人教版高中数学必修1第二章知识点汇总 (1)

人教版高中数学必修一第二章知识点汇总

第二章 基本初等函数(Ⅰ)

〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算

（1）根式的概念

①如果xa,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；0的n次方根是0；负数a没有n次方根．

①式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．

n①根式的性质：当n为奇数时，aa；当n为偶数时， nan|a|(na)na；

nna (a0)．

a (a0) （2）分数指数幂的概念

①正数的正分数指数幂的意义是：a0．

 mnmnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分数指数幂等于

①正数的负分数指数幂的意义是：a1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0的负分数aa指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质

①aaarsrs(a0,r,sR) ①(ar)sars(a0,r,sR)

①(ab)ab(a0,b0,rR)

【2.1.2】指数函数及其性质

（4）指数函数

rrr1

函数名称 定义 x指数函数 函数ya(a0且a1)叫做指数函数 a1 yyax 0a1 yaxyy1 (0,1)y1(0,1)图象 O xO x定义域 值域 R (0,) 过定点 奇偶性 单调性 图象过定点(0,1)，即当x0时，y1． 非奇非偶 在R上是增函数 在R上是减函数 函数值的 变化情况 ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0) ax1(x0)a变化对 图象的影响

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低． 〖2.2〗对数函数

2

【2.2.1】对数与对数运算

（1）对数的定义

x ①若aN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数，N叫

做真数．

①负数和零没有对数．

x①对数式与指数式的互化：xlogaNaN(a0,a1,N0)．

（2）几个重要的对数恒等式

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e2.71828…）．

（4）对数的运算性质 如果a0,a1,M0,N0，那么

①加法：logaMlogaNloga(MN) ①减法：logaMlogaNlogalogNn①数乘：nlogaMlogaM(nR) ①aaN

M N①logabMnlogbNn(b0,且b1) logaM(b0,nR) ①换底公式：logaNlogbab【2.2.2】对数函数及其性质

（5）对数函数

函数 对数函数 名称 定义 图象 函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 a1 3

0a1

1x yx 1ylogaxyylogax(1,0) OxO(1,0)x 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在(0,)上是增函数 (0,) R 图象过定点(1,0)，即当x1时，y0． 非奇非偶 在(0,)上是减函数 函数值的 变化情况 logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1) logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1) a变化对 图象的影响 (6)反函数的概念

在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高． 设函数yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子

x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯上改

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1写成yf(x)．

（7）反函数的求法

1①确定反函数的定义域，即原函数的值域；①从原函数式yf(x)中反解出xf(y)；

11①将xf(y)改写成yf(x)，并注明反函数的定义域．

（8）反函数的性质

1 ①原函数yf(x)与反函数yf(x)的图象关于直线yx对称．

1①函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf(x)的值域、定义域．

'1①若P(a,b)在原函数yf(x)的图象上，则P(b,a)在反函数yf(x)的图象上．

①一般地，函数yf(x)要有反函数则它必须为单调函数．

〖2.3〗幂函数

（1）幂函数的定义

 一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象 5

（3）幂函数的性质

①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

①过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)．

①单调性：如果0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)上为增函数．如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

①奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当qpq（其中p,q互质，pqp，若p为奇数q为奇数时，则yx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则yx是偶函数，p和qZ）

若p为偶数q为奇数时，则yx是非奇非偶函数．

①图象特征：幂函数yx,x(0,)，当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，

qp其图象在直线yx上方，当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图象在直线

yx下方．

〖补充知识〗二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)axbxc(a0)①顶点式：f(x)a(xh)k(a0)①两根式：

22f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

①已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ①若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便．

（3）二次函数图象的性质

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①二次函数f(x)axbxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x2b,顶点坐标是2ab4acb2(,)． 2a4a①当a0时，抛物线开口向上，函数在(,bbb时，]上递减，在[,)上递增，当x2a2a2a4acb2bbfmin(x)；当a0时，抛物线开口向下，函数在(,]上递增，在[,)上递减，

4a2a2a4acb2b当x时，fmax(x)．

4a2a①二次函数f(x)axbxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点

2M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|． |a|2（4）一元二次方程axbxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．

22 设一元二次方程axbxc0(a0)的两实根为x1,x2，且x1x2．令f(x)axbxc，从以

下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ①对称轴位置：x符号．

①k＜x1≤x2 

b ①判别式： ①端点函数值2ayf(k)0•ya0xb2ax2kx1Ox2xk•x1Oxbx2af(k)0a0

①x1≤x2＜k 

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ya0f(k)0•yxOb2ax1Ox2kxx1x2•kxbx2aa0f(k)0

①x1＜k＜x2  af(k)＜0

ya0y•f(k)0x2x1Okx2xx1Okx•f(k)0a0

①k1＜x1≤x2＜k2 

y•f(k1)0•a0f(k2)0x2k2yk1xb2ak2Ok1x1xO•x1f(k1)0x2•xxb2af(k2)0

a0 ①有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2  f(k1)f(k2)0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合

y•f(k1)0a0yf(k1)0•Ok1x1•k2x2xOx1k1x2•k2xf(k2)0a0f(k2)0

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①k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2  此结论可直接由①推出．

（5）二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间[p,q]上的最值

2 设f(x)在区间[p,q]上的最大值为M，最小值为m，令x01(pq)． 2（①）当a0时（开口向上） ①若b2ap，则mf(p) ①若pb2aq，则mf(b2a)  fff

O x

fOx

f(b

f(b2a)2a) ①若b2ax，则Mf(q) ①b02ax0，则Mf(p)  ff x0xOx

0 fOf(b 2a)ff(b2a)

(①)当a0时(开口向下)

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若b2aq，则mf(q)fOff(b2a) ① x

x

①若

bf()bbbbp，则Mf(p) ①若pq，则Mf() ①若q，则Mf(q) 2a2a2a2abf()f(fb)2a2a f Ox

f

①若b2ax0，则mf(q) f(b) f2a

x0O

f



f2aOx

f ①b2ax0，则mf(p)． ff(b2a)x0Of10

Ofx

x

 x