2020-2021学年广东省珠海市高二上学期期末考试数学试卷及答案

满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：必修3、选修2-1

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上．）

21．命题“x00，x02x030”的否定是（2A．x00，x02x0302C．x00，x02x030

）B．x0，x22x30D．x0，x22x30

2．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（A．168

）B．167

C．153

D．135）D．8

）D．a4

3．在空间直角坐标系中，点A(4,1,9)与点B(10,1,6)的距离是（A．5

2

B．6C．7

4．命题“x[1,2]，xa”成立的一个充分不必要条件是（A．a1

B．a1

2C．a4）C．两个圆5．方程x11(y1)表示的曲线是（A．一个圆B．一个椭圆D．半圆6．如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语甲组乙组听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为17，乙组数据的平均数为17.4，则x，y的值分别为（）甲组

9099

x6

16

乙组6

y

C．8，5

）D．5，7

629

A．7，8

B．7，7

ˆ（ˆ9，则bˆbx7．根据表格数据，得到的回归方程为yx

yA．2

45

63

72

B．1

8

1

C．0

D．1

8．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为4，则数据12x1，12x2，…，12x10的标准差为（A．4

B．8

C．16

D．8

2

2

）9．从区间[0,2]中任取一个实数x，从区间[0,3]中任取一个实数y，则使xy4成立的概率为（A．）12B．9C．6D．3x2y2

10．过椭圆C:221(ab0)的左焦点F的直线经过椭圆的上顶点B，且与椭圆相交于点A，若ab



BF3FA，则椭圆的离心率为（A．）C．13B．3332D．22x2y2

1，过点M(1,1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则11．已知椭圆C:42直线AB的方程为（A．x2y3012．给出下列命题：①命题“若ab0，则a，b全为0”的否命题是“若ab0，则a，b全不为0”；2

2

2

2

）B．2xy30

C．xy20

D．2xy10

②命题“已知x,yR，若xy3，则x2或y1”的逆否命题是真命题；③设x,yR，则“x1或y2”是“xy2”的充分不必要条件；x2y2

④已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率为5．ab

其中是真命题的有（A．①②）B．②④C．①③D．②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）

13．某社会爱心组织面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45)，得到的频率分布直方图如图所示．若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3组抽取名志愿者．14．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2y的焦点到准线的距离为2

．15．某学校羽毛球校队进行扩招，共2个名额，现有2名男生和3名女生报名，从报名学生中任选2名学生，则恰好选中2名女生的概率为．．16．若双曲线的渐近线方程为y3x，它的一个焦点是(10,0)，则双曲线的标准方程为17．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点M和N分别是B1D1和B1C1的中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为．18．与圆C1:(x3)2y21外切，且与圆C2:(x3)2y281内切的动圆圆心的轨迹方程为．19．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中ADAA11，AB3，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为．20．如图，在一个直二面角AB的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB4，AC6，BD8，则CD

．三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

2

21．已知命题p：“关于x的方程x2xm0有实数根”，命题q：“2m3”，命题r：“tmt1”．（1）若pq是真命题，求m的取值范围；（2）若r是q的充分不必要条件，求t的取值范围．22．某校为了解学生对安全知识的重视程度，进行了一次安全知识答题比赛．随机抽取的100名学生的笔试成绩（满分200分），分成[160,165)，[165,170)，……，[180,185)共五组后，得到的频率分布表如下所示：组号第1组第2组第3组第4组第5组合计分组频数①频率[160,165)[165,170)[170,175)[175,180)[180,185)

0.300

302010100

②0.20.1001.00

（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；（2）为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．y2x2

23．（1）已知等轴双曲线221(a0,b0)的上顶点到一条渐近线的距离为1，求此双曲线的方程；ab

（2）已知抛物线y4x的焦点为F，设过焦点F且倾斜角为45的直线l交抛物线于A，B两点，求线2

段AB的长．24．如图①所示，在直角梯形EFCD中，CF//DE，EFDE，BADE，AEAD2EF2BC4．现以AB为折痕将四边形AEFB折起，使点E在平面ABCD的投影恰好为点A，如图②．图①（1）求证：CD//平面ADE；（2）求平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值．图②x2y21

25．已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，右焦点为F，右顶点为A，以椭圆四个顶点为顶ab3点的四边形面积为122．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M、N，直线MA、NA分别与直线x9交于点P、Q，且P、Q中点为G，求证：|FG|

1

|PQ|．2数学试题参

1-10DACDDBDBCD13．3

301011-12AB

y2

16．x1

9

2

14．1315．

1017．

解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，M(1,1,2)，C(0,2,0)，N(1,2,2)，



AM(1,1,2)，CN(1,0,2)，

设异面直线AM和CN所成角为，

|AMCN|330则cos．

10|AM||CN|65异面直线AM和CN所成角的余弦值为30．故答案为：30．

1010x2y2

18．1

2516解：设动圆圆心为C3，半径为r，

2222

与圆C1:(x3)y1外切，且与圆C2:(x3)y81内切，

则C1C3r1，C3C29r，C1C3C3C210C1C26，故动圆圆心C3的轨迹满足椭圆的定义，长轴长为10，焦距为6，

x2y2x2y2

可得动圆圆心的轨迹方程为：1，故答案为：1．

25162516

19．

31938解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

3

E1,,0，A(1,0,0)，C(0,3,0)，D1(0,0,1)，2

3

AC(1,3,0)，AD1(1,0,1)，AE0,,0，

2

设平面ACD1的法向量n(x,y,z)，

nACx3y0

则，取y1，得n(3,1,3)，nAD1xz0



|AEn|319319点E到面ACD1的距离：d，故答案为．|n|383820．229解：由已知，可得ACAB，BDAB，ACBD，

CDCAABBDABACBD，

22CD(ABACBD)

222

ABACBD2ABAC2ABBD2ACBD1636116，



|CD|229．故答案为229．

21．解：（1）若p为真：44m0，解得m1若“pq”是真命题，则p，q均为真命题

m1即，解得2m1．

2m3

m的取值范围2m1

（2）由r是q的充分不必要条件，可得(t,t1)Ü(2,3)

t2即（等号不同时成立），解得2t2．

t13t的取值范围2t2

22．解：（1）第2组的频数为1000.30030人，所以①处应填的数为10人，②处应填的数为0.300，

频率分布直方图如图所示，

（2）因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：

302010

第3组：63人，第4组：62人，第5组：61人，所以第3、4、5组分别

606060抽取3人、2人、1人进入第二轮面答．

设第3组的3位学生为A1，A2，A3，第4组的2位学生为B1，B2，第5组的1位学生为C1，则从这6位学生中抽取2位学生有：A1,A2，A1,A3，A1,B1，A1,B2，A1,C1，A2,A3，

A2,B1，A2,B2，A2,C1，A3,B1，A3,B2，A3,C1，B1,B2，B1,C1，B2,C1，共15

种情况．

A1,B1，A1,B2，A1,C1，A2,B1，A2,B2，A2,C1，A3,B1，抽到的2位学生不同组的有：

A3,B2，A3,C1，B1,C1，B2,C1，共11种情况．

所以抽到的2位学生不同组的概率为

11

．1523．解：（1）由等轴双曲线的一条渐近线方程为yx0，且顶点(0,a)到渐近线的距离为1，

ab可得|a|，

12a2y2x2

解得，故双曲线方程1

22b2（2）抛物线y24x的焦点为F(1,0)

直线l的方程为y0tan45(x1)，即yx1．

yx1

与抛物线方程联立，得2，

y4x

消y，整理得x26x10，设其两根为x1，x2，且x1x26．由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p628．所以，线段AB的长是8．

24．解：（1）取线段AD的中点M，连结CM，EM则

//

AMBC

四边形ABCM为平行四边形，

//ABMC

四边形ABEF为矩形

，////

ABEFMCEF

四边形CMEF为平行四边形，

//CFEM

又CF平面ADE，ME平面ADE

CF//平面ADE

（2）点E在平面ABCD的投影恰好为点A．

EA平面ABCD

如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则

C(2,2,0)，D(0,4,0)，F(2,0,4)



AD(0,4,0)，CD(2,2,0)，CF(0,2,4)n设(x,y,z)是平面CDF的一个法向量，则

x2nCD0xy0

y2即，令，解得

y2z0z1nCF0



n(2,2,1)



又AD是平面AEFB的一个法向量，nAD2

cosn,AD

|n||AD|3平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为

2．3c1

25．解：（1）由题意得a3，解得a3，c1，b22，2ab122x2y2

所以椭圆C的方程为1；

98

（2）设直线l的方程为xty1，设点Mx1,y1、Nx2,y2，

xty1

22

联立x2y2，消去x得8t9y16ty0，则0恒成立，

18916t

yy，，12

8t298t29

设点P(9,m)，A(3,0)，则AMx13,y1ty12,y1，AP(6,m)，

由韦达定理得y1y2

由AM//∣AP得6y1mty12，

可得m

6y16y1P9,，即点，ty12ty216y26y16y2Q9,FP8,FQ8,同理可得点，，，ty2ty2ty2212

FPFQ

36y1y236y1y22ty1y22ty1y24ty12ty22

36

0222

t32t48t9368t29

t232t248t298t29

36yt2y1yy21y22t1y24因此，FPFQ．又因为P、Q中点为G，所以|FG|

1

2|PQ|．