材料力学-切应力计算

§4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力

梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 ,又有切应力 .但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力,不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式(6—2)仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式。

1．矩形截面梁

对于图4—15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力FQ.现分析距中性轴z为y的横线aa1上的剪应力分布情况。根据剪应力成对定理，横线aa1两端的剪应力必与截面两侧边相切,即与剪力FQ的方向一致。由于对称的关系,横线aa1中点处的剪应力也必与FQ的方向相同。根据这三点剪应力的方向,可以设想aa1线上各点切应力的方向皆平行于剪力FQ。又因截面高度h大于宽度b，切应力的数值沿横线aa1不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的。基于上述分析,可作如下假设:

1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力FQ。 2）切应力沿截面宽度均匀分布.

图4-15

图4-16

基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度。从图4-16a的横弯梁中截出dx微段,其左右截面上的内力如图4—16b所示。梁的横截面尺寸如图4—16c所示,现欲求距中性轴z为y的横线aa1处的切应力 。过aa1用平行于中性层的纵截面aa1cc1自dx微段中截出一微块（图4-16d）。根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 块左右侧面上正应力的合力分别为N1和N2，其中

。微

1

N1IdAA*My1M*dASz （4—29） *IzIzAN2IIdAA*(MdM)y1(MdM)*dASz （4—30） *IIzzAII)为面积A*中距中性轴为 y1处的正应式中，A*为微块的侧面面积,I(力,Sz*AydA。

1*由微块沿x方向的平衡条件

x0，得

N1N2bdx0 （4-31）

将式（4—29）和式（4-30）代入式（4—31)，得

dM*Szbdx0 Iz*dMSz故 

dxbIz因

dMFQ,,故求得横截面上距中性轴为 y处横线上各点的剪应力为 dx

*FQSzbIz (4—32）

式（4—32）也适用于其它截面形式的梁。式中，FQ为截面上的剪力; Iz为整个截面

对中性轴z的惯性矩；b为横截面在所求应力点处的宽度；Sy为面积A*对中性轴的静矩。

对于矩形截面梁（图4—17），可取dAbdy1,于是

Sy1dAA*zh2ybh2by1dy1(y2)

24这样，式（4—32）可写成

FQh2(y2)

2Iz4上式表明，沿截面高度剪应力 按抛物线规律变化（图4—17).

在截面上、下边缘处，y=±切应力值最大,其值为

h=0；，在中性轴上，y=0，2 2

图4-17 max3FQ （4-33） 2A式中A=bh，即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的3倍。

2

2．圆形截面梁

在圆形截面上(图4-18）,任一平行于中性轴的横线aa1两端处,剪应力的方向必切于圆周,并相交于y轴上的c点。因此,横线上各点剪应力方向是变化的.但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力FQ，设为均匀分布,其值为最大。由式(4—32）求得

max式中A倍。

4Q (4-34) 3A34 图4-18 d2，即圆截面的最大切应力为其平均切应力的43．工字形截面梁

工字形截面梁由腹板和翼缘组成。式(4—32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图4-19所示。最大剪应力在中性轴上，其值为

maxFQ(Sz)maxdIZ

式中（Sz）max为中性轴一侧截面面积对中性轴的静矩。对于轧制的工字钢，式中的可以从型钢表中查得。

Iz*(Sz)max计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95～0.97)FQ，因此也可用下式计算的近似值

maxmaxFQh1d

图4-19 式中h 1为腹板的高度，d为腹板的宽度。

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