济南外国语高中推荐生数学试题及答案

济南外国语学校2010年推荐生选拔测试数学试题

一、选择题（每小题5分，共25分）

311、下列图中阴影部分面积与算式21的结果相同的是（ ）

42

2、一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，

则这个长方体的高和底面边长分别为（ ）

A．3，22 B．2，22 C．3，2 D．2，3

3、如图，∠ACB＝60○，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）

A. 23 B. π C. 2π D. 4

4、如果多项式xpx12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取 （ ）个

A．4 B. 5 C. 8 D. 6

5、小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1

人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多（ ）道

A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 二、填空题（每小题6分，共30分）

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2222 3 第2题图

主视图 左视图

俯视图

6、计算：82 .

7、满足方程x2x35的x的取值范围是 . 8、设M是ABC的重心（即M是中线AD上一点，

且AM=2MD），过M的直线分别交边AB、AC于 P、Q两点，且

APAQ11m,n，则 . PBQCmn第8题图

9、在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x,y）称为整点，如果将二次函数

yx28x39的图像与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边4kk与线段MN相交，过反比例函数yxx

界上的整点个数有 个.

10、已知：M（2，1），N（2，6）两点，反比例函数y

上任意一点P作y轴的垂线PG,G为垂足，O为坐标原点，则△OGP面积S的取值范围是

_______________.

三、解答题（共45分，写出必要的文字说明。） 11、（本小题20分）

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O 上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD． （1）求证：DC=BC；

（2）若AB=5，AC=4，求tan∠DCE的值．

ECDB· OA 12、（本小题25分）

2已知抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正

2

半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

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数学试题答案

1-5 BCADB

6、2 7、2x3 8、1 9、25 10、1S6 11. 解：（1）证明：连接OC ∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OCA ∵CE是⊙O的切线 ∴∠OCE＝90° ∵AE⊥CE

∴∠AEC＝∠OCE＝90° ∴OC∥AE ∴∠OCA＝∠CAD ∴∠CAD＝∠BAC ∴弧DC＝弧BC

∴DC＝BC

（2）∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB＝90° ∴BC

ECDB· OAAB2AC252423

∵∠CAE＝∠BAC ∠AEC＝∠ACB＝90° ∴△ACE∽△ABC ∴ ∴

ECAC BCABEC412 EC 3551229) 55 ∵DC＝BC＝3 ∴EDDC2CE232(9ED53 ∴tanDCEEC124512．解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC

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∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 ∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得

0＝36a－6b＋8 解得0＝4a＋2b＋8



8b＝－3

2a＝－

3

28

∴所求抛物线的表达式为y＝－x2－x＋8

33（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴

EFBEEF8－m

＝ 即＝ ACAB108

40－5m∴EF＝

4

4

过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝

5FG4440－5m∴＝ ∴FG＝·＝8－m EF554

11∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）

22111

＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2

222＋4m

自变量m的取值范围是0＜m＜8 （4）存在．

11

理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且

221

－＜0， 2

∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形．

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