高中数学数列知识点总结(经典) 2

高中数列知识点总结

1. 等差数列的定义与性质

定义：an1and（d为常数），ana1n1d 等差中项：x，A，y成等差数列2Axy 前n项和Sna1annna21nn1d 2性质：an是等差数列

（1）若mnpq，则amanapaq；

（2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等差数列，公差为n2d；

（3）若三个成等差数列，可设为ad，a，ad （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则

amS2m1 bmT2m1（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）

Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界

项，

an0即：当a10，d0，解不等式组可得Sn达到最大值时的n值.

a0n1an0a0，d0当1，由可得Sn达到最小值时的n值.

an10(6)项数为偶数2n的等差数列an，

有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项) S偶S奇nd，

S奇S偶an. an1 1

（7）项数为奇数2n1的等差数列an，

有

S2n1(2n1)an(an为中间项)，

SS奇奇S偶an，

Sn偶n1. 2. 等比数列的定义与性质

定义：

an1q（q为常数，q0），ana1qn1an.

等比中项：x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy.前n项和：Sna1(q1)nna11q1q(q1)（要注意！）

性质：an是等比数列

（1）若mnpq，则am·anap·aq （2）Sn，S2nSn，S3nS2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？

n1时，a1S1； n2时，anSnSn1. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法

如：数列a111n，2a122a2……2nan2n5，求an

解 n1时，12a1215，∴a114 n2时，1112a122a2……2n1an12n15 ①—②得：1n114(n1)2nan2，∴an2，∴an2n1(n2)

［练习］数列a5n满足SnSn13an1，a14，求an

2

①②

注意到an1Sn1Sn，代入得

Sn14又S14，∴Sn是等比数列，Sn4n Sn；

·4n1 n2时，anSnSn1……3（2）叠乘法

an 如：数列an中，a13，n1，求an

ann1解

aa2a312n13a1·……n·……，∴n又a13，∴ana1a2an123nn. a1n（3）等差型递推公式

由anan1f(n)，a1a0，求an，用迭加法

a3a2f(3)n2时，两边相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)∴ana0f(2)f(3)……f(n) ［练习］数列an中，a11，an3（4）等比型递推公式

ancan1d（c、d为常数，c0，c1，d0）

n1a2a1f(2)an1n2，求an（

an1n312）

可转化为等比数列，设anxcan1xancan1c1x 令(c1)xd，∴xddd，c为公比的等比数列 ，∴an是首项为a1c1c1c1∴anddn1dn1da1·caac，∴ n1c1c1c1c1（5）倒数法 如：a11，an12an，求an an2 3

由已知得：

a2111111n，∴ an12an2anan1an2111111·n1， ∴为等差数列，1，公差为，∴1n1an222a1an∴an( 附：

2n1

公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an1panq或an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、

换元法

)

4. 求数列前n项和的常用方法

(1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：an是公差为d的等差数列，求1 aak1kk1n11111解：由d0

ak·ak1akakddakak1n11111111111……∴ ak1da1a2a2a3k1akak1k1dakanan1n111 da1an1［练习］求和：1111 ……12123123……n1 an…………，Sn2n1（2）错位相减法

若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项和，可由

4

SnqSn，求Sn，其中q为bn的公比.

如：Sn12x3x24x3……nxn1

①

x·Snx2x23x34x4……n1xn1nxn ①—②1xSn1xx2……xn1nxn

②

x1时，Sn1xnxnn1x21x，x1时，Sn123……nnn1 2（3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2［练习］已知f(x)，则

1x21f(1)f(2)ff(3)21ff(4)321f 41x2x21x1由f(x)f12222x1x1x1x11x

∴原式f(1)f(2)(附：

1ff(3)21ff(4)3111f1113

242a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写

与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和

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裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。 d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。 f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。 )

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