2023届高考物理二轮学案：万有引力与航天

地球对物体的万有引力F表示为两个效果：

一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．

【基础知识】

1．开普勒三定律 定律 内容 图示 Mm

(1)在赤道上：G2＝mg1＋mω2R.

R

开普勒第二定律 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等(面积定律) 的时间内扫过相等的面积 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转a3周期的二次方的比值都相等，表达式为2＝kT开普勒第三定律 (周期定律) 3Mm

(2)在两极上：G2＝mg2.

R

Mm

(3)在一般位置：万有引力G2等于重力mg与向心力F向的矢量和．

R

越靠近南北两极g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为重力和万有引力近GMm

似相等，即2＝mg.

R

4.人造地球卫星 (1)卫星的运行参量

卫星绕地球的运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，类比行星绕太阳的运动规律，同Mmv24π2

2

样可得：G2＝mr＝mωr＝m2r＝ma，可推导出：

rT

开普勒第一定律 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处(轨道定律) 在椭圆的一个焦点上 RGMk(期中k）（其中只与中心天体质量有关） T242 注意：开普勒第三定律中的k由中心天体决定，与环绕天体无关．若将椭圆轨道按圆轨道处理，r3

则行星绕太阳做匀速圆周运动，a为圆轨道的半径r，即2＝k.

T

2．万有引力定律的基本应用

(1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供． (2)解决天体圆周运动问题的两条思路

①在地面附近万有引力近似等于物体的重力(常用于“地上”问题，如赤道上的物体)， Mm

即G2＝mg，整理得★★GM＝gR2(黄金代换式，类比其他星球也适用)．

RGM

利用此关系式可求得行星表面的重力加速度g＝2.

R

①天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供(常用于“天上”问题，如Mmv24π2

2卫星)，即G2＝m＝mωr＝m2r＝ma.

rrT



GMω＝

r

4πrT＝GM

GM

a＝r

v＝

3232

GM

r

v减小ω减小

T增大①高轨低速长周期 a减小

(2)同步卫星的特点

①轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面； ①运行方向一定：自西向东与地球自转同步； ①周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h；

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Mm4π2

①高度一定：由G＝m2(R＋h)，得同步卫星离地面的高度

T（R＋h）23GMT2

7

h＝2－R＝3.6×10 m. 4π

由同步卫星的周期T和高度h一定，还可以推导出同步卫星的运行速率v、角速度ω，向心加速度a也是确定的．但是，由于不同的同步卫星的质量不同，受到的万有引力不同． (3)三种宇宙速度

第一宇宙速度(环绕速度)：在人造卫星的发射过程中火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到越高的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星Mmv21

发射到贴近地面的轨道上运行的速度．故有：G2＝mR，v1＝

Rm，v1＝Rg＝7.9 km/s. R

注意：第一宇宙速度的两个表达式，不仅适用于地球，也适用于其他星球，只是M、R、g是相应星球的质量、半径和表面的重力加速度．若7.9 km/s≤v＜11.2 km/s，物体绕地球运行． 第二宇宙速度(脱离速度)：物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s≤v＜16.7 km/s，物体绕太阳运行．

第三宇宙速度(逃逸速度)：物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳系在宇宙空间运行．

2v1

—太阳连线夹角，两角最大值分别为m、m。则（ ）

GM

R＝7.9 km/s，或mg＝

A．水星的公转周期比金星的大

B．水星的公转向心加速度比金星的大

C．水星与金星的公转轨道半径之比为sinm:sinm D．水星与金星的公转线速度之比为sinm:sinm 针对训练2．（2022·河北·高考真题）2008年，我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远镜，发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b，2019年，该恒星和行星被国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“和“望舒”，天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍，若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动，且公转的轨道半径相等。则望舒与地球公转速度大小的比值为（ ）

2A．22 B．2 C．2 D． 2二、变轨 (1)由低轨变高轨，瞬时点火加速，稳定在高轨道上时速度较小、动能较小、机械能较大；由高轨变低轨，反之． 变轨 (2)卫星经过两个轨道的相切点，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度． (3)根据开普勒第三定律，半径(或半长轴)越大，周期越长. 【典例2】(2021·江苏泰州市高三期末)2020年11月24日，长征五号遥五运载火箭顺利将嫦娥五号探测器送入预定轨道，开启了中国首次地外天体采样返回之旅．嫦娥五号飞行轨迹可以简化为如图所示：首先进入近地圆轨道①，在P点进入椭圆轨道①，到达远地点Q后进入地月转移轨道，到达月球附近后进入环月轨道①.已知近地圆轨道①的半径为r1、椭圆轨道①的半长轴为a、环月轨道①的半径为r3，嫦娥五号在这三个轨道上正常运行的周期分别为T1、T2、T3，地球半径为R，地球表面重力加速度为g.忽略地球自转及太阳引力的影响，下列说法正确的是( )

333r1ar3

A．2＝2＝2

T1T2T3

B．嫦娥五号在轨道Ⅰ上运行速度大于gR

C．嫦娥五号在椭圆轨道Ⅱ上P点的加速度大于在圆轨道Ⅰ上P点的加速度

D．嫦娥五号沿椭圆轨道Ⅱ从P点向Q点飞行的过程中，地球对它的引力做负功

【题型归纳】

一、卫星在圆轨道上运行

卫星运行参量 线速度v 角速度ω 周期T 向心加速度a 相关方程 Mmv2G2＝m⇒v＝ rrMmG2＝mω2r⇒ω＝ r2π2MmG2＝mTr ⇒T＝2π rMmGMG2＝ma⇒a＝2 rrGM rGM r3r3GM r越大，v、ω、a越小，T越大 （高轨低速长周期） 结论 【典例1】（2022·广东·高考真题）“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是（ ） A．火星公转的线速度比地球的大 B．火星公转的角速度比地球的大 C．火星公转的半径比地球的小 D．火星公转的加速度比地球的小

针对训练1．（多选）（2022·辽宁·高考真题）如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地图上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角，地球—金星连线与地球

三、近地卫星、同步卫星、赤道上的物

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体的比较

比较内容 向心力来源 向心力方向 重力与万有引力的关系 赤道表面的物体 万有引力的分力 重力略小于万有引力 v1＝ω1R v2＝近地卫星 万有引力 指向地心 重力等于万有引力

同步卫星 GMGMv3＝ω3(R＋h)＝ R＋hR线速度 v1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度) GMGMω1＝ω自 ω＝ω＝ 自ω2＝ 3R＋h3R3角速度 ω1＝ω3＜ω2 GMGM2(R＋h) ＝2R 2R＝a＝ω a1＝ω1a2＝ω2 33R＋h2R2向心加速度 a1＜a3＜a2 注：卫星的轨道半径r是指卫星绕天体做匀速圆周运动的半径，与天体半径R的关系为r＝R＋h(h为卫星距离天体表面的高度)，当卫星贴近天体表面运动，如近地卫星(h≈0)时，可认为相等。 【典例3】如图所示，A是静止在赤道上的物体，B、C是同一平面内两颗人造卫星．B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星．下列说法中正确的是( ) A．卫星B的速度大小等于地球的第一宇宙速度 B．A、B的线速度大小关系为vA＞vB C．B、C的线速度大小关系为vB＜vC D．A、B、C周期大小关系为TA＝TC＞TB

【典例4】（多选）（2022·重庆·高考真题）我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕地球近似做匀速圆周运动，运行周期为T，轨道半径约为地球半径的半径为R，引力常量为G，忽略地球自转的影响，则（ ） A．漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力 B．空间站绕地球运动的线速度大小约为

17R 8T17倍，已知地球16316C．地球的平均密度约为

GT21716D．空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的倍

1723五、双星

模型概述 角速度(周期) 两星在相互间引力作用下都绕它们连线上的某一点做匀速圆周运动 相等 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供 Gm1m2Gm1m2＝m1ω2r1，＝m2ω2r2 22ll(1)r1＋r2＝l (2)m1r1＝m2r2 4π2l3m1＋m2＝ GT2 四、天体质量和密度计算 使用方法 已知量 r、T r、v 质量的计算 利用运行天体 v、T 利用天体表面重力加速度 G利用公式 4πMm2＝m2r rTv2MmG2＝m rrv2MmG2＝m rr4π2MmG2＝m2r rTGMmmg＝2 R4π2MmG2＝m2r rT4M＝ρ·πR3 3GMmmg＝2 R4M＝ρ·πR3 32表达式 M＝ M＝rv2 G备注 向心力 只能得到中心天体的质量 特点 轨迹半径 关系 总质量 利用近地卫星只需测出其运行周期 v3TM＝ 2πGM＝gR2 Gg、R 密度的计算 r、T、利用运行天体 R 利用天体表面重力加速度 ρ＝ 当r＝R时 ρ＝ 3g 4πGR 【典例5】（2022·甘肃·二模）质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动。构成双星系统。由天文观察测得其运动周期为T，两星体之间的距离为r，已知引力常量为G。下列说法正确的是（ ） A．O点离质量较大的星体较远 B．两星体的向心加速度大小相同

42r3C．双星系统的总质量为

GT2D．若在O点放一物体，则物体受两星体的万有引力的合力为零

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g、R ρ＝ 六、三星一线（冲日）

隐含关系：由相距最近到相距最近转过的圆心角相差2π，即ω1t-ω2t=2π 由相距最近到相距最远转过的圆心角相差 π ，即ω1t-ω2t=π 【典例6】2020年7月23日，我国成功发射了“天问一号”火星探测器．如图所示，已知火星与天问一号、地球均绕太阳在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动，火星绕太阳的公转轨道半径是地球的1.5倍．为了节省燃料，通常选择地球与火星最近时(地球位于太阳与火星之间，且三者共线)为最佳发射期．则下一个火星探测器的最佳发射期至少要经过约( )

A．1.2年 B．1.8年 C．2.2年 D．2.8年

七、图像问题

【典例7】2021年，中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”（如图）在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度g和下潜深度h的关系图像可能正确的是（ ）

针对训练4．（2022·重庆·三模）宇宙中半径均为R0的两颗恒星S1、S2，相距无限远。若干行星分别环绕恒星S1、S2运动的公转周期平方T2与公转半径立方r3的规律如图所示。不考虑两恒星的自转。则（ ）

A．S1的质量小于S2的质量 B．S1的密度等于S2的密度

C．S1表面的环绕速度大于S2表面的环绕速度

D．S1表面的重力加速度小于S2表面的重力加速度

【典例1】D

Mm42G2m2rT【详解】由题意可知，火星的公转周期大于地球的公转周期。C．根据r可得

r3Mmv2T2GmGM可知火星的公转半径大于地球的公转半径，故C错误；A．根据r2r可得 2GM结合C选项，可知火星的公转线速度小于地球的公转线速度，故A错误；B．根据TrMm可知火星公转的角速度小于地球公转的角速度，故B错误；D．根据G2ma可得

r

vaGM可知火星公转的加速度小于地球公转的加速度，故D正确。故选D。 r2针对训练1．BC

A．

B．

C．

D．

GMR3Mm42a2T2G2m2RmaGM；R T【详解】AB．根据万有引力提供向心力有R可得

因为水星的公转半径比金星小，故可知水星的公转周期比金星小；水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；C．设水星的公转半径为

sinm=R水R地sinm=R金R地针对训练3．（2022·安徽省舒城中学模拟预测）P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星sl、s2做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周

围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同。则（ ）

A．P1的平均密度比P2的小 B．s1的公转周期比s2的小 C．s1的向心加速度比s2的小

D．P1的“第一宇宙速度”比P1的小

R水，地球的公转半径为

R地

，当α角最大

时有同理可知有所以水星与金星的公转半径之比

R水:R金=sinm:sinm

Mmv2GMG2mvR结合前面的分析可得v水:v金=sinm：sinm R可得故C正确；D．根据R故D错误；故选BC。

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针对训练2．C

【详解】地球绕太阳公转和行星望舒绕恒星羲和的匀速圆周运动都是由万有引力提供向心力，

GMmv2mr2r故选C。 【典例6】C

T1解析 地球绕太阳运行周期为T1＝1年，设火星绕太阳运行周期为T2.由开普勒第三定律有()2

T2

r127t＝()3，得T2＝年．设地球与火星再一次最近至少经过时间t，则有(ω1－ω2)t＝2π，即r28T1t

－＝1，解得t≈2.2年，故选C. T2

【典例7】D

“海斗一号”下潜h深度后，【解析】设地球的质量为M，地球的半径为R，以地心为球心、以RhM有解得公转的线速度大小为

vGMr其中中心天体的质量之比为2:1，公转的轨道半

径相等，则望舒与地球公转速度大小的比值为√2，故选C。 【典例2】D 【典例3】D 【典例4】BD

【详解】A．漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力，所受引力提供向心力做匀速圆周运动而处于完全失重，视重为零，故A错误；B．根据匀速圆周运动的规律，可知空间站绕地球运动

172R1617RvT8T故B正确；C．设空间站的质量为m，其所受万有引力提的线速度大小约为

为半径的地球的质量为M，则根据密度相等有4πR33M4π(Rh)3由于球壳对球内任一质点的万3有引力为零，根据万有引力定律有GMmGMmg联立以上两式并整理可得g3(Rh) 2(Rh)RG供向心力，有

Mm217M173m()2(R)()31724316GT2T16(R)R163则地球的平均密度约为故C错误；

GMmma172(R)16则空间站绕地球运动的向心加速度大小为

由该表达式可知D正确，ABC错误。故选D。

针对训练3．B

【解析】A．根据牛顿第二定律，可得aGMRR2 2依题意左端点横坐标相同，即1rD．根据万有引力提供向心力，有

aGMa162GM17()(R)2g2g17即空间站绕地球运动的向心加速度大小16R地表的重力加速度为可得

2两行星的半径相等，结合图像可知M1M2又

M4可得P1的平均密度比P2的大。故A错

R3316约为地面重力加速度的17倍，故D正确。故选BD。

GMm42GMr3BC． 误；依题意两卫星的轨道半径相等，根据2mam2r解得a2，T2rTrGM易知S1的公转周期比S2的小，S1的向心加速度比S2的大。故B正确；C错误；D．根据 GM易知，P1的“第一宇宙速度”比P1的大。故D错误。故选B。 R针对训练4．C v【典例5】C

【解析】A．双星系统的两个星球角速度相等，设质量较大的运行半径为r1，质量为m1，质量

22较小的运行半径为r2，质量为m2，由二者之间的万有引力提供向心力可得m1r1m2r2

因为m1m2所以r1r2故A错误；B．根据牛顿第二定律可得a2F引可知质量较大的星球向心加m2Mm4242r3r3A．【解析】根据万有引力提供向心力得出G2m2r得M根据图象可知S1的2GT2rTTB．比较大，所以行星S1的质量大于行星S2的质量，故A正确；由图可知，两星球的半径相等，MMmv2则体积相等，根据可得S1的密度大于S2的密度，故B错误；C．根据G2m

VRRMmGM可知S1表面的环绕速度大于S2表面的环绕速度，故C正确；D．根据G2mg

RRGM可得g2可知S1表面的重力加速度大于S2表面的重力加速度，故D错误。故选C。

R速度小，故B错误；C．根据Gm1m24m1m24mrGmrrr2r ；112222又1(r1r2)2T2(r1r2)T42r3联立解得m1m2故C正确；D．因为O点离质量较大的星体较近，根据万有引力定律可

GT2知：若在O点放一物体，则物体受质量大的星体的万有引力较大，故合力不为零，故D错误。

可得v第-5-页

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