(完整word版)数学公式大全

基本知识

一、乘法公式与二项式定理

（1）(ab)a2abb;(ab)a2abb

（2）(ab)a3ab3abb;(ab)a3ab3abb

n0n1n12n22（3）(ab)CnaCnabCnabknkkn1nnCnabCnabn1Cnb

2222223322333223（4）abc(abcabacbc)abc3abc；

222333（5）abcabc2ab2ac2bc

2222经典习题：

1.

二、因式分解

（1）ab(ab)(ab)

（2）a3b3aba2abb2;a3b3aba2abb2； （3）anbnn122abaan2b...bn1

三、分式裂项 （1）

四、指数运算 （1）an1111111() （2）

x(x1)xx1(xa)(xb)baxaxb1n(a0) （2）a01(a1) （3）annam(a0) anmnm（4）aaam （5）aaamnmn （6）(a)amnmn

bnbnnnn2（7）()n(a0) （8）(ab)ab （9）aa

aa五、对数运算 （1）aNlogaN （2）lognlog （3）loga1bnabanb1bloga nMN logaloga（4）loga1 （5）loga0 （6）loga（7）logMNaMlogaloga （8）logaNbaMN1aa （9） lgalog,lnaloga10elogb六、函数

1、 若集合A中有n(nN)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2，所有非空

真子集的个数是2n2。

二次函数yaxbxc的图象的对称轴方程是x2nb，顶点坐标是2ab4acb2解析式的设法有三种形2a，4a。用待定系数法求二次函数的解析式时，)式，即f(x)axbxc（一般式），f(x)a(xx1)(xx2（零点式）和f(x)a(xm)2n （顶点式）。

2、 幂函数yx ，当n为正奇数，m为正偶数，mmn2

3、 函数yx5x6的大致图象是

2

2.5]和[3，)，单调递)，单调递增区间是[2，由图象知，函数的值域是[0，2]和[2.5，3]。 减区间是(，

七、 不等式

1、若n为正奇数，由ab可推出ab吗？ （ 能 ）

若n为正偶数呢？ （仅当a、b均为非负数时才能） 2、同向不等式能相减，相除吗 （不能） 能相加吗？ （ 能 ）

能相乘吗？ （能，但有条件）

nnabab 2abc3abc 三个正数的均值不等式是：

33、两个正数的均值不等式是： n个正数的均值不等式是：

a1a2anna1a2an

n4、两个正数a、b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

aba2b2 ab1122ab24、 双向不等式是：ababab

左边在ab0(0)时取得等号，右边在ab0(0)时取得等号。

八、 数列

1、等差数列的通项公式是ana1(n1)d，前n项和公式是：Sn=na1n(a1an) 21n(n1)d。 2n12、等比数列的通项公式是ana1q，

na1(q1)n前n项和公式是：Sna1(1q)

(q1)1q3、当等比数列an的公比q满足q<1时，limSn=S=

na1。一般地，如果无穷数列1qan的前n项和的极限limSn存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项

n的和），用S表示，即S=limSn。

n4、若m、n、p、q∈N，且mnpq，那么：当数列an是等差数列时，有

amanapaq；当数列an是等比数列时，有amanapaq。

5、 等差数列an中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=60； 6、等比数列an中，若Sn=10，S2n=30，则S3n=70；

九、 排列组合、二项式定理

a) 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。 2、排列数公式是：Pnm=n(n1)(nm1)=

mmCn 排列数与组合数的关系是：Pnm！

n！；

(nm)！m 组合数公式是：Cn=

n！n(n1)(nm1)=； m！(nm)！12mmmnmm1m 组合数性质：Cn=Cn Cn+Cn=Cn1

nCr0rnrr1=2 rCn=nCn1 nrr1CrrCrr1Crr2CnCn1 012CnCnCnnCn2n

3、 二项式定理：

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb二项展开式rnrr1，2，n) 的通项公式：Tr1Cnab(r0，十、 解析几何

a) 沙尔公式：ABxBxA

b) 数轴上两点间距离公式：ABxBxA c) 直角坐标平面内的两点间距离公式：P1P2(x1x2)2(y1y2)2

d) 若点P分有向线段P1P2成定比λ，则λ=

P1P PP2e) 若点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，点P分有向线段P1P2成定比λ，则：λ

=

xx1yy1=； x2xy2yx1x2

1y1y2

1 x=

y=

若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心G的坐标是

x1x2x3y1y2y3，。

336、求直线斜率的定义式为k=tg，两点式为k=7、直线方程的几种形式：

点斜式：yy0k(xx0)， 斜截式：ykxb 两点式：

y2y1。

x2x1yy1xx1xy， 截距式：1 aby2y1x2x1 一般式：AxByC0

经过两条直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系

方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0

8、 直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则从直线l1到直线l2的角θ满足：

tgk2k1

1k1k2k2k1

1k1k2直线l1与l2的夹角θ满足：tg直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则从直线l1到直线l2的角

θ满足：tgA1B2A2B1

A1A2B1B2A1B2A2B1

A1A2B1B2直线l1与l2的夹角θ满足：tg9、 点P(x0,y0)到直线l：AxByC0的距离：

dAx0By0CAB22

10、两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20距离是

d2C1C2AB2222

11、圆的标准方程是：(xa)(yb)r

圆的一般方程是：xyDxEyF0(DE4F0)

2222其中，半径是rED2E24FD ，圆心坐标是，222x2y2DxEyF0在

思考：方程

D2E24F0和

D2E24F0时各表示怎样的图形？

12、若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则以线段AB为直径的圆的方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0

经过两个圆

x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20

的交点的圆系方程是：

x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0

经过直线l：AxByC0与圆xyDxEyF0的交点的圆系方程

是：xyDxEyF(AxByC)0

22213、圆xyr的以P(x0,y0)为切点的切线方程是

2222x0xy0yr2

22一般地，曲线AxCyDxEyF0的以点P(x0，y0)为切点的切线方程是：

Ax0xCy0yDxx0yy0EF0。例如，抛物线y24x的以点P(1，2)为22切点的切线方程是：2y4x1，即：yx1。 2注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离； ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。

十一、 立体几何

1、体积公式：

柱体：VSh，圆柱体：Vrh。

斜棱柱体积：VSl（其中，S是直截面面积，l是侧棱长）； 锥体：V211Sh，圆锥体：Vr2h。 33 台体：V1h(SSSS)， 圆台体：31Vh(R2Rrr2)

3 球体：V4、 侧面积：

直棱柱侧面积：Sch，斜棱柱侧面积：Scl； 正棱锥侧面积：S43r。 311ch，正棱台侧面积：S(cc)h； 221clrl， 2圆柱侧面积：Sch2rh，圆锥侧面积：S圆台侧面积：S1(cc)l(Rr)l，球的表面积：S4r2。 25、几个基本公式：

弧长公式：lr（是圆心角的弧度数，>0）；

扇形面积公式：

S12lr； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：rl2； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：Rrl2。 经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为l，轴截面顶角是θ）：

S1l2sin(0)22 12l2(2)十一、比例的几个性质

1、比例基本性质：abcdadbc 2、反比定理：abcdbadc

3、更比定理：acabbdcd

5、 合比定理；acabcdbdbd 6、 分比定理：acabbcddbd 7、 合分比定理：acabdbcdabcd 8、 分合比定理：acabcdbdabcd 9、 等比定理：若

a1ba2a3abn，b1b2b3bn0，1b23bna1a2a3anba1。

1b2b3bnb1十二、复合二次根式的化简

ABAA2BAA2B22

则当A0，B0，AB是一个完全平方数时，对形如式化简比较方便。

2 AB的根式使用上述公

考场提速增分策略一 —— 考场必备的解题条件反射 目标1 解题 条件 反射 目标2 解题 条件 反射 目标3 解题 条件 反射 目标4 解题 条件 反射 目标5 解题 条件 反射 目标6 解题 条件 反射 目标7 解题 条件 反射 代数式求值. 反射一：公式法、恒等变形. 反射二：竖式除法、因式定理、余式定理、带余除法恒等式、赋值法. 反射三：整体处理法. 离散型最值问题. 反射一：正整数积一定求和的最大值或最小值，先分解质因数，考虑分散与集中. 反射二：正整数和一定求积的最大值或最小值，先分解质因数，考虑分散与集中.反射三：数列最值问题先连续化，再考虑取最靠近的整数.或用定义法. 连续性最值问题. 反射一：均值不等式（包括柯西不等式）. 反射二：配方法与一元二次函数顶点式. 反射三：对勾函数与数形结合法. 质数问题. 反射一：质数表（100以内）. 反射二：试解法. 应用题. 反射一：框图法、示意图法. 反射二：列方程、函数解题. 比例问题. 反射一：见比设k. 反射二：同构即等. 非负数之和等于零，求参数. 反射一：非负零和，分别为零. 反射二：常考非负数（式）有二次根式、绝对值、完全平方式. 目标8 解题 条件 反射 目标9 解题 条件 反射

一元二次方程. 反射一：韦达定理、判别式. 反射二：根的分布就用“兄弟团结型”与“兄弟离间型”两个模型. 反射三：两根代数式的恒等变形公式. 不等式. 反射一：不等式的性质、均值不等式. 反射二：高次不等式先因式分解，再用穿线法. 反射三：分式不等式先整式化，再用穿线法. 反射四：根式不等式先有理化，平方时要分类讨论. 目标10 数列. 反射一：数列的公式有求和公式、通项公式、递推公式. 反射二：数列的性质有位项关系（等和或等积、定差或定比）、等距保性. 反射三：最值套路（比较法与函数法）、方程思维. 解题 aA反射四：n2n1. 条件 bnB2n1反射 anmSnm反射五：等差数列amn0. Smnmn. amnSmn反射六：技巧求和常裂项（三种裂项类型），有时也用放缩法.

目标11 恒成立问题. 解题 条件 反射 目标12 平面几何、空间几何体问题. 解题 条件 反射 目标13 解析几何问题. 解题 条件 反射 目标14 数据描述问题. 解题 条件 反射 反射一：方差原始公式、方差简化公式、方差定性分析. 反射二：直方图、数表、饼图的含义. 反射一：中点公式、距离公式（三个）、弦长公式、斜率公式. 反射二：最值常用数形结合法. 反射三：点、线、圆之间的位置关系（距离公式是关键，对称的解决方案）. 反射四：斜率与倾斜角之间的转化和对应关系. 反射一：全等与相似（维度论）. 反射二：整体处理法. 反射三：转化法、割补法. 反射一：变量分离法、最大最小法. 反射二：一元二次函数判别式法（包括开口方向）. 目标15 排列组合概率问题. 解题 条件 反射 反射一：常考计数模型有打包寄送法、挡板法、捆绑法、插空法、染色分类法、数字问题（倍数、奇数、偶数等约束条件）、定位定序法. 反射二：常考概率模型有古典概型、伯努利概型、投篮（抽检）问题、抓阄模型. 反射三：集合与事件运算中的摩根定律、韦恩图. 反射四：概率运算中的乘法公式、加法公式. 考场提速增分策略二 —— 考场必备的核心数学公式与结论 表1 恒等变形 裂项变形 11111111，  n(nk)knnkn(nk)knnka2b2(ab)(ab) (a2b2)(x2y2)(axby)2(aybx)2 平方公式 ab211a2b22ab 特别地，xx222 xx22112aba2b22ab 特别地，xx22 xxa3b3(ab)(a2abb2) a3b3(ab)(a2abb2) 2立方公式 abab3111ab3abab 特别地，xx333x xxx3333a3a2b2c2a2b2c2配方变形 a2b2c22111b3abab 特别地，xx333x xxx1abbcca(ab)2(bc)2(ca)2 21abbcca(ab)2(bc)2(ca)2 22ab2bc2ca(abc)2 33b4acb2 axbxcax2a4a分解因式 表2 均值不等式（正数范围内讨论） 二元形式 三元形式 提取公因式法、分组法、十字相乘法、双十字相乘法、因式定理、余式定理、 拆项补项法. 2a2b22ab， ab2ab， 2(a2b2)(ab)2 等号当且仅当ab时成立. a3b3c33abc，abc33abc，3(a3b3c3)(abc)3 等号当且仅当abc时成立. a对勾形式 k2k，等号当且仅当ak时成立. akka233（本质上是三元均值不等式）等号当且仅当a32k时成立. a4abc3abcmina,b,c 3柯西形式 极端原理 (a2b2)(x2y2)(axby)2 等号当且仅当aybx时成立. maxa,b,c表3 一元二次方程、不等式、函数 二次方程 bxx21a 根的分布：两类母型. 2判别式b4ac 韦达定理xxc12ab24acb2)一般式： yaxbxc 顶点式： ya(x 2a4ab零点式： ya(xx1)(xx2) 对称轴： x 2a4acb24acb2最 值： （1）a0ymin（2）a0ymax 4a4a2二次函数 二次不等式

解集口诀：大于零，取两边；小于零，夹中间. 恒成立口诀：开口判别式，两个都要看. 表4 指数与对数 指数幂的运算规则： aaa（1）指数幂乘法：mnmn指数运算 abaman；（3）指数幂幂： amamn； （4）指数幂分解：指数幂的等价转换： maaa； （2）指数幂除法：mnmn； n（1）分数指数幂： a0mnnam； （2）负数指数幂：am1； am 特别地，a1. 对数的运算规则： （1）对数加法：logaMlogaNlogaMN； （2）对数减法：logaMlogaNloga对数运算 （3）指数析出：logamxnM； Nnlogax； mlogcMlgM（4）换底公式：logAM； logcAlgA（5）对数恒等式：aaM； 特别地，loga10，logaa1. logM 表5 数据描述 x1x2xn 趋势性描述 n性质：E(aXb)aE(X)b 均值：x1(x1x)2(x2x)2(xnx)2 n122222简化计算：S(x1x2xn)nx n波动性描述 1(x1x)2(x2x)2(xnx)2 标准差：Sn2性质：D(aXb)aD(X) 方差：S2图形表示法 直方图、数表、饼图 表6 平面几何与空间几何体 勾股定理的完整内容是：直角三角形（最大边为c）abc （1）勾股定理： 直角三角形（最大边为c）abc （2）勾股定理逆定理：abc直角三角形（最大边为c） 12k,13k； 常考勾股数：（1）3k,4k,5k；（2）5k, 勾股定理与均值不等式的结合考试角度： （1）简单角度：2ab222222222勾股定理 22ab22cab22 （等腰直角三角形时取等号） （2）复杂角度：xy222ab2xaybcxaybxy22 （1）ACADAB； 射影定理 （2）BCBDAB； （3）CDADDB； 22中位线定理 三角形中位线平行且等于底边的一半。梯形的中位线：MN1(ab) 2S三角形面积公式 S长方形111ah， S梯形abh， S菱形mn 22212ab， S圆r2， S扇形rlr 2360体积公式 长方体内接于球 维度论 V长方体abc， V圆柱体r2h， V球体43R 32Ra2b2c2 考点 维度 比例 角度 零维 长度 一维 面积 二维 体积 三维 k0 k1 k2 k3 表7 数列 （1）等差数列判断基本方法一（定义法）：anan1定值 等差数列 等差数列判断基本方法二（中项法）：2anan1an1等差数列 等差数列快速判断策略一（项和法）（等价形式）： 表现形式一：anAnB等差数列 表现形式二：SAnBn等差数列 等差数列快速判断策略二（衍生法）（充分形式）： 表现形式一：an是等差数列kanp是等差数列 等差数列与等比数列的判断 2,bn都是等差数列kanpbn是等差数列 表现形式二：an（2）等比数列判断基本方法一（定义法）：an定值等比数列 an12等比数列判断基本方法二（中项法）：anan1an1等比数列 等比数列快速判断策略一（项和法）（等价形式）： n表现形式： SnAqA等比数列 等比数列快速判断策略二（衍生法）（充分形式）： 表现形式一：an是等比数列kan是等比数列 ,bn都是等比数列kanbn是等比数列 表现形式二：an（1）等差数列的三个公式：公式一：通项公式：ana1(n1)d 基本公式 (a1an)nn(n1)与 Sna1d 22aanm公式三：中项公式：annm 2n1（2）等比数列的三个公式：公式一：通项公式：ana1q 公式二：求和公式： Sa1(1qn)公式二：求和公式：若q1，则S ； 1q若q1，则Sna1； aanm公式三：中项公式：annm 2基本性质 （1）等差数列的四个性质： 性质一：位项等和：若mnpq，则amanapaq 性质二：位项定差：daman mn性质三：等距保性： （Ⅰ）等距项还是等差数列：amk,an2k,an3k, （Ⅱ）等距和还是等差数列：Sn,S2nSn,S3nS2n, 性质四：项和等比：anA2n1 bnB2n1（2）等比数列的三个性质： 性质一：位项等积：若mnpq，则amanapaq 性质二：位项定比：lgqlgamlgan mn性质三：等距保性： （Ⅰ）等距项还是等比数列：amk,an2k,an3k, （Ⅱ）等距和还是等比数列：Sn,S2nSn,S3nS2n, （1）等差数列的常用常考结论： 结论一：奇偶项之和的比： （Ⅰ）若项数n2k时，则 常考结论 S偶ak1S偶S奇kakak1S偶kak1 S奇akS偶S奇kdS奇kak（Ⅱ）若项数n2k1时，则 S偶k1S偶S奇2k1akS偶k1ak SSaSkaSkkk奇奇偶奇结论二：轮换对称求项和： （Ⅰ）若amn,anm，则amn0； （Ⅱ）若Smn,Snm，则Smnmn； （2）等比数列的常用常考结论： 结论一：等比数列中的项、公比都不能是零。 a11qnaS1（n越大越接近） 结论二：若q1，则S1q1q求和公式与通项公式的转化 递推公式与通项公式的转化 绝对数列求和 差比数列求和 数列最值 S(n1)an1 SnSn1(n2)累加法、累乘法、换元法、循环法、倒数法 整体处理 错位相减法 比较法

表8 解析几何 中点公式 x1x2x3x1x2xx32拓展：重心公式 yyy23y1yy1y232kk2k1y2y1tan 拓展一：到角公式，其中[0,180) 1k1k2x2x1k1k2平行；k1k2相交 b1b2斜率公式 拓展二：k1k2垂直； 点到点的距离公式： 已知两点坐标分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2)， 那么dP1P2(x2x1)2(y2y1)2 点到直线的距离公式： 已知点的坐标P(x0,y0)和直线l:AxByC0， 距离公式 那么点到直线的距离dAx0By0CAB22 平行直线间的距离公式： 已知直线l1:AxByC10，l2:AxByC20 AB求点A(x0,y0)关于直线l:ykxb对称的点P(x1,y1)的坐标的方法： 点线对称 那么点到直线的距离dC2C122 y1y0PAlk1x1x0 PA的中点M(x1x0,y1y0)在直线l上y1y0kx1x0b2222点与圆的位置关系的判断： 先用点点距离公式求圆心到点的距离d，在比较d与半径r的大小. 线与圆的位置关系的判断： 先用点线距离公式求圆心到直线的距离d，在比较d与半径r的大小. 圆与圆的位置关系的判断： 先用点点距离公式求圆心距d，在比较d与两圆半径和差的大小. 弦长公式：l2r2d2（d为圆心到割线的距离）. 切线长公式：ld2r2 （d为圆心到圆外那点的距离）. 光线反射：转化为点线对称问题求解. 考场应用

表9 排列组合 打包——把N个不同的物体分成n个组（这n个组是不计顺序的） 例如，把6个班级分成3个组，每个组至少得到1个班级，有多少种不同的分组方法的求法： 第一层次：因每组中元素的个数产生的差异，分成三大类： 6114 6123（打包计数先分解） 6222第二层次：在每一大类中，因元素的质地产生的差异： 114C6C5C4 611415（有两个1，就要除以A22）2A21236123C6C5C360（有1个1，就要除以A11） 222C6C4C23A（有三个2，就要除以） 62221533A3根据加法原理：不同的打包方法为15601590. 打包寄送法 打包口诀： “打包计数先分解，对照分解写组合； 组合相乘作分子，同数全排作分母.” 寄送——把N个不同的物体寄送到N个不同的地方，每个地方恰好1个，请问：共有多少种不同的方法？答案：AN 打包寄送公式：将打包方案数乘以寄送方案数，就得到总的方案数. 把N个相同的物体一字排开，共有N1个间隔，只需要从这N1个间隔中选出n1个并插进n1个挡板，把N个相同的物体分割成为n段，第几段的物体就分给第几个受体，这正好完成了任务.有多少种不同的插入挡板的方法就是所求的结果.图形示范如下： 挡板法 挡板公式：——最终方案总数等于插挡板的方法数：CN1. 把N个编好号的物体（编号分别是1,2,3,,N）分给n个编好号的受体（编号分别是1,2,3,,N），每个受体恰好得到一个物体，但是要求在分配时物体的编号与受体的编号不同.请问：共有多少种不同的分法？ 错排法 n111111错排公式：Dnn！， 2！3！4！5！6！n！n！进一步地，可以简化如下：Dn0.5（其中e2.71828） en1N捆绑法 插空法 分叉树法 相邻问题用捆绑法. 第一步：将要相邻的元素捆在一起，捆绑体内部进行排序. 第二步，将捆绑体和剩下的元素排序；最后，根据乘法原理求总方案数. 不相邻问题用插空法. 第一步：将要无要求的元素排序. 第二步，将不相邻的元素插进上述元素之间及两端的空位. 最后，根据乘法原理求总方案数. 对染色问题、数字问题等可以先画分叉树，再综合用乘法原理、加法原理.

表10 概率 （1）交换律——加法交换律：ABBA， 乘法交换律：ABBA； （2）结合律——加法结合律：ABCABC， 集合与事件的运算规则 乘法结合律：ABCABC； （3）分配律——简单分配律：BACABBC， 复杂分配律：ABACABC； （4）摩根律——加法求否律：ABAB， 乘法求否律：ABAB； （1）韦恩图—— 集合与事件的韦恩图与容斥原理 （2）容斥原理—— 表现形式一（集合元素个数的视角）： 二元容斥：ABABAB 三元容斥：ABCABCABACBCABC 表现形式二（事件概率公式的视角）： 二元容斥：PABPAPBPAB （1）概率的加法公式：PABPAPBPAB （2）概率的减法公式： PABPAPAB 概率的加法、（3）概率的乘法公式： PABPBPAB 减法、乘法公特别地，当A与B独立时，PABPAPB。 式 当n个事件A1,A2,,An相互独立时， P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An) 独立性判断 对立性判断 古典概型 PABPAPBA与B独立 PAB0ABA与B对立 PAPB1ABmPA nnkkkn次独立重复试验恰好发生k次的概率PnkCnp1p 应用伯努利概型的步骤： 伯努利概型两个要点—— （1）在1次试验中某事件发生的概率是p； （2）n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次； n次独立重复试验至少发生k次的概率PnkPnk1Pnn； 伯努利概型 n次独立重复试验至多发生k次的概率Pn1Pn2Pnk；