2017 年考研数学二真题
一、选择题
1— 8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1．若函数 f (x)
（ A） ab
1 cos
ax b,
1 2
x
, x 0
在 x
0 处连续，则 1 2
（ C） ab 0
x 0
（ B） ab
（ D） ab 2
x 0
【详解 】 lim f (x) 必须满足
lim
x
1
1
0
cos x ax
1 x
lim 2
ax x 0
1 ， lim f (x) b
2a x 0
f (0) ，要使函数在 x
0 处连续，
b
2a
2．设二阶可导函数
（ A ） f ( x) dx
1
ab
1
2
．所以应该选（ A ）
f (x) 满足 f (1)
0
1
f ( 1)
1 ， f (0)
（B ） （D ）
1 ，且 f ( x) 0 ，则（
）
1
1
f ( x)dx 0
1 0
1
（ C） f ( x)dx
1
0
f ( x)dx
f ( x)dx
1
f (x) dx
0 0
【详解 】注意到条件
f (x) 0 ，则知道曲线 f ( x) 在
2x
1
1,0 , 0,1 上都是凹的，根据凹凸性的定义，显然
2x 1，而且两个式子的等号不是处处成立，
当 x
1,0 时， f (x)
1，当 x 0,1 时， f (x)
否则不满足二阶可导．所以
f ( x) dx
1
0
( 2x 1)dx
1
(2x 1)dx 0 ．所以选择（ B）．
0
1
当 然 ， 如 果 在 考 场 上 ， 不 用 这 么 详 细 考 虑 ， 可 以 考 虑 代 一 个 特 殊 函 数 f ( x)
0 1
2x2 1 ， 此 时
f ( x)dx
1 , 3
1 0
f (x)dx
1 3
，可判断出选项（ A ），（ C），（D ）都是错误的，当然选择（ B）．希望同
学们在复习基础知识的同时，掌握这种做选择题的技巧． 3．设数列
xn 收敛，则
（ A）当 lim sin xn
n
0 时， lim xn 0
n
（ B）当 lim( xn
n
xn ) 0 时， lim xn
n
0
(C）当 lim( xn xn2 )
n
0 时， lim xn 0
n
（ D）当 lim( xn
n
sin xn )
0 时， lim xn
n
0
【详解 】此题考核的是复合函数的极限运算法则，只有（ 其实此题注意，设
D）是正确的．
lim xn
n
A，则
limsin xn sin A,lim( xn
n
n
xn ) A
A ,lim( xn xn2 )
n
A A2 ,lim( xn sin xn ) A
n
sin A
分别解方程 sin A 0, A A
0,A A2
0, A sin A
1
0 时，发现只有第四个方程 A sin A 0 有唯
一解 A
0 ，也就是得到 lim xn
n
0 ．
４．微分方程 y （ A ） Ae2 x （ C） Ae2 x
4 y
89 e2 x (1
cos2x) 的特解可设为 y* （
）
e2 x ( B cos2x C sin 2x)
（B ） Axe2 x （ D） Axe2 x
xe2x (B cos2 x C sin 2x) xe2x (B cos2 x C sin2x)
xe2x (B cos2x C sin 2x)
r 2
4r
【详解 】微分方程的特征方程为 所以
8 0，有一对共轭的复数根 r 2 2i ．
1
2 不是特征方程的根，所以对应方程 y
4 y 89 e2 x 的特解应该设为 y1* Ae2 x ；
而
2
2
2 x
2i 是 方 程 的 单 根 ， 所 以 对 应 方 程 y 4y 4 y
89 e2x cos2x
2x
y2* y*
xe ( B cos2x C sin 2x) ； 从 而 微 分 方 程 y 8 9 e ( 1
的特解应该设为
c o xs的2特)解 可 设 为
y1 * y2 * Ae2x xe2 x ( B cos2x C sin 2x) ，应该选（ C）．
( x, y) 都有 f (x, y)
x
（B ） f (0,0) （ D） f (0,1)
5．设 f (x, y) 具有一阶偏导数，且对任意的
0, f ( x, y) 0 ，则（
y
）
（ A） f (0,0) （ C） f (0,1)
f (1,0) f (1,0)
f (1,1) f (1,0)
【详解 】由条件对任意的
( x, y) 都有 f ( x, y)
x
f (1,0)
0, f ( x, y)
y
f (0,1)
0 可知 f (x, y) 对于 x 是单调增加的，
f (0,0)
对 y 就单调减少的． 所以 f (1,1) 只有第三个不等式可得正确结论（
f (0,0), f (1,1)
f (0,0), f (0,1)
f (1,0) ，
D），应该选（ D）．
6．甲、乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前方 10（单位： 米）处，如图中， 实线表示甲的速度曲线 （单位：米 /秒），虚线表示乙的速度曲线 计时开始后乙追上甲的时刻为 （ A ） t0 （ C） t0
v v1 (t )
v v2 (t) （单位：米 /秒），三块阴影部分的面积分别为
）
10,20,3 ，
t0 ，则（
20
10 25
（ B） 15 t0 （ D ） t 0
25
T2 T1
【详解 】由定积分的物理意义： 当曲线表示变速直线运动的速度函数时，
S(t)
v(t )dt 表示时刻 T1,T2
内所走的路程．本题中的阴影面积 走路程之差，显然应该在 t
S1, S2 , S3 分别表示在时间段
0,10
, 10,25 , 25,30 内甲、乙两人所
25 时乙追上甲，应该选（ C）．
2
0
1, 2, 3 为可逆矩阵， 使得 P
1
0 0 0 2
（D） 1
7．设 A 为三阶矩阵， P
AP 0
0
1 0 ，则 A(
1 2 3
)（
）
（A）12
（B） 2
23（C）2 3
2
3
【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目．可知
0 0 0
A(1,2,3) AP P0 1 0
0 0 2
123
,,00 0 0 0
1 0 0 2
0, 2,2 3
所以A(1 2
3
)
A 1 A 2
0 0 2 1 ， B 0 1
A 3
2
2 3 ，所以可知选择（ B）．
1 0 0
， C 0
2 0 0
2 1 0 0 2 0 0 0 1
8．已知矩阵 A
2 0 ，则
0 0 2
（ A） A,C 相似， B,C 相似 （ C） A, C 不相似， B,C 相似
【详解 】矩阵 A, B 的特征值都是
（ B） A, C 相似， B,C 不相似
（ D） A,C 不相似， B, C 不相似
2
1
2,
3
1
．是否可对解化，只需要关心
2 的情况．
0 0 0 0 0 0
0 1
对于矩阵 A，2E A
1 ，秩等于 1 ，也就是矩阵 A 属于特征值
2 存在两个线性无关的特
征向量，也就是可以对角化，也就是
A~C．
0 0 0
1 0 0 0
1
对于矩阵 B ，2E B
0 ，秩等于 2 ，也就是矩阵 A 属于特征值
2 只有一个线性无关的特
征向量，也就是不可以对角化，当然 二、填空题（本题共 9．曲线 y
B,C 不相似故选择（ B）．
6 小题，每小题 4 分，满分 24 分 . 把答案填在题中横线上）
x(1 arcsin ) 的斜渐近线为
x
2
．
解： lim
x
y
x
x(1 arcsin )
lim x 1， lim( y
x x
x
2
x) lim x arcsin
x
2
2 ，所以斜渐近线为 y x 2 ．
x
2
10．设函数 y y( x) 由参数方程
x t et 确定，则 d y sin t dx
2y |t 0
．
3
d cost
t1 e dy【详解 】 cost d 2 y dt
t2dx 1 e dx , dx
dt
(1 e )sin t
(1 et ) 3
t
2 d y ，所以e cost t
dx 2
|
1
t 0
8
．
11
0
2 dx ln(1
(1 x)
x)
.
【详解】
0
ln(1 x)2 dx (1 x) ln(1 x)d 1
1 x 0
|0 ln(1
1 x
x)
1 2 dx
0
(1 x)
1
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) yey dx
x(1 y)eydy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) 所以
yeydx x(1
y)ey dy d ( xyey ) ，所以 f (x, y)
xyey
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
( , ) y ． f x y xye
13．
1
0
1
dy
tan x
x
dx
．
y
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
dy
tan x dx 1 y
dx
0
tan x dy
x
1
tan xdx
0
ln cos x
ln cos1.
1 0
1 0
1 0
x 2
x
4 1
14．设矩阵 A1
1
2 a 的一个特征向量为 1
1 ，则 a 2
．
3 1
【详解 】根据特征向量的定义，有
4 1 3 1
三、解答题
2 1
1 1 2
1 3 2a 2
A1 2 a 1 ，解得 a
1．
1 2
15．（本题满分 10 分）
x
求极限 lim
x
0
te dt
3
t
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
e
x 0
x te dt
t
x 0 x
ue
xu
du
x
x
te dt
t
lim
x 0
x
x 0
ue u du
ue u du
x
0
lim
x 0
lim
x 0
0
lim
x 0
x3
x3
x3
xe 3 x 2
2 3
16．（本题满分 10 分）
4
d cost
t1 e dy【详解 】 cost d 2 y dt
t2dx 1 e dx , dx
dt
(1 e )sin t
(1 et ) 3
t
2 d y ，所以e cost t
dx 2
|
1
t 0
8
．
11
0
2 dx ln(1
(1 x)
x)
.
【详解】
0
ln(1 x)2 dx (1 x) ln(1 x)d 1
1 x 0
|0 ln(1
1 x
x)
1 2 dx
0
(1 x)
1
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) yey dx
x(1 y)eydy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) 所以
yeydx x(1
y)ey dy d ( xyey ) ，所以 f (x, y)
xyey
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
( , ) y ． f x y xye
13．
1
0
1
dy
tan x
x
dx
．
y
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
dy
tan x dx 1 y
dx
0
tan x dy
x
1
tan xdx
0
ln cos x
ln cos1.
1 0
1 0
1 0
x 2
x
4 1
14．设矩阵 A1
1
2 a 的一个特征向量为 1
1 ，则 a 2
．
3 1
【详解 】根据特征向量的定义，有
4 1 3 1
三、解答题
2 1
1 1 2
1 3 2a 2
A1 2 a 1 ，解得 a
1．
1 2
15．（本题满分 10 分）
x
求极限 lim
x
0
te dt
3
t
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
e
x 0
x te dt
t
x 0 x
ue
xu
du
x
x
te dt
t
lim
x 0
x
x 0
ue u du
ue u du
x
0
lim
x 0
lim
x 0
0
lim
x 0
x3
x3
x3
xe 3 x 2
2 3
16．（本题满分 10 分）
4
d cost
t1 e dy【详解 】 cost d 2 y dt
t2dx 1 e dx , dx
dt
(1 e )sin t
(1 et ) 3
t
2 d y ，所以e cost t
dx 2
|
1
t 0
8
．
11
0
2 dx ln(1
(1 x)
x)
.
【详解】
0
ln(1 x)2 dx (1 x) ln(1 x)d 1
1 x 0
|0 ln(1
1 x
x)
1 2 dx
0
(1 x)
1
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) yey dx
x(1 y)eydy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) 所以
yeydx x(1
y)ey dy d ( xyey ) ，所以 f (x, y)
xyey
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
( , ) y ． f x y xye
13．
1
0
1
dy
tan x
x
dx
．
y
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
dy
tan x dx 1 y
dx
0
tan x dy
x
1
tan xdx
0
ln cos x
ln cos1.
1 0
1 0
1 0
x 2
x
4 1
14．设矩阵 A1
1
2 a 的一个特征向量为 1
1 ，则 a 2
．
3 1
【详解 】根据特征向量的定义，有
4 1 3 1
三、解答题
2 1
1 1 2
1 3 2a 2
A1 2 a 1 ，解得 a
1．
1 2
15．（本题满分 10 分）
x
求极限 lim
x
0
te dt
3
t
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
e
x 0
x te dt
t
x 0 x
ue
xu
du
x
x
te dt
t
lim
x 0
x
x 0
ue u du
ue u du
x
0
lim
x 0
lim
x 0
0
lim
x 0
x3
x3
x3
xe 3 x 2
2 3
16．（本题满分 10 分）
4
d cost
t1 e dy【详解 】 cost d 2 y dt
t2dx 1 e dx , dx
dt
(1 e )sin t
(1 et ) 3
t
2 d y ，所以e cost t
dx 2
|
1
t 0
8
．
11
0
2 dx ln(1
(1 x)
x)
.
【详解】
0
ln(1 x)2 dx (1 x) ln(1 x)d 1
1 x 0
|0 ln(1
1 x
x)
1 2 dx
0
(1 x)
1
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) yey dx
x(1 y)eydy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) 所以
yeydx x(1
y)ey dy d ( xyey ) ，所以 f (x, y)
xyey
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
( , ) y ． f x y xye
13．
1
0
1
dy
tan x
x
dx
．
y
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
dy
tan x dx 1 y
dx
0
tan x dy
x
1
tan xdx
0
ln cos x
ln cos1.
1 0
1 0
1 0
x 2
x
4 1
14．设矩阵 A1
1
2 a 的一个特征向量为 1
1 ，则 a 2
．
3 1
【详解 】根据特征向量的定义，有
4 1 3 1
三、解答题
2 1
1 1 2
1 3 2a 2
A1 2 a 1 ，解得 a
1．
1 2
15．（本题满分 10 分）
x
求极限 lim
x
0
te dt
3
t
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
e
x 0
x te dt
t
x 0 x
ue
xu
du
x
x
te dt
t
lim
x 0
x
x 0
ue u du
ue u du
x
0
lim
x 0
lim
x 0
0
lim
x 0
x3
x3
x3
xe 3 x 2
2 3
16．（本题满分 10 分）
4
d cost
t1 e dy【详解 】 cost d 2 y dt
t2dx 1 e dx , dx
dt
(1 e )sin t
(1 et ) 3
t
2 d y ，所以e cost t
dx 2
|
1
t 0
8
．
11
0
2 dx ln(1
(1 x)
x)
.
【详解】
0
ln(1 x)2 dx (1 x) ln(1 x)d 1
1 x 0
|0 ln(1
1 x
x)
1 2 dx
0
(1 x)
1
12．设函数
f (x, y) 具有一阶连续的偏导数，且已知
df (x, y) yey dx
x(1 y)eydy ， f (0,0) 0 ，则
f ( x, y)
【详解 】df ( x, y) 所以
yeydx x(1
y)ey dy d ( xyey ) ，所以 f (x, y)
xyey
C ，由 f (0,0) 0
，得 C 0 ，
( , ) y ． f x y xye
13．
1
0
1
dy
tan x
x
dx
．
y
【详解 】交换二重积分的积分次序得：
dy
tan x dx 1 y
dx
0
tan x dy
x
1
tan xdx
0
ln cos x
ln cos1.
1 0
1 0
1 0
x 2
x
4 1
14．设矩阵 A1
1
2 a 的一个特征向量为 1
1 ，则 a 2
．
3 1
【详解 】根据特征向量的定义，有
4 1 3 1
三、解答题
2 1
1 1 2
1 3 2a 2
A1 2 a 1 ，解得 a
1．
1 2
15．（本题满分 10 分）
x
求极限 lim
x
0
te dt
3
t
x 0
x
【详解 】令 x
t u ，则 t x u , dt
du ，
e
x 0
x te dt
t
x 0 x
ue
xu
du
x
x
te dt
t
lim
x 0
x
x 0
ue u du
ue u du
x
0
lim
x 0
lim
x 0
0
lim
x 0
x3
x3
x3
xe 3 x 2
2 3
16．（本题满分 10 分）
4
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