第３５卷第５期 Ｖｏ１．３５ Ｎｏ．５ 丽水学院学报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＬＩＳＨＵＩ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ ２０１３年１０月 ０ｃｔ．２０１３ 二元函数极限求解 胡亚红 （丽水学院理学院，浙江丽水３２３０００） 摘要：探讨二元函数极限存在时的求解方法和－ｚ－￣Ｌ函数极限不存在的判断方法，并对方法的使 用技巧进行举例说明。 关键词：二元函数；极限；极限求解方法 ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．２０９５－３８０１．２０１３．０５．０１７ 中图分类号：Ｇ６４２ 文献标志码：Ａ 文章编号：２０９５－３８０１（２０１３）０５—００７６—０６ Ｔｈｅ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｇｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｌｉｍｉｔｓ ｆｏｒ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ２－ｖａｒｉａｂｌｅｓ ＨＵ Ｙａｈｏｎｇ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｌｉｓｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｉ ｉｓｈｕｉ ３２３０００，Ｚｈｅｊｉａｎｇ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｓｔｕｄｉｅｓ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ２－ｖａｒｉａｂｌｅｓ，ａｎｄ ｇｉｖｅｓ ｏｕｔ ｓｏｍｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｇｅｔｔｉｎｇ ｔｈｅ ｌｉｍｉｔｓ ｏｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ｉｎｅｘｉｓｔｅｎｃｅ．Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ，ｔｈｅ ｓｋｉｌｌｓ ｆｏｒ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄｓ ａｒｅ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｏｆ ２－ｖａｒｉａｂｌｅｓ；ｌｉｍｉｔ；ｍｅｔｈｏｄ 二元函数极限是多元函数微积分学的基础知识，讨论二元函数的连续性、可微性时就要涉及二元函数极 限的求解，其讨论方法及结论还可推广到更多元的情况，因此掌握求解二元函数极限的方法是学习多元函数 微积分学的关键。二元函数极限是理工科专业考研所考的《高等数学》，及数学专业考研所考的《数学分析》重 点考核的知识点之一。 由于二元函数极限定义语言表达高度抽象，且求解二元函数极限没有一个通用的方法，技巧性强。教科 书 里往往只是列举几个求解例子，对于初学者来说，经常是“看得懂，却用不了”。为此，本文对求解二元函 数极限的方法进行归纳总结，并对方法的使用技巧用例子作详细说明。 １ 二元函数极限的求法 １．１ 定义法 定义１【１］ｆ为定义在ＤｃＲ 上的二元函数， 为Ｄ的一个聚点，Ａ为一个确定的实数。若对于任意给定 正数 ，存在正数６，当Ｐ∈ｕ。（Ｐ０；６）ＮＤ，有１ Ｐ） Ｉ＜ ，则称／在Ｄ上当Ｐ— （即（ ，ｙ）一（ 。，Ｙ０））时，以Ａ 为极限。 收稿日期：２０１３—０３—０７ 作者简介：胡亚红，女，浙江兰溪人，副教授。 第５期 胡亚红：二元函数极限求解 ７７ 同样可以定义二元函数当（ ，），）一（一∞，＋。。）等情形时的极限。 Ｒ２上点的邻域，有圆邻域｛（ ，ｙ）ｌ、／ ＜ ）和方邻域｛（ ，ｙ）Ｉ Ｉ Ｉ＜６，Ｉｙ—ｙｏ Ｉ＜ ｝，圆邻 域和方邻域是等价的，事实上｛（ ，ｙ）ｆ ｆ ｉ＜ ，ｆ），一 ｆ＜ ６）ｃ｛（ ，ｙ）￣（Ｘ－Ｘｏ）２＋（ｙ－ｙｏ）２＜６）， 及 ），） Ｉ＜６｝Ｃ｛（ ） Ｉ＜ ，Ｉｙ Ｉ＜６）。 用定义求解二元函数极限是基本方法，但根据定义中 Ｐ） ｆ＜ ，求得满足定义条件的正数 是解题 的难点，该难点的化解关键在于邻域ｕ。（尸ｎ；６）选择圆邻域还是方邻域。其规则是，如果 ，ｙ）表达式中含有 （ ）‘＋（），－ｙ０）‘，则往往选择ｕ。（Ｐ０；６）为圆邻域，并且设（ 一 ＝ｒｃｏｓ０，（），— ）＝ｒｓｉｎＯ，这时Ｐ（ ，），）—Ｐ０（％，Ｙｏ） 等价于对任何０都有ｒ一－＋０；否则，往往采用方邻域，并把ｌ ， ）＿Ａ Ｉ￣ｌＸ－Ｘｏ Ｉ与ｌｙ—ｙ０ １的式子。 例１求证：ｌｉｍ—手 ＝０。 （ ， 卜＋（０，０） ＋Ｖ 证设 ｙ）＝骞，＋ ｘ＝ｒｃｏｓＯ，ｙ＝ｒｓｉｎＯ，￣］１ｘＺ＋；： ｙ ｌ＿Ｉ ｌ尊 ＩＩ － Ｉｒｓｉｎ０ｃ １ ＞。， 取 ＞０，当（ ，），）∈Ｕ。（Ｄ；６）＝（（ ， ）１０＜，：、／ ＋ｙ２＜６｝时，有 ，），）一０ Ｉ＜６。 例２依定义验证ｌｉｍ（ ＋ｘｙ ）：７。 （ ，Ｙ卜＋（２，１） 证 ｌ 帆ｙ 一７ ｌ＝Ｉ（ 一４）＋ｘｙ－２＋（），一１） ｌ＝Ｉ（ ＋２）（ 一２）＋（ 一２）ｙ＋２（ｙ一１）＋（ｙ一１）（ ＋１）Ｉ≤ Ｉ一２ Ｉ ｌ ＋ｙ＋２ Ｉ＋ｌｙ一１ Ｉ １ｙ＋３ Ｉ。 先在点（２，１）的８＝１的方邻域｛（ｘ，ｙ）｝｝ 一２ ｆ＜１，ｆｙ－１ ｌ＜１）内讨论，于是有 ｌｙ＋３ １＝ｌｙ一１＋４ Ｉ≤Ｉｙ一１ ｌ＋４＜５，ｌ ＋２ １＝Ｉｘ一２＋ｙ一１＋５ Ｉ≤ｌ 一２ Ｉ＋ｌｙ一１ Ｉ＋５＜７。 所以戈 ＋ 一７≤７ｌ 一２ １＋５Ｉ），一Ｉ Ｉ＜７（１ 一２ ｙ一１ １）。 对Ｖ占＞０，取 ＝ｍｉｎ（１，奇），则当Ｐ（ ，），）∈Ｕ。（Ｐｏ；６）＝｛（ ，ｙ） ｌＩｘ－２ Ｉ＜６，ｌｙ－１ Ｉ＜ ，（戈，ｙ）≠（２，１）｝时 ｌ 坳 一７ Ｉ＜１４８＜ 。故ｌｉｍ（ ＋ｘｙ＋ ）＝７。 ，ｒ 卜 ２，ｌ １－２ 化成求一元函数的极限 ２ ２ 用换元法把二元函数极限化成求一元函数的极限，如求ｌｉｍ— 兰 一，只要令 ；再如， ｙＨ ，”Ｖ ｉ＋ｘ ＋ 一ｉ （ ，ｙ＞＿ｌｉｍ ０，Ⅱ） （ ， 卜（ｌｉｍ ｆ０，口）、 曼 ．ｙ １＿ 。 但当变换式不明显时，转化需用一些方法和技巧才可化成求一元函数的极限，如用等价无穷小变换法；夹 ！ ，、 逼定理；将函数表达成一元函数两个重要极限（１ｉｍ ＝１，ｌｉｍ（１＋ ） ＝ｅ）的形式；对于幂指函数 ，），） 的 极限，先用变换 ， ） ， ：ｅ ’ 等。 ７８ 丽水学院学报 ２０１３仨 例３ 解由不 ≤ｆ（煮 －ｏ，即 （煮 例４求ｌｉｍ（ｘ２＋ｙ２） 。 、妄４二 ；＝、 １ ＾ ２ ２ ２ ２ ２ ２、ｌｉｍ Ｙｌｎ（ｘ Ｊ ，２ ２、２ ，解 １（ ，Ｙ卜＋ ｉｍ （（０，０） ） ＝ ｌ（ ，Ｙ卜＋（ｉ ｍ Ｏ．０） ＝＝ｅ ，由不等式０≤Ｉ ），２ｌｎ（ ）Ｉ≤ 斗 Ｉ 。１ （ｘ２ ）Ｉ 。， 及ｌｉｍ ｌｎ（戈 ＋ｙ２）＝ｌｉｍ １ ２ｌｎ拄０，即得ｌｉｍ （ ） ：ｅ。：１。 （ ，ｙ卜（Ｏ，０） 斗Ｈｒ斗 （ ， 卜（０，０） １．３无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量 用二元函数极限定义很容易验证无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量。用它求二元函数极限。如 （ ，ｙ）ｌｉ－ｍ （－￣（０，０） ）ｓｉｎ去（戈＋ｖ） ＝０，ｌ（ ，ｙ卜＋ｉｍ ｙ（０，０） ｓｉｎ －＝１０，ｌ（ ，ｙｉ卜＋ｍ （（ｏ，０） 卅，，）ｓｉｎ ｓｉｎ ：Ｙ ０等等。 ２二元函数极限不存在的判断 由于Ｐ（ ， ）—Ｐ０ Ｘｏ，Ｙｏ）要比 复杂得多，因此二元函数极限不能凭求一元函数极限的经验来判断其 是否存在，如在—害 中，分子与分母的最高次数都为２，按一元函数极限的经验有“ｌｉｍ— ：１”；又在 ＋ｙ ，ｙ卜＋（０，ｏ） ＋ｙ —争 中，分子的最高次数大于分母的最高次数，按一元函数极限的经验有“ｌｉｍ— 下：０”。然而事实并非 ＋ （ ，ｙ卜（０，０） 如此。 ２．１ 用二元函数极限定义判断极限不存在 根据二元函数极限定义，二元函数极限不存在定义如下。 定义２设 为定义在Ｄ ｃ ２上的二元函数，尸０为Ｄ的一个聚点。对于任意实数 ，若存在一个正数 ，对任意的正数６，使得存在一个Ｐｌ∈Ｕ。（Ｐ０； ＡＤ，有 Ｐ１）－Ａ ｌ≥ ，￣Ｊｆ；（ｉＥＤ上当 （即（ ，ｙ）一 （ 。，Ｙｏ））时的极限不存在。 同样可以定义二元函数当（ ，），） （一ｏｏ，＋∞）等情形时极限不存在。 例５讨论— ，当（ ，），） （ｏ，０）时是否存在极限。 ＋ｙ 解若ａ＝Ｏ，设 ＝ｒｃ。ｓＯ，ｙ＝ｒｓｉｎ 则Ｉ Ｉ＋ ｌＩ ＝ １ Ｉ ｓｉｎ２０ ｌ，可见，若取ｓ。： ‘１，＋ 对ｖ ＞０，取点（ 斗 ， 孚）∈Ｕ 测ｌ誊ｌ ｌ 华，孚） １ 又，对于任何 ，由于 吣≠。时，寿 取 ＝争Ｉ口ｌ＞０，对 ＞０，取点（争，０）∈ｕ。（Ｄ ， ｌ孚 ＝ｌ口ｌ＞ 。 第５期 胡亚红：二元函数极限求解 ７９ 综上所述，— 当（ ，），）一（ｏ，ｏ）时不存在极限。 ）‘＋（ ） 时，设 注：与用二元函数极限定义求证极限存在时一样，若函数 ， ）的表达式中含有（ ｘｏ＝ｒｃｏｓＯ，Ｙ－Ｙｏ＝ｒｓｉｎ０确定定理１中的 和尸ｌ。 在例５螂蚓嘉 ｓｉｎ２ 孚６，孚 从而】煮Ｉ 孕， ＝争＞ １，因此取 ＝ １。 ２．２用二元函数极限的海涅归结原则判断极限不存在 定理Ｉ Ｏ］（二元函数极限的海涅归结原则） ｌｉｍＡＰ）＝Ａ的充要条件是，对于Ｄ的任一子集 ，只要 是Ｅ的聚点，就有ｌｉｍ￣Ｐ）＝Ａ。 Ｐ－￣Ｐｏ ＰＥＤ ＰＥＥ 推论１设Ｅ。ｃＤ，Ｐｏ是Ｅ 的聚点，若ｌｉｍ Ｐ）不存在，则ｌｉｍ Ｐ）也不存在。 推论２设Ｅ ，Ｅ￣ｃ＿Ｄ，Ｐ０是它们的聚点，若存在极网ｉｍ 户） ｌｉｍＪ（Ｐ）￣－４ ，但 ≠ ，则“ｍ 尸）不存在。 ＰＥＥ１ Ｐ∈ ＰＥＤ 推论３ ｌｉｍｊ＇（Ｐ）存在的充要条件是，对于Ｄ的任一满足条件 ≠Ｐ０且ｌｉｍＰ￣＝Ｐｏ，的点列｛只），它所对应 Ｐ－－＂Ｐｏ ｎ ＰＥＤ 的函数列 ）ｌ都收敛。 用推论１和推论２判断二元函数极限不存在，难在Ｅ ， （路径）的确定。以取尸０为原点为例有下面一些 方法： 注１ 对于关于ｘ，ｙ有理分式的极限，一般取过原点的斜率（ｍ）不同直线路径；当动点沿斜率（ｍ）不同的 直线趋于原点，对应的极限都相同时，按使得分子与分母的最低次幂相同的原则取曲线路径。 例５另解： 解由于动点（ ，ｙ）取在直线ｙ＝ｍｘ上，有— ：—旦Ｔ，所以ｌｉｍ— ＝—』 Ｔ。 ＋ｖ １＋， （ ，ｙ ＿＋（ｏ，ｏ） ＋ｖ １＋，ｎ ｗ－＝ｍｘ 这说明动点沿斜率（ｍ）不同的直线趋于原点时，对应的极限也不同，故— 丁当（ ，ｙ）一（０，０）时极限不存在。 ＋ｙ ２ ２ 例６求ｌｉｍ｛ 。 解当动点沿斜率（ｍ）不同的直线趋于原点，对应的极限为零，ｌｉｍ— ｝ ＝０。 （ ，ｙ卜 （０，Ｏ） ＋Ｖ 瑚 当动点沿曲线 ‘一 趋于原点时，ｌｉａｒ—争 ＝ｌｉａｒ—ｘ －２ｘ＋３ｘ＝ ，因此ｌｉｍ＊不存在。 （ ，ｙ一（０，０） ＋ｙ （ ，ｙ卜＋（０，０） －３ｘ＋３ｘ Ｊ （ ， ＞＿＋（０，０） ＋ｖ 注２对于不是关于ｘ，ｙ有理分式的极限，用泰勒公式较容易找到所需的路径。 丽水学院学报 ２０１３年 例 ７ 解由二元函数泰勒公式得： 求 ｅ －．－ｅ ＝ｘ－ｙ ＋ 一ｙ＋０ｌ＋。（ ＋ Ｊ，）， （１）（】） ．暑 ｓｉｎｘｙ＝ｘｙ＋ｏ（ｘ ｏ （２） 可见（一 ｘ，ｙ） （０，０）时，。ｘ一。ｙ就是关于 的一阶无穷小，而 ｉｎｘｙ就是关于、／ 的二阶无穷 小。所以 ｌｉｍ 不存在，事实上，由（１）（２）易得沿ｙ＝ｍｘ（ｍ≠０，１），有ｌｉｍ ＝ｏ。。 （ ，ｙ） （ｏ，ｏ）ｓｉｎｘｙ （ ，ｙ）一（０，０）ｓｉｎｘｙ 注３对于分段函数极限，根据函数值在平面上的分布图，选择路径。 例８讨论二元函数 ，ｙ）：｛【 ０，， 当ｏ＜ｙ＜其他部分； ，一∞＜ ＜ ＋∞时；当（ ，），）＿÷（ｏ，０）时是否存在极限。 解如图１，当（ ，ｙ）沿任何直线趋Ｔ－（ｏ，ｏ）时，相应的 ，ｙ）都趋于零，但当（ ，ｙ）沿抛物线ｙ＝ｋｘ‘（０＜ｋ＜ １）趋于（Ｏ，Ｏ）时 ，ｙ）都趋于１，所以ｌｉｍ ，），）不存在。 由推论３得，若存在 Ｐｎ））极限不存在的 Ｌ 一个点列｛ ｝ｃＤ或 ）｝极限存在但不相等 的－－＋点列｛ ｝ｃＤ，则ｌｉｍ Ｐ）不存在。因此推 ｆ ｜ Ｐ－－￣Ｐｏ ＰｅＤ 论３也是二元函数极限不存在的重要判断法。 ＼ ＝ｌ ｌ？０ ｛ ／Ｙ＝ ＝１ ＼ ／ 点列｛Ｐｎ｝往往根据函数的特陛进行选取，如例 ｆ：０ ９用三角函数的周期性选取｛Ｐｎ）。 例９求ｌｉｍ ｓｉｎ １－－ｃｏｓ 。 （ ， （０，０） Ｙ 解设 ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ一１ ｃ０ｓ 图１ 。 因为取Ｐｎ＝（—Ｌ，—Ｌ）￣１］ｌｉｍ ４＝０（０，０），点列｛ ）所对应的函数列 ））极限为０； ２ｎｏｒ＋￣Ｅ－－－２ｎＴｒ＋７ｒ ＊ ，、取Ｐｎ“ ＝（ ２ ｎＴｒ＋ ， ２ｎＴｒ＋７ ｒ ）则 ＊ ＝Ｄ（ｏ，０），点列｛Ｐｎ）所对应的函数列 Ｐｎ））。 极限为 ２ 。所以ｌｉｍ ｓｉｎ －－ｃｏｌｓ 不存在。 （ 卜（０，ｏ） Ｙ ２．３用等价无穷小变换判断极限不存在 等价无穷小变换常用于当二元函数极限存在时求其极限，也同样可用于判断二元函数极限不存在。 例６另解： 第５期 胡亚红：二元函数极限求解 ８１ 解因为 ：—ｅｙ（ｅｘ－ｒ－１） 竺 —，当（ ， ） （０，ｏ）时，由定理１的推论１易知ｌｉｍ 不存在，所以 ｓｉｎｘｙ ｓｉｎｘｙ ｘｙ （ ，ｙ卜（０，０） Ｙ ｌｉｍ旦＿二 也不存在。 （ ，ｙ卜 （０，ｏ）ｓｉｎｘｙ ２．４应用累次极限判断极限不存在 定理２Ｉ１］若Ａｘ，ｙ）在点（Ｘｏ，Ｙｏ）存在重极限ｌｉｍ Ａｘ，ｙ）与累次极限ｌｉｍ ｌｉｍｆ（ｘ，ｙ），则它们必相等。 ，ｙ卜＋（ ， ） —・ ｒ—％ 推论若累次极Ｉ￣．１ｉｍ ｌｉｍＪ（ｘ，），）与ｌｉｍ ｌｉｍｙｉｘ，），）存在且不相等，则重极限１ｉｍ ，），）不存在。 例１０求ｌｉｍ．ｘ－－ｙ一。 （ｘ，ｙ）－－ＫＯ．０）ｘ＋ｙ 解因为累次极限Ｉｉｍ ｌｉｍ竺 ＿ｌｏ 斗 ｒ ｉｍ ＝１，ｌｉｍ ｌｉｍ 孑Ｌ－ｌ厂加ｉｍ二Ｌ一１，Ｙ 所以，重极限ｌ（ ．ｙ卜（ｉｍ ｏ，０） ｓ－ｙ 不存在。 二元函数极限的求解尽管没有一个通用的方法，但根据所给的二元函数特点，还是有一些规律可循。特别 是参照一元函数求极限的方法，类似地有洛必达法则、用泰勒公式法等。 参考文献： ［１］华东师范大学数学系．数学分析：下册［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２０１１． ［２］欧阳光中，朱学炎，金福临，等擞学分析：－Ｖｍ［Ｍ］．３版．北京：高等教育出版社，２０１１． ［３］同济大学数学系扁等数学：下册［Ｍ］．６版．北京：高等教育出版社，２００７． ［４］四川大学数学学院高等数学教研室．高等数学：第２册［Ｍ］．４版．北京：高等教育出版社，２００９ ［５］费定晖．Ｂ・ｎ・吉米奇数学分析习题集题解［Ｍ］．济南：山东科技出版社，２００１．
