2 2 【解析】解：由翻折的性质可知，𝐸𝐵=𝐸𝐵′，∠𝐵=∠𝐴𝐵′𝐸=∠𝐸𝐵′𝐷=90°，
在𝑅𝑡△𝐸𝐵𝐹和𝑅𝑡△𝐸𝐵′𝐷中，𝐵=𝐸𝐵′{𝐸𝐸𝐹=𝐸𝐷，
∴𝑅𝑡△𝐸𝐵𝐹≌𝑅𝑡△𝐸𝐵′𝐷(𝐻𝐿)，∴𝐵𝐹=𝐷𝐵′，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，∴∠𝐶=∠𝐶𝐷𝐵′=∠𝐸𝐵′𝐷=90°，∴四边形𝐸𝐶𝐷𝐵′是矩形，∴𝐷𝐵′=𝐸𝐶=2，∴𝐵𝐹=𝐸𝐶=2，
由翻折的性质可知，𝐵𝐹=𝐹𝐺=2，∠𝐹𝐴𝐺=45°，∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐵=90°，∴𝐴𝐺=𝐹𝐺=2，∴𝐴𝐹=2 2．∴𝐴𝐵=𝐴𝐵′=2+2 2，∴𝐴𝐷=𝐴𝐵′+𝐷𝐵′=4+2 2，故答案为：4+2 2。证明𝑅𝑡△𝐸𝐵𝐹≌𝑅𝑡△𝐸𝐵′𝐷(𝐻𝐿)，推出𝐵𝐹=𝐷𝐵′，再证明𝐷𝐵′=𝐸𝐶=𝐵𝐹=2，想办法求出𝐴𝐵′，可得结论。
本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型。
16.【答案】3
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【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线𝑥=−，且抛物线与𝑥轴的一个交点坐标为(−2,0)，∴抛物线与𝑥轴的另一个坐标为(1,0)，
把(−2,0)(1,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)，可得：𝑎−2𝑏+𝑐=0{4𝑎+𝑏+𝑐=0，
𝑏=𝑎
解得{𝑐=−2𝑎，
∴𝑎+𝑏+𝑐=𝑎+𝑎−2𝑎=0，故③正确；∵抛物线开口方向向下，∴𝑎<0，
∴𝑏=𝑎<0，𝑐=−2𝑎>0，∴𝑎𝑏𝑐>0，故①错误；∵抛物线与𝑥轴两个交点，
∴当𝑦=0时，方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0有两个不相等的实数根，∴𝑏2−4𝑎𝑐>0，故②正确；
∵𝑎𝑚2+𝑏𝑚=𝑎𝑚2+𝑎𝑚=𝑎(𝑚+)2−𝑎，
111(𝑎−2𝑏)(𝑎−2𝑎)=−𝑎，444121412∴𝑎𝑚2+𝑏𝑚−(𝑎−2𝑏)=𝑎(𝑚+)2，又∵𝑎<0，𝑚≠−，∴𝑎(𝑚+)2<0，
即𝑎𝑚2+𝑏𝑚<(𝑎−2𝑏)(其中𝑚≠−)，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线𝑥=−，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在𝑥>−时，𝑦随𝑥的增大而减小，∵𝑥1>𝑥2>1>−，∴𝑦1<𝑦2，故⑤错误，正确的有②③④，共3个，故答案为：3．
根据抛物线与𝑥轴的一个交点(−2,0)以及其对称轴，求出抛物线与𝑥轴的另一个交点(1,0)，利用待
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定系数法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得𝑎<0，进而可得𝑏<0，𝑐>0，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
117.【答案】解：|1− 3|+327−2𝑐𝑜𝑠30°+(−3)−1−(2023−𝜋)0 3= 3−1+3−2×−3−1
2= 3−1+3− 3−3−1 =−2．
【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、三次根式化简、绝对值5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、三次根式、绝对值等知识点的运算．
18.【答案】解：(𝑎2−4+2−𝑎)÷𝑎2+4𝑎+4
=(𝑎+2)(𝑎−2)⋅2(𝑎+2) =2(𝑎−2) =2(𝑎−2) =−
1，𝑎−21 𝑎12𝑎+4𝑎−(𝑎+2)(𝑎+2)2𝑎−𝑎−2−23=−． 当𝑎= 3+2时，原式=−3+2−23 【解析】先算括号内的式子，然后算括号外的除法，再将𝑎的值代入化简后的式子计算即可．本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】50 144
【解析】解：(1)本次调查的样本容量是：10÷20%=50，则圆心角𝛽=360°×
20=144°，50故答案为：50，144；
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(2)成绩优秀的人数为：50−2−10−20=18(人)，补全条形统计图如下：
(3)1200×
20=480(人)，50答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；(4)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到𝐴，𝐶两人同时参赛的结果有2种，∴恰好抽到𝐴，𝐶两人同时参赛的概率为
12=．126(1)由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；(2)求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
(3)由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到𝐴，𝐶两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：延长𝐸𝐹交𝐴𝐵于点𝐺，
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，∴𝐹𝐺⊥𝐴𝐵，
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∴∠𝐸𝐺𝐴=90°，
∵点𝐴，𝐶分别与点𝐵，𝐷关于直线𝐸𝐹对称，∴𝐶𝐺=𝐷𝐺，
∵𝐴𝐶=84𝑚，𝐶𝐷=12𝑚，∴𝐶𝐺=6𝑚，
∴𝐴𝐺=𝐴𝐶+𝐶𝐺=84+6=90(𝑚)，∵∠𝐴=28°，𝑡𝑎𝑛𝐴=∴𝑡𝑎𝑛28°=
𝐸𝐺，90𝐸𝐺，𝐴𝐺解得𝐸𝐺≈47.7，
即主塔顶端𝐸到𝐴𝐵的距离约为47.7𝑚．
【解析】根据题意和表格中的信息，可以得到𝐴𝐺的长，再根据锐角三角函数即可求得𝐸𝐺的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用、轴对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
21.【答案】解：(1)∵正比例函数𝑦=𝑥与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于𝐴、𝐵两点，
∴𝑥=，解得𝑥=±2，∴𝐴(2,2)，𝐵(−2,−2)；
(2)∵直线𝑦=𝑥向下平移𝑎个单位长度，∴直线𝐶𝐷解析式为：𝑦=𝑥−𝑎，当𝑦=0时，𝑥=𝑎，∴点𝐷的坐标为(𝑎,0)，
如图，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，∴𝐶𝐹//𝑂𝐸，
∴△𝐶𝐷𝐹∽△𝐸𝐷𝑂，∴
𝐹𝐷𝐶𝐷1==，𝐷𝑂𝐷𝐸3134𝑥4∴𝐹𝐷=𝑎，
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∴𝑂𝐹=𝑂𝐷+𝐹𝐷=𝑎，
43∵点𝐶在直线𝐶𝐷上，∴𝑦=𝑎−𝑎=𝑎，∴𝐶𝐹=𝑎，
∴点𝐶的坐标是(𝑎,𝑎)．
∵点𝐶在反比例函数𝑦=的图象上，∴𝑎×𝑎=4，
解得𝑎=±3(负值舍去)，∴𝑎=3．
【解析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的中心对称性，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．(1)根据正比例函数与反比例函数，即可求出两交点坐标；
(2)根据直线𝑦=𝑥向下平移𝑎个单位长度，可得直线𝐶𝐷解析式为：𝑦=𝑥−𝑎，所以点𝐷的坐标为(𝑎,0)，过点𝐶作𝐶𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，根据𝐶𝐹//𝑂𝐸，可得(𝑎,𝑎).然后利用反比例函数即可解决问题．
4133𝐹𝐷1𝐶𝐷1==，所以𝐹𝐷=𝑎，可得点𝐶的坐标是𝐷𝑂𝐷𝐸3313434𝑥413313431322.【答案】(1)证明：连接𝑂𝐶，
∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐸，∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐶𝐵𝐷，∵𝑂𝐶=𝑂𝐵，
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∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝑂𝐶𝐵，∵∠𝑃𝐶𝐴=∠𝐶𝐵𝐷，∴∠𝑃𝐶𝐴=∠𝑂𝐶𝐵，∵𝐴𝐵是直径， ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，∴∠𝐴𝐶𝑂+∠𝑂𝐶𝐵=90°，∴∠𝑃𝐶𝐴+∠𝐴𝐶𝑂=90°，∴∠𝑃𝐶𝑂=90°，∴𝑂𝐶⊥𝑃𝐶，∵𝑂𝐶是半径，∴𝑃𝐶是⊙𝑂的切线；
(2)解：连接𝐴𝐸，设𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑟，∵𝑃𝐶=2 2𝑂𝐵，∴𝑃𝐶=2 2𝑟，
∴𝑂𝑃= 𝑂𝐶2+𝑃𝐶2= 𝑟2+(2
2𝑟)2=3𝑟，
∵𝑃𝐵=12，∴4𝑟=12，∴𝑟=3，
由(1)可知，∠𝑂𝐶𝐵=∠𝐶𝐵𝐷，∴𝑂𝐶//𝐵𝐷，∴𝑂𝐶𝐵𝐷=𝑂𝑃𝑃𝐵，∠𝐷=∠𝑃𝐶𝑂=90°，∴
3𝐵𝐷=912，∴𝐵𝐷=4，∵𝐴𝐵是直径，∴∠𝐴𝐸𝐵=90°，∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐷=90°，∴𝐴𝐸//𝑃𝐷，∴
𝐵𝐸𝐵𝐷=𝐵𝐴𝐵𝑃，第23页，共26页
∴
𝐵𝐸9=，412∴𝐵𝐸=3．
【解析】(1)欲证明𝑃𝐶是⊙𝑂的切线，只要证明𝑃𝐶⊥𝑂𝐶即可；
(2)设𝑂𝐵=𝑂𝐶=𝑟，证明𝑂𝑃=3𝑟，可得4𝑟=12，推出𝑟=3，利用平行线分线段成比例定理求出𝐵𝐷，𝐵𝐸即可．
本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会有添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题．
23.【答案】解：[类比探究]过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝐶𝐷于点𝐹，连接𝐴𝐹，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，∴𝐴𝐷=𝐶𝐷=4，∠𝐴𝐷𝐶=90°，∵𝐷𝐸=𝐶𝐸，𝐸𝐹⊥𝐶𝐷，
∴𝐷𝐹=𝐶𝐹=𝐶𝐷=2，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐹𝐷=90°，∴𝐴𝐷//𝐸𝐹，∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=×𝐴𝐷×𝐷𝐹=×4×2=4；[拓展应用]如图③，连接𝐶𝐹，
121212
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷和四边形𝐶𝐺𝐹𝐸都是正方形，∴∠𝐵𝐷𝐶=45°，∠𝐺𝐶𝐹=45°，∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐺𝐶𝐹，∴𝐵𝐷//𝐶𝐹，∴𝑆△𝐵𝐷𝐹=𝑆△𝐵𝐶𝐷，∴𝑆△𝐵𝐷𝐹=𝐵𝐶×𝐵𝐶=8．
12第24页，共26页
【解析】[类比探究]由等腰三角形的性质可得𝐷𝐹=𝐶𝐹=𝐶𝐷=2，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸𝐹𝐷=90°，可证𝐴𝐷//𝐸𝐹，可得𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝐹，由三角形的面积公式可求解；
[拓展应用]连接𝐶𝐹，由正方形的性质可得∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐺𝐶𝐹，可得𝐵𝐷//𝐶𝐹，可得𝑆△𝐵𝐷𝐹=𝑆△𝐵𝐶𝐷，由三角形的面积公式可求解
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式等知识，能掌握和运用“阅读理解”中的知识是解题的关键．
1224.【答案】解：(1)在𝑦=3𝑥+4中，当𝑥=0时，𝑦=4，
∴𝐶点坐标为(0,4)，当𝑦=0时，𝑥+4=0，∴𝑥=−3，
∴𝐴点坐标为(−3,0)，∵对称轴为直线𝑥=−1，∴𝐵点坐标为(1,0)，
∴设抛物线的表达式为𝑦=𝑎(𝑥−1)⋅(𝑥+3)，∵抛物线经过𝐶点，∴4=−3𝑎，解得𝑎=−，
∴抛物线的表达式为𝑦=−(𝑥−1)⋅(𝑥+3)=−𝑥2−𝑥+4；(2)如图1，作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，交𝐴𝐶于𝐸，
43438343434第25页，共26页
∴𝐷点坐标为(𝑚,−𝑚2−𝑚+4)，则𝐸点坐标为(𝑚,𝑚+4)，∴𝐷𝐸=−𝑚2−𝑚+4−(𝑚+4)=−𝑚2−4𝑚，∴𝑆△𝐴𝐷𝐶=𝐷𝐸⋅𝑂𝐴=⋅(−𝑚2−4𝑚)=−2𝑚2−6𝑚，∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝐴𝐵⋅𝑂𝐶=×4×4=8，
∴𝑆=𝑆△𝐴𝐷𝐶+𝑆△𝐴𝐵𝐶=−2𝑚2−6𝑚+8=−2(𝑚+)2+∴当𝑚=−时，𝑆最大=
3243833225，23225，2121212324343834343438343当𝑚=−时，−𝑚2−𝑚+4=5，∴此时𝐷点坐标为(−,5)；(3)设𝑃点坐标为(−1,𝑛)，
∵以𝐴，𝐶，𝑃，𝑄为顶点的四边形是以𝐴𝐶为对角线的菱形，∴𝑃𝐴=𝑃𝐶，即𝑃𝐴2=𝑃𝐶2，∴(−1+3)2+𝑛2=1+(𝑛−4)2，解得𝑛=
13，813832∴𝑃点坐标为(−1,)，
∵𝑥𝑃+𝑥𝑄=𝑥𝐴+𝑥𝐶，𝑦𝑃+𝑦𝑄=𝑦𝐴+𝑦𝐶∴𝑥𝑄=−3−(−1)=−2，𝑦𝑄=4−∴𝑄点坐标为(−2,). 8【解析】本题考查二次函数及其图象的性质，勾股定理，以及菱形的性质．(1)先求得𝐴，𝐶，𝐵三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
(2)作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于𝐹，交𝐴𝐶于𝐸，根据点𝐷和点𝐸坐标可表示出𝐷𝐸的长，表示出三角形𝐴𝐷𝐶和三角形𝐴𝐵𝐶的面积，进而表示出𝑆与𝑚之间的函数关系式，进一步求得结果；
(3)根据菱形的性质可得𝑃𝐴=𝑃𝐶，进而求得点𝑃的坐标，根据菱形的性质，进一步求得点𝑄坐标．
191319=，88第26页，共26页
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