一、单选题 1．已知A．C．
，
，则
B．D．
【答案】D
【解析】直接利用并集定义运算即可． 【详解】
4，，
5，； ．
故选：D． 【点睛】
考查集合的列举法的表示，以及并集的运算，属于基础题. 2．A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求解即可． 【详解】
．
故选：B． 【点睛】
本题考查三角函数化简求值，是基本知识的考查． 3．下列函数是奇函数且在区间
；
A．
B．
；
C．
上是增函数的是
；
． D．
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析4个函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，依次分析4个函数，
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对于对于对于且对于
，为奇函数，且在上为减函数，不符合题意；
；为偶函数，不符合题意，
，有
，为增函数，符合题意， ，有
，为奇函数，且
，为奇函数，
，为增函数，符合题意；
则
是奇函数且在区间
上是增函数，符合题意；
故选：D． 【点睛】
本题考查函数的单调性与奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 4．方程A．【答案】C 【解析】令函数
，则方程
零点所在区间．
的根即为函数
的零点再
的根所在的区间为 B．
C．
D．
根据函数零点的判定定理可得函数【详解】 令函数再由故选：C． 【点睛】
，则方程，且
的根即为函数，可得函数
在
的零点， 上有零点．
本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题． 5．函数A．2 【答案】A
【解析】由两角和差的正余弦公式得：
，可得解．
【详解】
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，由三角函数的有界性得：
B．
的最大值为
C．
D．1
， 因为所以
故函数的最大值为2， 故选：A． 【点睛】
本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性，属简单题．
， ，
6．已知函数A．【答案】B
B．
的最小值为
C．
则实数m的取值范围是
D．
【解析】利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m的范围即可． 【详解】
函数可知：因为
时，由
的最小值为，解得
，
．
是增函数，所以只需
，所以
，恒成立即可． ，可得
．
故选：B． 【点睛】
本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，属于基础题． 7．已知函数
的部分图象如图所示，则的值可以
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A． 【答案】A
B． C． D．
【解析】由函数图象经过点【详解】 由函数图象经过点故代入解析式得故
故选：A． 【点睛】
，
．
，代入解析式得的值．
，且此点为五点作图中第3个点，
，
，
本题给出正弦型三角函数的图象信息，确定其解析式，属于简单题． 8．函数
的大致图象为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】利用函数的奇偶性，排除选项，利用函数的导数，判断函数的单调性，推出结果即可． 【详解】 函数当
是奇函数，排除选项A,B，
时，函数
的导数为：并且
，
，
，函数是减函数，
，
，函数是
可得函数的极值点增函数，
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所以函数的图象是C． 故选：C． 【点睛】
本题考查函数的图象的判断，函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力． 9．若A．【答案】B
，
，B．
，则
C．
D．
【解析】对a，b，c通分即可得出关系． 【详解】
，从而得出a，b，c的大小
又所以故选：B． 【点睛】
本题考查对数的运算性质，分数指数幂的运算，对数函数的单调性． 10．为了得到函数A．向左平移C．向右平移【答案】A
【解析】由条件根据函数【详解】 由于：故：将函数可得：故选：A． 【点睛】
本题主要考查诱导公式、函数
的图象变换规律，属于基础题．
第 5 页 共 15 页 ，
图象上所有的点向左平移
个单位，
的图象变换规律，可得结论．
个单位长度 个单位长度
的图象，可以将
B．向左平移D．向右平移
的图象 个单位长度 个单位长度
所以
.
的图象．
11．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长是 参考数据：A．2020 【答案】C
【解析】设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是第n年，则
，进而得出．
【详解】
设该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则
， ，B．2021
，
C．2022
D．2023
，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份
则取
．
，
故选：C． 【点睛】
本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12．已知函数且A．
在
有且只有5个零点，则
B．
，对于任意 C．
D．
，都有
，
【答案】A
【解析】由题意可得
的图象关于点
对称，可得
，再根据
在
有且只有5个零点，则可得【详解】 函数故
的图象关于点在
对称，
，对于任意
，结合所给的选项，求得的值．
，都有，即
，求得
，
．
，
有且只有5个零点，则
，
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，
综上，结合所给的选项可得，
故选：A． 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象的对称性和零点，属于中档题．
二、填空题 13．函数【答案】
，解出x的范围即可．
的定义域为______．
【解析】要使得原函数有意义，则需满足【详解】
要使原函数有意义，则：
；
原函数的定义域为：故答案为：【点睛】
．
．
；
本题考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域． 14．函数【答案】3 【解析】由函数点
，即可得出．
，且
的反函数的图象过点
，可得：
图象过
且
的反函数过点
，则
______．
【详解】 由函数可得：
，
又
，
． ，且图象过点
的反函数的图象过点，
，
故答案为：3． 【点睛】
本题考查了互为反函数的性质，属于基础题． 15．已知
，则
______．
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【答案】
的值，再利用两角和的正切公
【解析】由题意利用二倍角的正切公式求得式求得【详解】
的值．
已知，，
则故答案为：【点睛】
．
，
本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题． 16．设不等式【答案】【解析】由当
时，
，函数是奇函数，可得当
时，
，从而
是定义在R上的奇函数，且当
时，
，若对于任意的
，
恒成立，则实数t的取值范围是______．
在R上是单调递增函数，且满足在【详解】 当
时，函数是奇函数 当
时，
，
在R上是单调递增函数， 且满足不等式
，
在
，
恒成立，可得
在
，再根据不等式恒成立，即可得出答案．
恒成立，
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在
即：
在，
解得：故答案为：【点睛】
，
恒成立， 恒成立，
．
本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，难度适中，关键是掌握函数的单调性与奇偶性．
三、解答题 17．已知求求【答案】（1）【解析】
和
和 ，
的值．
； （2）
，
.
的值，再利用诱导公式求得
利用同角三角函数的基本关系求得的值．
利用两角和差的三角公式求得【详解】
，
，
．
；
和的值．
，
．
【点睛】
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，两角和差的三角公式的应用，属于基础题． 18．已知函数若判断【答案】（1）
，
．
是R上的偶函数，求a的值．
的奇偶性，并证明．
； （2）见解析.
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【解析】根据是R上的偶函数，即可得出从而求出
；
，即得出
可看出【详解】
为偶函数，根据偶函数的定义证明即可．
是R上的偶函数；
；
； ；
；
是偶函数，证明如下： 的定义域为R，且
；
是偶函数． 【点睛】
考查偶函数的定义及判断方法，以及对数的运算性质． 19．
写出以下各式的值：
______；
______；
______．
结合论．
【答案】（1），，； （2）见解析. 【解析】当
进行证明即可． 【详解】
，
利用特殊角的三角函数进行计算
，
，借助于和差角的三角函数公式
的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结
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，
，
当证明：
，
，则
，
，
，
，
. 【点睛】
本题考查归纳推理，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 20．如图是半径为lm的水车截面图，在它的边缘圆周上有一动点P，按逆时针方向以角速度
每秒绕圆心转动
作圆周运动，已知点P的初始位置为
．
，且
，设点P的纵坐标y是转动时间单位：的函数记为
求，的值，并写出函数
，
的解析式； 的简图；
选用恰当的方法作出函数试比较【答案】（1）【解析】
由题意分别计算，
，
的大小直接给出大小关系，不用说明理由． ，
和
； （2）见解析； （3）的值，写出
在
的解析式； 的简图即可；
的大小．
根据题意列表、描点、连线，作出函数由函数的图象与性质得出【详解】 由题意，
，
、
与
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，
函数
根据题意列表如下； 0 t 1 4 6 ，
；
y
1 0 0 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；
由函数的图象与性质知【点睛】
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了函数图象与性质的应用问题，是中档题． 21．已知函数
．
试判断
的单调性，并用定义证明；
没有实数根． ，
，
，其中e为自然对数的底数，
求证：方程
【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【解析】
根据函数的单调性的定义证明即可；
根据函数的单调性求出
，
从而证明结论． 【详解】
在
设a，则
递增， 且
，
，
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，
故故
在证明：当由当故当
，即
，，，
，
递增； 时，
的值域是，
，
，
，解得：时，， 时，
，
，
又综上，当故方程【点睛】
，故时，
， ，
没有实数根．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查转化思想，是一道常规题． 22．设
，
或
，
，
．
从以下两个命题中任选一个进行证明： 当当
时函数时函数
时如
恰有一个零点； 恰有一个零点； ，
与时，
的图象“好像”只有一个交点，但实际上
与
两个交点．
的研究，指出实数k的
如图所示当
这两个函数有两个交点，请证明：当若方程
取值范围不用证明．
恰有4个实数根，请结合
【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）【解析】
由函数的零点及方程的根的关系得：当
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时，令
.
，解得：
，
即函数恰有一个零点，且此零点为2，再用判别式判断函数的零点个数
，由韦达定理得：
，所以
，
． ，得解
由二次方程区间根的问题得：
，
结合【详解】
当令即函数证明：当令所以函数
时，，解得：
，
恰有一个零点，且此零点为2， 时，
，
恰有一个零点，且此零点为
，
所以又所以所以方程由韦达定理得：即，所以当结合故答案为：
时，
与
，
， ，
的研究，实数k的取值范围为：
，
，
，解得：
，
，有两个不等实数根，记为，，
，， 两个交点．
，
，所以
，
，
的研究，实数k的取值范围为：
．
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【点睛】
本题考查了函数的零点及方程的根的关系、二次方程区间根的问题，属中档题．
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