数轴上的动点问题

在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。

【题 1】甲乙两地相距 200 米，小明从甲地步行到乙地，用时 3 分钟，小明的平均速度为多少米每秒？ 【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：

小明

甲地 乙地

【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。 200 180 

10 9

（米/秒）

【解法二】用方程解。设速度为 x米/ 秒，根据路程=时间×速度，得： 200  180x ，解得 x 

10

9

。

如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。

【题 2】如图，数轴上有两点 A、B，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t。 （1） 用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 运动的距离； （2） 用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；

（3） 用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 到数 B 的距离。

（4） 当电子蚂蚁运动多少时间后，点 P 为线段 AB 的三等分点？

【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程=速度×时间。其余的点的距离，利用数 轴上两点间距离公式解决。

（1） 根据路程=速度×时间，有： AP  t ； （2） AP  t ，故点 P 表示的数为t ；

（3） 点 B 表示的数为 200，点 P 表示的数为t ，且 P 在 B 左边，故 PB  200  t 。 （4） 若 P 为 AB 的三等分点，有两种情况：

400

秒； 3 200

②2AP=PB，即： 2t  200  t ，解得t  秒；

3

①AP=2PB，即： t  2  200  t ，解得t 

现在，我们将【题 2】一般化，线段 AB 一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：

【题 3】如图，数轴上有两点 A、B，点 A 表示的数为 a ，点 B 表示的数为b ，且数 A 和数 B 的距离为 200 个单位长度，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止。设运动时间为 t。

（1） 用含 a 的代数式表示数 B；

（2） 用含 a 和 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 表示的数；

（3） 用含 t 的代数式表示电子蚂蚁 P 到数 B 的距离。

【分析】一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但若严格按照逻辑推理进行解题，难度也会有所下降。

（1） 由数轴上两点间距离公式可得： b  a  200 ，整理得： b  200  a ；

（2） 由路程=速度×时间得， AP  t ，即 A、P 两点间的距离为t ；同（1）可得，点 P 表示的数为 a  t 。 （3） 由于数 B≥数 P，故根据数轴上两点间距离公式有： BP  b 

a  t   a  200  a  t   200  t 。

我们发现，只要线段 AB 的长度固定，点 P 到 B 的距离跟 A、B 表示的数无关。

接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看【题 4】。

【题 4】如图，数轴上有两点 A、B，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止；另一电子蚂蚁 Q 在同一时间从 B 出发，以 2 个单位每秒的速度由 B 往 A 运动，到 A 点运动停止。设运动时间为 t。 （1） 当电子蚂蚁 P、Q 相距 40 个单位长度时，求运动时间 t； （2） 用含 t 的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。

【分析】本题的实质，就是行程问题中的相向运动问题，若用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。 （1） 在运动的过程中，点 P 和点 Q 的位置有三种情况：P 在 Q 的右边，P 和 Q 重合，P 在 Q 的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效避免漏掉情况。另外，Q 到 A 后，Q 停止，但 P 继续往 B 运动，故也得考虑这种情况。

①P、Q 都在运动时， 0秒 t  100秒时，点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为 200  2t ，故 P、Q 两

点间的距离为 200  2t  t 。根据题意有： 200  2t  t  40 。很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。

②Q 停止运动，P 继续运动，此时 PQ 距离＞100，故不符合题意。

（2） ①P 与 Q 相遇之前，即 P 在 Q 的左边，此时有数 Q＞数 P， 0秒 t＜

200

秒，此时： 3 200 3

PQ  200  2t  t  200  3t

②P 与 Q 相遇后，Q 停止运动前，即 Q 在 P 的左边，此时有数 P＞数 Q，

秒 t  100秒，此时：

PQ  t  200  2t   3t  200

③Q 停止运动，P 继续向 B 运动直至停止，数 Q 为 0，数 P＞数 Q，100秒＜t  200秒，此时：

PQ  t  0  t

【提炼】第（1）问题，利用数轴上两点间的距离公式，能有效解决漏掉情况的问题。

下面，我们把线段等分点加进来，提升难度，请看【题 5】和【题 6】。其处理的核心，依然是表示出相关的数。

【题 5】如图，数轴上有两点 A、B，点 A 表示的数为0 ，点 B 表示的数为 200 ，一只电子蚂蚁 P 从 A 出发，以1个单位每秒的速度由 A 往 B 运动，到 B 点运动停止；另一电子蚂蚁 Q 在同一时间从 B 出发，以 2 个单位每秒的速度由 B 往 A 运动，到 A 点运动停止。设运动时间为 t。 （1） 当 P 为 AQ 中点时，求运动时间 t； （2） 当 Q 为 BP 中点时，求运动时间 t。

【分析】搭上了线段中点，处理方式依然不变，用含t 的代数式表示出数 Q、数 P，利用两点间距离公式解题。

（1） 点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为200  2t ，若 P 为 AQ 中点，有 AP=PQ，即： t  200  2t  t ，

解得： t  50秒；

（2） 点 P 表示的数为t ，点 Q 表示的数为 200  2t ，若 Q 为 BP 中点，有 PQ=BQ，即： 200  2t  t  2t ，

解得： t  40秒。

【题 6】已知数轴上 A、B 两点对应的数分别是-2 和 4，P 为原点。若 A、B、P 三点分别以 1 个单位每秒、4 个单位每秒、2 个单位每秒的速度向右运动，当 A、B、P 三点有其中一点为其余两点的中点时，求运动的时间。

【分析】按理说有三种情况，A 为 P、B 中点，B 为 A、P 中点，P 为 A、B 中点，但结合条件，发现 A 不可能为 P、B 中点，故此种情况可以舍去。

设运动时间为 t，则运动过程中，点 A 表示的数为 t-2，点 P 表示的数为 4t，点 B 表示的数为 4+2t。 ①B 为 A、P 中点，有 AB=BP，即：4+2t-t+2=4t-4-2t，解得：t=10 秒； ②P 为 A、B 中点，有 AP=PB，即：4t-t+2=4+2t-4t，解得：t=0.4 秒；

接着，我们进一步加深难度，将动线段的等分点放进来，主动点带从动点，看处理是否发生变化呢？ 请看【题 7】。

【题 7】如图，点 A 表示的数是-3，点 B 表示的数是 1，若 Q 是点 B 右侧一点，QA 的中点为 M，QB 的四 等分点为 N（N 靠近点Q），当 Q 在B 的右侧运动时，有两个结论：① QM  BN 的值不变，② QM  BN

1 3 2

2 4 3

的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你判断正确的结论，并求出其值。

【分析】此题有一难处，是 Q 点的速度未知，一些学生就不知该如何处理了。处理方式，还是比较简单的， 直接设 BQ=m 即可。则点 Q 表示的数就可以用含 m 的代数式表示了。 设 BQ=m，则点 Q 表示的数为 m+1，AQ=m+1+3=m+4, QM  AQ 

1 m

2

将QM、BN 代入上面两个式子即可：

3 3

 2 ； BN  BQ  m ， 2 4 4

① QM  BN 

1 3

2

4 2

m

1  m  m

 2 1，值与m 有关；  2  2  4

2 3

 2   m  2 ，值与 m 无关；

3 2 3 4

2 m 2 3

【解后反思】QM  BN   2   m  2 的值与 BQ 的长度没有关系，只与 AB 的长度有关系，故

3 2 3 4

② QM  BN 

可以将数 A、数 B 推广到任意数，便得到了一般化的情况。

【思考】线段（直线、射线）上的运动问题，可以转化为数轴上的运动问题来处理吗？ 最后，放几个题结束本文。

【题 1】如图，数轴上 A、B 两点对应的有理数分别为-8 和 12，点 P 从原点 O 出发，以每秒 1 个单位长度

的速度沿数轴负方向运动，同时点 Q 从原点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为t 秒。

（1） 求经过两秒后，数轴点 P、Q 分别表示的数；

（2） 当t  3 时，求 PQ 的值；

（3） 在运动过程中，是否存在时间 t，使得 AP=BQ，若存在，求出 t 值；若不存在，说明理由。

【题 2】如图，点 A、B 和线段 CD 都在数轴上，点 A、C、D、B 起始位置所表示的数分别为-2,0,3,12；线段 CD 沿数轴的正方向以每秒 1 个单位的速度移动，移动时间为t 秒。 （1） 当t  0 秒时，AC 的长度为 ；当t  2 秒时，AC 的长度为 ； （2） 用含有t 的代数式表示 AC 的长为 ． （3） 当t 秒时，AC－BD=5，当t 秒时 AC+BD=15．

（4） 若点A 与线段 CD 同时出发沿数轴的正方向移动，点 A 的速度为每秒 2 个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得 AC=2BD，若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．

【题 3】如图，E 为线段 AC 上靠近点 A 的三等分点，B、D 为线段 EC 上的两点，且满足 CD=2BD。 （1） 若 DE=6cm，求线段 AB 的长；

（2） 若图中所有线段的长度之和是线段 DC 长度的 14 倍，求 AC

DC

的值；

（3） 若 AC=15cm，EB=4cm，动点 P 从 A 点、动点 Q 从 D 点同时出发，分别以 3cm/s、1cm/s 的速度沿直

线 AC 向右运动，是否存在某个时刻，使得 BP+CQ=AB 成立？若存在，求此时 PQ 的长度；若不存在，说明理由。

【题 4】如图，数轴上线段 AB=2，CD=4，点 A 在数轴上表示的数是 10，点 C 在数轴上表示的数是 16。若线段 AB 以 6 个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段 CD 以 2 个单位长度/秒的速度向左匀速运动。 （1）运动多少时，BC=8？

（2）P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上时，是否存在关系式 PD 的长；若不存在，请说明理由。

BD  AP PC

 3 ，若存在，求线段