考点 基本不等式 利用基本不等式求最值 的最值 问题导学
预习教材P44－P46，并思考以下问题： 1．基本不等式的内容是什么？ 2．基本不等式成立的条件是什么？
3．利用基本不等式求最值时，应注意哪些问题？ 1．重要不等式与基本不等式 ■名师点拨
(1)两个不等式a＋b≥2ab与
2
2
学习目标 理解基本不等式的内容及导出过程 能够运用基本不等式求函数或代数式核心素养 逻辑推理 数学运算 a＋b2
≥ab成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数
即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)．
(2)两个不等式a＋b≥2ab和时，等号成立”．
2．基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．
4(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2P． 记忆口诀：两正数的和定积最大，两正数的积定和最小． ■名师点拨
利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： ①一正：符合基本不等式
2
2
a＋b2
≥ab都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝bS2
a＋b2
≥ab成立的前提条件，a＞0，b＞0；
②二定：化不等式的一边为定值；
③三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，a＋b≥2ab均成立．( ) (2)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2ab.( )
2
2
a＋b.( )
(3)若a>0，b>0，则ab≤
2
(4)a，b同号时，＋≥2.( ) 1
(5)函数y＝x＋的最小值为2.( )
2
baabx答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 1
如果a>0，那么a＋＋2的最小值是( )
aA．2 C．3
1
解析：选D.因为a>0，所以a＋＋2≥2
B．22 D．4
aa·＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝1时取等
a1
号．
不等式(x－2y)＋A．x≥2y C．x≤2y
1
≥2成立的前提条件为( ) x－2yB．x>2y D．x<2y
解析：选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，故选B.
已知0＜x＜1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________．
x＋（1－x）＝1＝1，当且
解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x(1－x)≤242
111仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x(1－x)取得最大值.
224
11
答案：
42对基本不等式的理解
下列结论正确的是( ) 4
A．若x∈R，且x≠0，则＋x≥4
22
xB．当x>0时，x＋
1
x≥2
1
C．当x≥2时，x＋的最小值为2
x1
D．当0 【解析】 对于选项A，当x<0时，＋x≥4显然不成立；对于选项B，符合应用基本 x不等式的三个基本条件“一正，二定，三相等”；对于选项C，忽视了验证等号成立的条件，11 即x＝，则x＝±1，均不满足x≥2；对于选项D，x－在0 大值2－＝. 22 【答案】 B 应用基本不等式时的三个关注点 给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其 中能使＋≥2成立的条件有( ) A．1个 C．3个 B．2个 D．4个 baab解析：选C.当，均为正数时，＋≥2，故只须a，b同号即可，所以①③④均可以．故选C. 利用基本不等式直接求最值 baabbaabt2－4t＋1 (1)已知t＞0，求y＝的最小值； t(2)若正实数x，y满足2x＋y＝1，求xy的最大值． 1 【解】 (1)依题意得y＝t＋－4≥ t2 1t－4t＋1t·－4＝－2，等号成立时t＝1，即函数y＝(t>0)的最小值是－2. 2 tt(2)因为正数x，y满足2x＋y＝1， 1111 所以2x＋y＝1≥22xy，所以2xy≤，解得xy≤，当且仅当x＝，y＝时取等号． 2842 a＋b(1)若a＋b＝S(和为定值)，当a＝b时，积ab有最大值，可以用基本不等式ab≤ 42 求得． (2)若ab＝P(积为定值)，则当a＝b时，和a＋b有最小值2P，可以用基本不等式a＋b≥2ab求得． 不论哪种情况都要注意取得等号的条件是否成立． 1．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为( ) A．16 C．9 B．25 D．36 S2 解析：选B.因为x＞0，y＞0，且x＋y＝8，所以(1＋x)(1＋y)＝1＋x＋y＋xy＝9＋xy≤9 x＋y＝9＋42＝25，因此当且仅当x＝y＝4时，(1＋x)(1＋y)取最大值25. ＋2 b4a2．若a，b都是正数，则1＋1＋的最小值为( ) a b A．7 C．9 B．8 D．10 2 b4ab4a解析：选C.因为a，b都是正数，所以1＋1＋＝5＋＋≥5＋2 ab abb4a·＝9，ab当且仅当b＝2a时取等号． 利用基本不等式求最值 (1)已知x>2，则y＝x＋ 4 的最小值为________． x－2 11 (2)若0 11 (3)若x，y∈(0，＋∞)，且x＋4y＝1，则＋的最小值为________． xy【解析】 (1)因为x>2， 所以x－2>0， 所以y＝x＋44＝x－2＋＋2 x－2x－2 4 ＋2＝6， x－2 ≥2 （x－2）· 当且仅当x－2＝ 4 ， x－2 即x＝4时，等号成立． 所以y＝x＋4 的最小值为6. x－2 1 (2)因为0 1112x＋1－2x2111 所以y＝x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝4×4＝16， 2244当且仅当2x＝1－2x， 11即当x＝时，ymax＝. 416 (3)因为x，y∈(0，＋∞)，x＋4y＝1， 11x＋4yx＋4y4yx所以＋＝＋＝5＋＋≥9， xyxyyxy4yx当且仅当＝， x11 即x＝，y＝时取等号． 361 【答案】 (1)6 (2) (3)9 16 若把本例(1)中的条件“x>2”改为“x<2”，求y＝x＋解：因为x<2， 所以2－x>0， 所以f(x)＝x＋ 4 x－2 4 的最大值． x－2 4＝－（2－x）＋＋2 2－x≤－2 4＋2＝－2， （2－x）2－x 4 当且仅当2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去)， 2－x即x＝0时，等号成立． 故f(x)＝x＋4 的最大值为－2. x－2 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题： (1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形． (2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 1．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( ) 1A. 33C. 4 1B. 22D. 3 11931 解析：选B.由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时取 33442等号． 2．函数y＝3x＋A．32－3 C．62 解析：选D.y＝3(x＋1)＋ 2 2 6 的最小值是( ) x＋1 2 B．3 D．62－3 6 －3≥ x＋1 2 2选D. 3（x＋1）· 2 62 －3＝218－3＝62－3，当且仅当x＝2－1时等号成立，故x＋1 2 19 3．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为________． xy19解析：x＋y＝(x＋y)·＋ xy y9x＝10＋＋≥10＋2xyy9x·＝10＋6＝16. xy即x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16. 答案：16 1．下列不等式中，正确的是( ) 4 A．a＋≥4 aB．a＋b≥4ab 32 D．x＋2≥23 22 C.ab≥ a＋b2 x422 解析：选D.a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a＋b＜4ab，故B错，aa＝4，b＝16，则ab＜ a＋b2 ，故C错；由基本不等式可知D项正确． 2．若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为( ) A．25 25 4 B.25 225 8 C.D.11a＋2b2255 解析：选D.a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab＝a·2b≤×＝，当且仅当a＝，22282 b＝时取等号，故选D. 3．若a＞1，则a＋A．2 C.2a a－1 1 的最小值是( ) a－1 B．a D．3 54 解析：选D.因为a＞1，所以a－1＞0， 所以a＋ 11＝a－1＋＋1≥ a－1a－1 1 ＋1＝3. a－1 1 即a＝2时取等号． a－1 2（a－1）· 当且仅当a－1＝ 13 4．已知x，y为正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值． xy解：因为x，y为正实数， 13所以(x＋y)＋ xy y3x＝4＋＋≥4＋23. xy y3x当且仅当＝， xy即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)时取“＝”号． 又x＋y＝4， 133所以＋≥1＋， xy2133故＋的最小值为1＋. xy2 [A 基础达标] 1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( ) A．a＋b>2ab B．a＋b≥2ab 112C.＋> 2 2 ababD.＋≥2 解析：选D.对于A，当a＝b时，a＋b＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以>0，>0， 2 2 baabbaab所以＋≥2 baabbaba·，即＋≥2成立． abab2.（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为( ) A．9 9 B. 2D.32 2 C．3 解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0， a＋6≥0， 所以（3－a）（a＋6）≤ （3－a）＋（a＋6）9 ＝. 22 9 即（3－a）（a＋6）(－6≤a≤3)的最大值为. 2 21 3．已知实数x，y满足x>0，y>0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为( ) xyA．2 C．6 B．4 D．8 21 解析：选D.因为x>0，y>0，且＋＝1， xy4yx21所以x＋2y＝(x＋2y)＋＝4＋＋≥4＋2 xy xy4yx·＝8， xy4yx当且仅当＝时等号成立．故选D. xy1 4．设x>0，则y＝3－3x－的最大值是( ) xA．3 C．3－23 B．3－22 D．－1 113x·＝3－23，当且仅当3x＝，11解析：选C.y＝3－3x－＝3－3x＋≤3－2 xx xx即x＝ 3 时取等号． 3 23 －的最小值为( ) 2x＋12 1B. 23D. 2 5．设x＞0，则函数y＝x＋ A．0 C．1 1 解析：选A.因为x＞0，所以x＋＞0， 223 所以y＝x＋－ 2x＋1211＝x＋＋－2 12 x＋2≥2 x＋1·1－2＝0，当且仅当x＋1＝1，即x＝1时等号成立，所以函数21212 x＋ 2 x＋ 2 的最小值为0. 6．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________． 解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6， 1 所以xy＝(2x·3y) 612x＋3y2≤· 621623＝·＝. 622 33当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值. 223 答案： 2 12 7．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________． mn解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上， 所以2m＋n＝1， 122m＋n2（2m＋n）n4m所以＋＝＋＝4＋＋≥8. mnmnmn 答案：8 8．给出下列不等式： 11x2＋y2①x＋≥2；②x＋≥2；③≥2； xx xy④ x2＋y2 2|x＋y| >xy；⑤≥|xy|. 2 其中正确的是________(写出序号即可)． 11 解析：当x>0时，x＋≥2；当x<0时，x＋≤－2，①不正确； xx1 因为x与同号， x11所以x＋＝|x|＋≥2，②正确； |x|x当x，y异号时，③不正确； 当x＝y时，x2＋y2 2 ＝xy，④不正确； 当x＝1，y＝－1时，⑤不正确． 答案：② 1 9．已知y＝x＋. x(1)已知x＞0，求y的最小值； (2)已知x＜0，求y的最大值． 1 解：(1)因为x＞0，所以x＋≥2 xx·＝2，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立．所xx11 以y的最小值为2. 1(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以f(x)＝－（－x）＋≤－2－x1 2，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2. －x10．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋(2)已知x＞0，求y＝1 的最大值； x－3 1 （－x）·＝－－x2x的最大值． x＋1 2 解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为y＝2(x－3)＋1＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋≥23－x＝ 11＋7＝－2（3－x）＋3－xx－3 1 2（3－x）·＝22，当且仅当2(3－x) 3－x2，－ 112，即x＝3－时，等号成立，于是－2（3－x）＋≤－23－x3－x2 2（3－x）＋1＋7≤7－22，故y的最大值是7－22. 3－x (2)y＝ 2x21 ＝.因为x＞0，所以x＋≥2x＋11xx＋ 2 x·＝2，所以0＜y≤＝1，当且仅当x2 12 xx＝，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1. x[B 能力提升] 1211．若0＜x＜，则函数y＝x1－4x的最大值为( ) 2A．1 1C. 4 1B. 21D. 8 1 111222解析：选C.因为0＜x＜，所以1－4x＞0，所以x1－4x＝×2x1－4x≤× 2224x＋1－4x122 ＝，当且仅当2x＝1－4x，即x＝时等号成立，故选C. 244 5x－4x＋512．已知x≥，则y＝有( ) 22x－45 A．最大值 4C．最大值1 5 B．最小值 4D．最小值1 2 2 2 x2－4x＋5（x－2）2＋1 解析：选D.y＝＝ 2x－42（x－2） 11 ＝（x－2）＋， x－225 因为x≥，所以x－2＞0， 2111所以（x－2）＋≥·2x－222当且仅当x－2＝ （x－2）· 1 ＝1， x－2 1 ，即x＝3时取等号． x－2 故y的最小值为1. 13．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab. (1)求ab的最小值； (2)求a＋2b的最小值． 解：因为2a＋b＝ab， 12 所以＋＝1； ab(1)因为a>0，b>0， 12 所以1＝＋≥2 121 ，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝4时取等号，所以ab≥8，即abab22 abab的最小值为8； 2b2a12(2)a＋2b＝(a＋2b)＋＝5＋＋≥5＋2 ab ab2b2a·＝9， ab2b2a当且仅当＝，即a＝b＝3时取等号， ab所以a＋2b的最小值为9. 11 14．已知a，b为正实数，且＋＝22. ab(1)求a＋b的最小值； (2)若(a－b)≥4(ab)，求ab的值． 1111 解：(1)因为a，b为正实数，且＋＝22，所以＋＝22≥21 ，即ab≥(当且ab21 2 3 22 abab仅当a＝b时等号成立)． 122 因为a＋b≥2ab≥2×＝1(当且仅当a＝b时等号成立)， 2所以a＋b的最小值为1. 11232 (2)因为＋＝22，所以a＋b＝22ab.因为(a－b)≥4(ab)，所以(a＋b)－ 2 2 ab4ab≥4(ab)，即(22ab)－4ab≥4(ab)，即(ab)－2ab＋1≤0，(ab－1)≤0.因为a，b为正实数，所以ab＝1. [C 拓展探究] 15．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． 解：因为＋＝1， 32322 abxyabxybxayab2 所以x＋y＝(x＋y)＋＝a＋b＋＋≥a＋b＋2ab＝(a＋b)， xy yx又x＋y的最小值为18， 所以(a＋b)＝18. 2 （a＋b）2＝18，a＝2，a＝8， 由得或 b＝8b＝2.a＋b＝10， 故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容