2019-2020学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年湖北省黄冈市高一下学期期末数学试题一、单选题1．sin10cos35cos10sin35（ ）A．22B．22C．32D．12【答案】A【解析】利用两角和的正弦公式得解.【详解】sin10cos35cos10sin35sin(1035)sin45故选：A【点睛】22本题考查两角和的正弦公式sin()sincoscossin，属于基础题.2，b2x1，3，若a2．已知向量ax，b，则x（ ）A．12B．2C．1D．2【答案】B【解析】ab等价于a//b，利用向量共线坐标公式计算即可．【详解】x2x1aba//bx223故选：B【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题．3．若等差数列an满足a7a92，a105，则数列an的首项a1（ ）A．20【答案】C【解析】利用等差中项得到a8，然后由a10a8=2d得到公差，再利用通项公式求得首项.【详解】B．-3C．22D．-23a7a92a82a81d【点睛】a10a83，a1a87d22.2本题主要考查了等差数列的通项公式和性质.4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA3，a8，5b5，则B（ ）A．4B．6C．3D．56【答案】B【解析】由cosA0得A为钝角，B只能为锐角，由正弦定理可得．【详解】解：34，所以A为钝角，sinA，B为锐角．5ab5bsinA1，所以B．由得56sinAsinBsinBa82因为cosA故选：B．【点睛】本题考查正弦定理，在用正弦定理求角时需确定角的范围，确定解的个数．5．若直线3xay10与直线xy10平行，则a=（ ）A．-3或-1【答案】C【解析】根据两直线平行，得到【详解】由题意，直线3xay10与直线xy10平行，则B．-1C．-3D．323a1，即可求解.1113a1，解答111a3.故选：C.【点睛】本题主要考查了两条直线的位置的判定及应用，其中解答中熟记两直线平行的条件是解答的关键，着重考查运算能力.3和点B1，0是平面直角坐标系中的定点，直线ykx1与线6．已知点A2，2段AB始终相交，则实数k的取值范围是（ ）A．[1，2]【答案】A【解析】先得到直线ykx1过定点N(0,1)，根据斜率公式求得kNA,kNB，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，直线ykx1过定点N(0,1)，又由kNAB．[-2，1]C．[-2，-1]D．[1，1]231012,kNB1,2010要使得直线ykx1与线段AB始终相交，结合图象，可得实数k的取值范围是1,2.故选：A.【点睛】本题主要考查了直线的斜率公式，根据直线与线段有交点求参数的取值范围问题，其中解答中熟记直线的斜率公式，结合图象求解是解答的关键，属于基础题.7．B，C的对边分别为a，b，c，在ABC中，内角A，已知A=的面积为23，则a=（ ）A．23【答案】D【解析】利用三角形的面积公式列方程，由此求得b,c，利用余弦定理求得a.【详解】依题意SABCB．4C．14D．27b=23c，ABC，611bcsinAbc23bc83，24因为b23c，所以bc23c283c2,b43，3由余弦定理得a故选：D【点睛】b2c22bccosA4842432327.2本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，属于基础题.8．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为矩形，侧面AA1B1B为菱形，且平面BB1C1C⊥平面AA1B1B，∠BAA1=600，AB=2BC=2，则异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为（ ）A．13B．19C．25D．15【答案】D【解析】分别取BC、CC1、CA1、A1B1的中点E、F、G、H，连EF、FG、GH、BH，可证得ÐEFG是异面直线CA1与BC1所成角或补角，再用余弦定理可求解．【详解】解：如图，分别取BC、CC1、CA1、A1B1的中点E、F、G、H，连EF、FG、GH、BH，则EF∥BC1，FG∥CA1，EG//BH，易得EF=1515，FG=CA1，BC12222222553EFFGEG144，EGBH3，在△EFG中，cosEFG52EFFG5241所以由等角定理知，异面直线CA1与BC1所成角的余弦值为.5故选：D．【点睛】本题考查求异面直线所成的角，求异面直线所成的角，可根据定义作出异面直线所成的4角，然后证明所作图形为异面直线所成的角，最后解三角形．二、多选题9．已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（ ）A．若m，n，则m//nC．若,m//，则m【答案】AD【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A正确；若l，当m//，m∥时，平面与不一定平行，所以B不正确；由,m//，则m可能在平面内，所以C不正确；由两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以D也是正确的.故选：AD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，属于基础题.10．在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（ ）B．若m//，m∥，则//D．若//,m，则m11A．AEABAC2211C．CPCACB33B．AB2EF22D．CPCACB33【答案】AC【解析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.【详解】如图：5根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111AEABBEABBCAB(ACAB)(ACAB), A是正确的；222因为EF是中位线，所以B是正确的；2211CP=2PG，根据三角形重心性质知，所以CPCGCACBCACB，3323所以C是正确的，D错误.故选：AC【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.11．在长方体ABCDA1B1C1D1中AA1=1，AB=2，AD=3，下列选项正确的有（ ）A．BDA1C1表面积为14πC．三棱锥A1-BDC的体积为1表面积相等【答案】BC【解析】由AC11//BD判断A，由长方体的对角线是外接球的直径可判断B，根据体积公式计算三棱锥的体积判断C，计算出三棱锥A1-BDC1与三棱锥A1-ABD的表面积，可判断D．【详解】解：显然AC不垂直于BD，AC1C1不成立，A错误；11//BD，所以BDA易得长方体外接球半径r=B正确；B．长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的D．三棱锥A1-BDC1与三棱锥A1-ABD的12221231=14，所以外接球表面积=4r214，故22VA1BDC111S△BDCAA13211，所以C正确；332显然S△B1BC113113，S△AA1B211，S△B1BC1S△AA1B，又222S△BDC1S△BDCS△BDA，同理S△A1DC1S△A1DD1S△A1DA，所以三棱锥A1-BDC1的表面积大于三菱锥A1-ABD的表面积，故D错误.故选：BC．6【点睛】本题考查长方体的性质，考查直线垂直的判断，长方体的外接球，三棱锥的体积与表面积等知识，掌握长方体中的线面位置关系是解题关键．12．已知数列{an}，a11，a25，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且AE2EC，当n≥2时，恒有BDan2an1BAan13anBC，则（ ）A．数列{an}为等差数列C．数列{an}为等比数列【答案】BD12B．BEBABC33D．an1an4n12【解析】证明BEBABC，所以选项B正确；设BDtBE（t0），易得33an1an4anan1，显然anan1不是同一常数，所以选项A错误；数列{anan1}n4为公比的等比数列，是以4为首项，所以an1an4，所以选项D正确，易得a321，选项C不正确.【详解】2因为AE2EC，所以AEAC，32所以ABBE(ABBC),312所以BEBABC，所以选项B正确；337设BDtBE（t0），则当n≥2时，由BDtBEan2an1BAan13anBC，所以11BEan2an1BAan13anBC，tt1112所以an2an1，an13an，t3t3所以an13an2an2an1，易得an1an4anan1，显然anan1不是同一常数，所以选项A错误；因为a2-a1=4，an1an4，anan1所以数列{anan1}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以an1an4，所以选项D正确，易得a321，显然选项C不正确.故选：BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.n三、填空题13．直线3x3y20的倾斜角为_________.【答案】3【解析】根据题意，设直线3x3y20的倾斜角为，求出直线的斜率，则有tan3，进而分析可得答案．【详解】根据题意，设直线3x3y20的倾斜角为，直线的斜率k则有tan3，3，8又由0„，则故答案为：【点睛】3；3本题考查直线的倾斜角，注意直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．214．已知等比数列an的前n项和为Sn，a14，a5a8，则S3_______.【答案】2142【解析】设等比数列an的公比为q，根据a5a8，求得q，再结合求和公式，即可求解.【详解】设等比数列an的公比为q，因为a5a8，所以4q4224q7，所以q1，4又由a14，所以s3a1a2a3【点睛】21.4本题主要考查等比数列的通项公式，以及等比数列的求和，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式是解答的关键，着重考查运算能力.15．如图，设圆M的半径为2，点C是圆M上的定点，A，B是圆M上的两个动点，则CACB的最小值是________.【答案】2【解析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CPx，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，9延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CACB等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，222，CACB=2x2x2x4x2x12，x0，所以当x1时，CACB最小，最小值为2，故答案为：2.【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.四、双空题16．已知平面向量a(1，则实数x的值是_____；②2)，b(1，x).①若abab，若a2b与a2b的夹角为锐角，则实数x的取值范围是_____.【答案】2x，再利用向量模长及数量积坐标运算得【解析】①由向量坐标运算得ab0，解.1 311(，) 22②因为a2b与a2b的夹角为锐角，得到(a2b)(a2b)0,列不等式得解.【详解】ab0，2x，ab2x， ab12x，abab，2x12x，①a=(1，2)，b(1，x)10x13②因为a2b与a2b的夹角为锐角，所以(a2b)(a2b)0,22,412x2）a4b0 5（11x 22111故答案为：；(，)223【点睛】本题考查向量坐标运算、向量模长、数量积坐标运算及夹角公式，属于基础题.五、解答题17．已知向量n与向量m的夹角为（1）求的值3，且n1，m3，nnm0.（2）记向量n与向量3nm的夹角为，求cos2.【答案】（1）12；（2）.322即可.3331（2）先求出n3nm，再求出3nm3，接着求出cos，最后求22【解析】（1）先建立方程131cos0，再求解出cos2.【详解】解：（1）由nnmnmn131cos（2）因为n3nm3nmn331230，所以22.313223nm3nm239n26mnm2969323所以cosn3nm21n3nm13211所以cos22cos2121.22【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求参数、平面向量的夹角公式、差向量的模的求法、二112倍角的余弦公式，是中档题.18．已知函数fx2sinxcosx.（1）求函数fx的值域；2sin2x（2）当fx0时，求的值.sin2xcos2x1【答案】（1）5，5；（2）1.【解析】（1）由辅助角公式化简可求值域；（2）由fx0可得tanx【详解】（1）因为fx2sinxcosx1，根据同角三角函数的基本关系求解.25sinx，tan1，2所以函数fx的值域为5，5.（2）fx2sinxcosx0，所以tanx1，22sin2x2sin2xsinxtanx所以1，2sin2xcos2x12sinxcosx2sinxcosxsinx1tanx【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题.19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求A；sinBsinCab.sinAsinBc1（2）若b2 ，AD(ABAC)，且AD1，求△ABC的面积.22【答案】（1）A；（2）3.3【解析】（1）正弦定理齐次式化角为边，再利用余弦定理得解.12122（2）由AD(ABAC)；两边平方得AD(AB2ABACAC),代值化24简得c2，从而求得面积.【详解】（1）sinBsinCbcaba2b2c2bcc2b2a2bcsinAsinBabc122C2b2a21所以cosA，0A 所以A32bC21（2）AD(ABAC)22122AD(AB2ABACAC),AD14111(c22c2()22),所以c2；42113SABCbcsinA223222【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式及向量模长公式，属于基础题.20．已知直线l1：x2y40与直线l2：xy10的交点为A，直线l经过点A，点P(1，1)到直线l的距离为2，直线l3与直线l1关于直线l2对称.（1）求直线l的方程；（2）求直线l3的方程.【答案】（1）y1或4x3y110；（2）2xy50.【解析】（1）利用过两直线交点的直线系方程求解，即设过点A的直线l：x2y4xy10，由点到直线距离公式求得参数，得直线方程；（2）设直线l3上任一点M(x,y)关于直线l2对称的点为Nx，y，则lMNl2，MN连线中点在l2上，且N在l1上，用x,y表示出x,y，x，y代入l1方程即得l3方程．【详解】解：（1）设过点A的直线l：x2y4xy10，即1x2y40.点P到直线l距离d12412222解得1或5，222575分别代入直线l方程中，所以直线l：y1或4x3y11013（2）设直线l3上任一点M(x,y)关于直线l2对称的点为Nx，y，则lMNl2，MN连线中点在l2上，且N在l1上.yy1xy1xx所以解得，点N（y1，x1）代入直线l1：yx1xxyy1022x2y40中，得y12x140，整理得2xy50，即为所求直线l3的方程.【点睛】本题考查求直线方程，考查过两直线交点的直线系方程．过两直线l1:A1xB1yC10和l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0（不含直线l2），与l1平行的直线系方程为A1xB1ym0，与l1垂直的直线系方程为B1xA1ym0．21．已知数列an满足a24，anan12（n2），已知数列bn的前n项和为Sn，且满足Sn1bn.（1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列anbn的前n项和.11【答案】（1）an2n；bn；（2）4n222nn1.【解析】（1）由anan12（n2）得数列an是公差为2的等差数列；由Sn1bn得Sn-11bn-1，两式作差得bnSnSn1（n2），化简得bn1，知bn12bn是公比为12的等比数列；n1（2）an·bn2n，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．2【详解】（1）在数列an满足anan12（n2），所以an-an1=2（n2），且a24，所以a2a1+2，即a1=2，14所以数列an是以2为首项，以公差为2的等差数列，即an2+2n12n；已知数列bn的前n项和为Sn，且满足Sn1bn.当n=1时，b11b1，b11，2当n2时，bnSnSn11bn1bn1所以数列bn是以bn1，bn1211为首项，以公比为的等比数列，22n11即bn22n11.2n1综上：an2n；bn.211（2）在数列anbn中，由（1）得anbn2nn22设anbn的前n项和为Tn，nn1，111Tn1123()2n()n1①,222111111Tn12()23()3(n1)()n1n()n②,2222221111由①-②得Tn122222n11n2n11nn112n=2n212212n1所以Tn4n22【点睛】n1.“错本题考查了利用等差数列的定义求通项公式，等比数列的前n项和公式求通项公式、位相减法”求数列的和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．在三棱锥D-ABC中，底面ABC为等边三角形，DB⊥DC，且DB=DC，E为BC的中点.15（1）证明：AD⊥BC；（2）若平面DBC⊥底面ABC，求AE与平面ADB所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7.7【解析】（1）通过证明DEBC,AEBC，证得BC⊥平面ADE，由此证得ADBC.（2）作出直线AE与平面ADB所成的角，解直角三角形求得该线面角的正弦值.【详解】（1）连接DE，因为DB=DC，E为BC的中点，所以DE⊥BC；又因为ABC为等边三角形，所以AE⊥BC；而DEAE=E；所以BC⊥平面ADE，所以AD⊥BC.（2）取BD中点F，连EF，AF，则EF∥CD，因为DB⊥DC，所以EF⊥DB；因为平面DBC⊥底面ABC，平面DBC底面ABC=BC，AE平面ABC，AE⊥BC，所以AE⊥平面DBC，所以AE⊥DB；而AEEF=E；所以DB⊥平面AEF.所以AF⊥DB令底面等边ABC边长为a，则AE=3a；又21612BCD为等腰直角三角形，所以EFasin45a；而24141AFAB2BF2a2acos45a；显然有AE2EF2AF2，224所以AEF为直角三角形，EF⊥AE，∠EAF为AE与平面ADB所成角；所以2sinEAFEFAF4a7147.4a【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的求法，属于中档题.17